Theorem acneq 7548

Description: Equality theorem for the choice set function. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
acneq	|- ( A = C -> AC A = AC C )

Proof of Theorem acneq

Dummy variables f g x y z j are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 2301	. . . 4 |- ( A = C -> ( A e. _V <-> C e. _V ) )
2		oveq2 6083	. . . . 5 |- ( A = C -> ( { z e. ~P x | E. j j e. z } ^m A ) = ( { z e. ~P x | E. j j e. z } ^m C ) )
3		raleq 2749	. . . . . 6 |- ( A = C -> ( A. y e. A ( g ` y ) e. ( f ` y ) <-> A. y e. C ( g ` y ) e. ( f ` y ) ) )
4	3	exbidv 1878	. . . . 5 |- ( A = C -> ( E. g A. y e. A ( g ` y ) e. ( f ` y ) <-> E. g A. y e. C ( g ` y ) e. ( f ` y ) ) )
5	2, 4	raleqbidv 2765	. . . 4 |- ( A = C -> ( A. f e. ( { z e. ~P x | E. j j e. z } ^m A ) E. g A. y e. A ( g ` y ) e. ( f ` y ) <-> A. f e. ( { z e. ~P x | E. j j e. z } ^m C ) E. g A. y e. C ( g ` y ) e. ( f ` y ) ) )
6	1, 5	anbi12d 477	. . 3 |- ( A = C -> ( ( A e. _V /\ A. f e. ( { z e. ~P x | E. j j e. z } ^m A ) E. g A. y e. A ( g ` y ) e. ( f ` y ) ) <-> ( C e. _V /\ A. f e. ( { z e. ~P x | E. j j e. z } ^m C ) E. g A. y e. C ( g ` y ) e. ( f ` y ) ) ) )
7	6	abbidv 2358	. 2 |- ( A = C -> { x | ( A e. _V /\ A. f e. ( { z e. ~P x | E. j j e. z } ^m A ) E. g A. y e. A ( g ` y ) e. ( f ` y ) ) } = { x | ( C e. _V /\ A. f e. ( { z e. ~P x | E. j j e. z } ^m C ) E. g A. y e. C ( g ` y ) e. ( f ` y ) ) } )
8		df-acnm 7515	. 2 |- AC A = { x | ( A e. _V /\ A. f e. ( { z e. ~P x | E. j j e. z } ^m A ) E. g A. y e. A ( g ` y ) e. ( f ` y ) ) }
9		df-acnm 7515	. 2 |- AC C = { x | ( C e. _V /\ A. f e. ( { z e. ~P x | E. j j e. z } ^m C ) E. g A. y e. C ( g ` y ) e. ( f ` y ) ) }
10	7, 8, 9	3eqtr4g 2296	1 |- ( A = C -> AC A = AC C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   E.wex 1545   e. wcel 2209   {cab 2224   A.wral 2528   {crab 2532   _Vcvv 2821   ~Pcpw 3685   ` cfv 5372  (class class class)co 6075   ^m cmap 6912  AC wacn 7513

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-un 3224  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-br 4126  df-iota 5332  df-fv 5380  df-ov 6078  df-acnm 7515

This theorem is referenced by: (None)