Theorem eleq2s 2324

Description: Substitution of equal classes into a membership antecedent. (Contributed by Jonathan Ben-Naim, 3-Jun-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
eleq2s.1	|- ( A e. B -> ph )
eleq2s.2	|- C = B

Assertion

Ref	Expression
eleq2s	|- ( A e. C -> ph )

Proof of Theorem eleq2s

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq2s.2	. . 3 |- C = B
2	1	eleq2i 2296	. 2 |- ( A e. C <-> A e. B )
3		eleq2s.1	. 2 |- ( A e. B -> ph )
4	2, 3	sylbi 121	1 |- ( A e. C -> ph )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1395   e. wcel 2200

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1493  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-ial 1580  ax-ext 2211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-cleq 2222  df-clel 2225

This theorem is referenced by:  elrabi  2956  opelopabsb  4348  epelg  4381  reg3exmidlemwe  4671  elxpi  4735  optocl  4795  elfvm  5662  elfvfvex  5663  fvmbr  5664  fvmptss2  5711  fvmptssdm  5721  acexmidlemcase  6002  elmpocl  6206  mpoxopn0yelv  6391  tfr2a  6473  tfri1dALT  6503  2oconcl  6593  el2oss1o  6597  ecexr  6693  ectocld  6756  ecoptocl  6777  eroveu  6781  mapsnconst  6849  diffitest  7057  en2eqpr  7080  ctssdccl  7289  nninfwlpoimlemginf  7354  exmidonfinlem  7382  exmidfodomrlemr  7391  exmidfodomrlemrALT  7392  acnrcl  7394  dmaddpqlem  7575  nqpi  7576  nq0nn  7640  0nsr  7947  suplocsrlempr  8005  cnm  8030  axaddcl  8062  axmulcl  8064  aprcl  8804  aptap  8808  peano2uzs  9791  fzssnn  10276  fzossnn0  10385  infssuzex  10465  infssuzledc  10466  rebtwn2zlemstep  10484  fldiv4p1lem1div2  10537  frecfzennn  10660  fser0const  10769  facnn  10961  bcpasc  11000  hashfzo0  11058  ccatval2  11146  ccatass  11156  pfxclz  11226  wrdeqs1cat  11267  rexuz3  11516  rexanuz2  11517  r19.2uz  11519  cau4  11642  caubnd2  11643  climshft2  11832  climaddc1  11855  climmulc2  11857  climsubc1  11858  climsubc2  11859  climlec2  11867  climcau  11873  climcaucn  11877  iserabs  12001  binomlem  12009  isumshft  12016  cvgratgt0  12059  clim2divap  12066  ntrivcvgap  12074  fprodntrivap  12110  fprodeq0  12143  3prm  12665  phicl2  12751  phibndlem  12753  dfphi2  12757  crth  12761  phimullem  12762  znnen  12984  ennnfonelemkh  12998  fvprif  13391  xpsfeq  13393  ismgmn0  13406  zrhval  14596  lgsdir2lem2  15723  lgsdir2lem3  15724  lgsquadlem2  15772  2lgslem1b  15783  1vgrex  15836  usgredg2v  16037  bj-el2oss1o  16193  2o01f  16417  nninfalllem1  16434  nninfall  16435