Theorem acneq 7460

Description: Equality theorem for the choice set function. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
acneq	|- ( A = C -> AC A = AC C )

Proof of Theorem acneq

Dummy variables f g x y z j are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 2294	. . . 4 |- ( A = C -> ( A e. _V <-> C e. _V ) )
2		oveq2 6036	. . . . 5 |- ( A = C -> ( { z e. ~P x | E. j j e. z } ^m A ) = ( { z e. ~P x | E. j j e. z } ^m C ) )
3		raleq 2731	. . . . . 6 |- ( A = C -> ( A. y e. A ( g ` y ) e. ( f ` y ) <-> A. y e. C ( g ` y ) e. ( f ` y ) ) )
4	3	exbidv 1873	. . . . 5 |- ( A = C -> ( E. g A. y e. A ( g ` y ) e. ( f ` y ) <-> E. g A. y e. C ( g ` y ) e. ( f ` y ) ) )
5	2, 4	raleqbidv 2747	. . . 4 |- ( A = C -> ( A. f e. ( { z e. ~P x | E. j j e. z } ^m A ) E. g A. y e. A ( g ` y ) e. ( f ` y ) <-> A. f e. ( { z e. ~P x | E. j j e. z } ^m C ) E. g A. y e. C ( g ` y ) e. ( f ` y ) ) )
6	1, 5	anbi12d 473	. . 3 |- ( A = C -> ( ( A e. _V /\ A. f e. ( { z e. ~P x | E. j j e. z } ^m A ) E. g A. y e. A ( g ` y ) e. ( f ` y ) ) <-> ( C e. _V /\ A. f e. ( { z e. ~P x | E. j j e. z } ^m C ) E. g A. y e. C ( g ` y ) e. ( f ` y ) ) ) )
7	6	abbidv 2350	. 2 |- ( A = C -> { x | ( A e. _V /\ A. f e. ( { z e. ~P x | E. j j e. z } ^m A ) E. g A. y e. A ( g ` y ) e. ( f ` y ) ) } = { x | ( C e. _V /\ A. f e. ( { z e. ~P x | E. j j e. z } ^m C ) E. g A. y e. C ( g ` y ) e. ( f ` y ) ) } )
8		df-acnm 7427	. 2 |- AC A = { x | ( A e. _V /\ A. f e. ( { z e. ~P x | E. j j e. z } ^m A ) E. g A. y e. A ( g ` y ) e. ( f ` y ) ) }
9		df-acnm 7427	. 2 |- AC C = { x | ( C e. _V /\ A. f e. ( { z e. ~P x | E. j j e. z } ^m C ) E. g A. y e. C ( g ` y ) e. ( f ` y ) ) }
10	7, 8, 9	3eqtr4g 2289	1 |- ( A = C -> AC A = AC C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   E.wex 1541   e. wcel 2202   {cab 2217   A.wral 2511   {crab 2515   _Vcvv 2803   ~Pcpw 3656   ` cfv 5333  (class class class)co 6028   ^m cmap 6860  AC wacn 7425

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2213

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ral 2516  df-rex 2517  df-v 2805  df-un 3205  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-br 4094  df-iota 5293  df-fv 5341  df-ov 6031  df-acnm 7427

This theorem is referenced by: (None)