Theorem eu2 2089

Description: An alternate way of defining existential uniqueness. Definition 6.10 of [TakeutiZaring] p. 26. (Contributed by NM, 8-Jul-1994.)

Hypothesis

Ref	Expression
eu2.1	|- F/ y ph

Assertion

Ref	Expression
eu2	|- ( E! x ph <-> ( E. x ph /\ A. x A. y ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) ) )

Distinct variable group:   x, y

Allowed substitution hints:   ph( x, y)

Proof of Theorem eu2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		euex 2075	. . 3 |- ( E! x ph -> E. x ph )
2		eu2.1	. . . . . 6 |- F/ y ph
3	2	nfri 1533	. . . . 5 |- ( ph -> A. y ph )
4	3	eumo0 2076	. . . 4 |- ( E! x ph -> E. y A. x ( ph -> x = y ) )
5	2	mo23 2086	. . . 4 |- ( E. y A. x ( ph -> x = y ) -> A. x A. y ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) )
6	4, 5	syl 14	. . 3 |- ( E! x ph -> A. x A. y ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) )
7	1, 6	jca 306	. 2 |- ( E! x ph -> ( E. x ph /\ A. x A. y ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) ) )
8		19.29r 1635	. . . 4 |- ( ( E. x ph /\ A. x A. y ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) ) -> E. x ( ph /\ A. y ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) ) )
9		impexp 263	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) <-> ( ph -> ( [ y / x ] ph -> x = y ) ) )
10	9	albii 1484	. . . . . . . 8 |- ( A. y ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) <-> A. y ( ph -> ( [ y / x ] ph -> x = y ) ) )
11	2	19.21 1597	. . . . . . . 8 |- ( A. y ( ph -> ( [ y / x ] ph -> x = y ) ) <-> ( ph -> A. y ( [ y / x ] ph -> x = y ) ) )
12	10, 11	bitri 184	. . . . . . 7 |- ( A. y ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) <-> ( ph -> A. y ( [ y / x ] ph -> x = y ) ) )
13	12	anbi2i 457	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ A. y ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) ) <-> ( ph /\ ( ph -> A. y ( [ y / x ] ph -> x = y ) ) ) )
14		abai 560	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ A. y ( [ y / x ] ph -> x = y ) ) <-> ( ph /\ ( ph -> A. y ( [ y / x ] ph -> x = y ) ) ) )
15	13, 14	bitr4i 187	. . . . 5 |- ( ( ph /\ A. y ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) ) <-> ( ph /\ A. y ( [ y / x ] ph -> x = y ) ) )
16	15	exbii 1619	. . . 4 |- ( E. x ( ph /\ A. y ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) ) <-> E. x ( ph /\ A. y ( [ y / x ] ph -> x = y ) ) )
17	8, 16	sylib 122	. . 3 |- ( ( E. x ph /\ A. x A. y ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) ) -> E. x ( ph /\ A. y ( [ y / x ] ph -> x = y ) ) )
18	3	eu1 2070	. . 3 |- ( E! x ph <-> E. x ( ph /\ A. y ( [ y / x ] ph -> x = y ) ) )
19	17, 18	sylibr 134	. 2 |- ( ( E. x ph /\ A. x A. y ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) ) -> E! x ph )
20	7, 19	impbii 126	1 |- ( E! x ph <-> ( E. x ph /\ A. x A. y ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   A.wal 1362   F/wnf 1474   E.wex 1506   [wsb 1776   E!weu 2045

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048

This theorem is referenced by:  eu3h  2090  mo3h  2098  bm1.1  2181  reu2  2952