Theorem modc 2040

Description: Equivalent definitions of "there exists at most one," given decidable existence. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Jul-2018.)

Hypothesis

Ref	Expression
modc.1	|- F/ y ph

Assertion

Ref	Expression
modc	|- (DECID E. x ph -> ( E. y A. x ( ph -> x = y ) <-> A. x A. y ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) ) )

Distinct variable group:   x, y

Allowed substitution hints:   ph( x, y)

Proof of Theorem modc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		modc.1	. . 3 |- F/ y ph
2	1	mo23 2038	. 2 |- ( E. y A. x ( ph -> x = y ) -> A. x A. y ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) )
3		exmiddc 821	. . 3 |- (DECID E. x ph -> ( E. x ph \/ -. E. x ph ) )
4	1	mor 2039	. . . 4 |- ( E. x ph -> ( A. x A. y ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) -> E. y A. x ( ph -> x = y ) ) )
5	1	mo2n 2025	. . . . 5 |- ( -. E. x ph -> E. y A. x ( ph -> x = y ) )
6	5	a1d 22	. . . 4 |- ( -. E. x ph -> ( A. x A. y ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) -> E. y A. x ( ph -> x = y ) ) )
7	4, 6	jaoi 705	. . 3 |- ( ( E. x ph \/ -. E. x ph ) -> ( A. x A. y ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) -> E. y A. x ( ph -> x = y ) ) )
8	3, 7	syl 14	. 2 |- (DECID E. x ph -> ( A. x A. y ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) -> E. y A. x ( ph -> x = y ) ) )
9	2, 8	impbid2 142	1 |- (DECID E. x ph -> ( E. y A. x ( ph -> x = y ) <-> A. x A. y ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 697  DECID wdc 819   A.wal 1329   F/wnf 1436   E.wex 1468   [wsb 1735

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-11 1484  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736

This theorem is referenced by:  mo2dc  2052