Theorem hbsb4t 2041

Description: A variable not free remains so after substitution with a distinct variable (closed form of hbsb4 2040). (Contributed by NM, 7-Apr-2004.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 25-May-2011.)

Assertion

Ref	Expression
hbsb4t	|- ( A. x A. z ( ph -> A. z ph ) -> ( -. A. z z = y -> ( [ y / x ] ph -> A. z [ y / x ] ph ) ) )

Proof of Theorem hbsb4t

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hba1 1563	. . 3 |- ( A. z ph -> A. z A. z ph )
2	1	hbsb4 2040	. 2 |- ( -. A. z z = y -> ( [ y / x ] A. z ph -> A. z [ y / x ] A. z ph ) )
3		spsbim 1866	. . . . 5 |- ( A. x ( ph -> A. z ph ) -> ( [ y / x ] ph -> [ y / x ] A. z ph ) )
4	3	sps 1560	. . . 4 |- ( A. z A. x ( ph -> A. z ph ) -> ( [ y / x ] ph -> [ y / x ] A. z ph ) )
5		ax-4 1533	. . . . . . 7 |- ( A. z ph -> ph )
6	5	sbimi 1787	. . . . . 6 |- ( [ y / x ] A. z ph -> [ y / x ] ph )
7	6	alimi 1478	. . . . 5 |- ( A. z [ y / x ] A. z ph -> A. z [ y / x ] ph )
8	7	a1i 9	. . . 4 |- ( A. z A. x ( ph -> A. z ph ) -> ( A. z [ y / x ] A. z ph -> A. z [ y / x ] ph ) )
9	4, 8	imim12d 74	. . 3 |- ( A. z A. x ( ph -> A. z ph ) -> ( ( [ y / x ] A. z ph -> A. z [ y / x ] A. z ph ) -> ( [ y / x ] ph -> A. z [ y / x ] ph ) ) )
10	9	a7s 1477	. 2 |- ( A. x A. z ( ph -> A. z ph ) -> ( ( [ y / x ] A. z ph -> A. z [ y / x ] A. z ph ) -> ( [ y / x ] ph -> A. z [ y / x ] ph ) ) )
11	2, 10	syl5 32	1 |- ( A. x A. z ( ph -> A. z ph ) -> ( -. A. z z = y -> ( [ y / x ] ph -> A. z [ y / x ] ph ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   A.wal 1371   [wsb 1785

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1484  df-sb 1786

This theorem is referenced by:  nfsb4t  2042