Theorem acneq 7392

Description: Equality theorem for the choice set function. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
acneq	|- ( A = C -> AC A = AC C )

Proof of Theorem acneq

Dummy variables f g x y z j are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 2292	. . . 4 |- ( A = C -> ( A e. _V <-> C e. _V ) )
2		oveq2 6015	. . . . 5 |- ( A = C -> ( { z e. ~P x | E. j j e. z } ^m A ) = ( { z e. ~P x | E. j j e. z } ^m C ) )
3		raleq 2728	. . . . . 6 |- ( A = C -> ( A. y e. A ( g ` y ) e. ( f ` y ) <-> A. y e. C ( g ` y ) e. ( f ` y ) ) )
4	3	exbidv 1871	. . . . 5 |- ( A = C -> ( E. g A. y e. A ( g ` y ) e. ( f ` y ) <-> E. g A. y e. C ( g ` y ) e. ( f ` y ) ) )
5	2, 4	raleqbidv 2744	. . . 4 |- ( A = C -> ( A. f e. ( { z e. ~P x | E. j j e. z } ^m A ) E. g A. y e. A ( g ` y ) e. ( f ` y ) <-> A. f e. ( { z e. ~P x | E. j j e. z } ^m C ) E. g A. y e. C ( g ` y ) e. ( f ` y ) ) )
6	1, 5	anbi12d 473	. . 3 |- ( A = C -> ( ( A e. _V /\ A. f e. ( { z e. ~P x | E. j j e. z } ^m A ) E. g A. y e. A ( g ` y ) e. ( f ` y ) ) <-> ( C e. _V /\ A. f e. ( { z e. ~P x | E. j j e. z } ^m C ) E. g A. y e. C ( g ` y ) e. ( f ` y ) ) ) )
7	6	abbidv 2347	. 2 |- ( A = C -> { x | ( A e. _V /\ A. f e. ( { z e. ~P x | E. j j e. z } ^m A ) E. g A. y e. A ( g ` y ) e. ( f ` y ) ) } = { x | ( C e. _V /\ A. f e. ( { z e. ~P x | E. j j e. z } ^m C ) E. g A. y e. C ( g ` y ) e. ( f ` y ) ) } )
8		df-acnm 7360	. 2 |- AC A = { x | ( A e. _V /\ A. f e. ( { z e. ~P x | E. j j e. z } ^m A ) E. g A. y e. A ( g ` y ) e. ( f ` y ) ) }
9		df-acnm 7360	. 2 |- AC C = { x | ( C e. _V /\ A. f e. ( { z e. ~P x | E. j j e. z } ^m C ) E. g A. y e. C ( g ` y ) e. ( f ` y ) ) }
10	7, 8, 9	3eqtr4g 2287	1 |- ( A = C -> AC A = AC C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1395   E.wex 1538   e. wcel 2200   {cab 2215   A.wral 2508   {crab 2512   _Vcvv 2799   ~Pcpw 3649   ` cfv 5318  (class class class)co 6007   ^m cmap 6803  AC wacn 7358

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-un 3201  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-br 4084  df-iota 5278  df-fv 5326  df-ov 6010  df-acnm 7360

This theorem is referenced by: (None)