Theorem acneq 7352

Description: Equality theorem for the choice set function. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
acneq	|- ( A = C -> AC A = AC C )

Proof of Theorem acneq

Dummy variables f g x y z j are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 2272	. . . 4 |- ( A = C -> ( A e. _V <-> C e. _V ) )
2		oveq2 5982	. . . . 5 |- ( A = C -> ( { z e. ~P x | E. j j e. z } ^m A ) = ( { z e. ~P x | E. j j e. z } ^m C ) )
3		raleq 2708	. . . . . 6 |- ( A = C -> ( A. y e. A ( g ` y ) e. ( f ` y ) <-> A. y e. C ( g ` y ) e. ( f ` y ) ) )
4	3	exbidv 1851	. . . . 5 |- ( A = C -> ( E. g A. y e. A ( g ` y ) e. ( f ` y ) <-> E. g A. y e. C ( g ` y ) e. ( f ` y ) ) )
5	2, 4	raleqbidv 2724	. . . 4 |- ( A = C -> ( A. f e. ( { z e. ~P x | E. j j e. z } ^m A ) E. g A. y e. A ( g ` y ) e. ( f ` y ) <-> A. f e. ( { z e. ~P x | E. j j e. z } ^m C ) E. g A. y e. C ( g ` y ) e. ( f ` y ) ) )
6	1, 5	anbi12d 473	. . 3 |- ( A = C -> ( ( A e. _V /\ A. f e. ( { z e. ~P x | E. j j e. z } ^m A ) E. g A. y e. A ( g ` y ) e. ( f ` y ) ) <-> ( C e. _V /\ A. f e. ( { z e. ~P x | E. j j e. z } ^m C ) E. g A. y e. C ( g ` y ) e. ( f ` y ) ) ) )
7	6	abbidv 2327	. 2 |- ( A = C -> { x | ( A e. _V /\ A. f e. ( { z e. ~P x | E. j j e. z } ^m A ) E. g A. y e. A ( g ` y ) e. ( f ` y ) ) } = { x | ( C e. _V /\ A. f e. ( { z e. ~P x | E. j j e. z } ^m C ) E. g A. y e. C ( g ` y ) e. ( f ` y ) ) } )
8		df-acnm 7320	. 2 |- AC A = { x | ( A e. _V /\ A. f e. ( { z e. ~P x | E. j j e. z } ^m A ) E. g A. y e. A ( g ` y ) e. ( f ` y ) ) }
9		df-acnm 7320	. 2 |- AC C = { x | ( C e. _V /\ A. f e. ( { z e. ~P x | E. j j e. z } ^m C ) E. g A. y e. C ( g ` y ) e. ( f ` y ) ) }
10	7, 8, 9	3eqtr4g 2267	1 |- ( A = C -> AC A = AC C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1375   E.wex 1518   e. wcel 2180   {cab 2195   A.wral 2488   {crab 2492   _Vcvv 2779   ~Pcpw 3629   ` cfv 5294  (class class class)co 5974   ^m cmap 6765  AC wacn 7318

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 713  ax-5 1473  ax-7 1474  ax-gen 1475  ax-ie1 1519  ax-ie2 1520  ax-8 1530  ax-10 1531  ax-11 1532  ax-i12 1533  ax-bndl 1535  ax-4 1536  ax-17 1552  ax-i9 1556  ax-ial 1560  ax-i5r 1561  ax-ext 2191

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 985  df-tru 1378  df-nf 1487  df-sb 1789  df-clab 2196  df-cleq 2202  df-clel 2205  df-nfc 2341  df-ral 2493  df-rex 2494  df-v 2781  df-un 3181  df-sn 3652  df-pr 3653  df-op 3655  df-uni 3868  df-br 4063  df-iota 5254  df-fv 5302  df-ov 5977  df-acnm 7320

This theorem is referenced by: (None)