Theorem eu2 2004

Description: An alternate way of defining existential uniqueness. Definition 6.10 of [TakeutiZaring] p. 26. (Contributed by NM, 8-Jul-1994.)

Hypothesis

Ref	Expression
eu2.1	|- F/ y ph

Assertion

Ref	Expression
eu2	|- ( E! x ph <-> ( E. x ph /\ A. x A. y ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) ) )

Distinct variable group:   x, y

Allowed substitution hints:   ph( x, y)

Proof of Theorem eu2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		euex 1990	. . 3 |- ( E! x ph -> E. x ph )
2		eu2.1	. . . . . 6 |- F/ y ph
3	2	nfri 1467	. . . . 5 |- ( ph -> A. y ph )
4	3	eumo0 1991	. . . 4 |- ( E! x ph -> E. y A. x ( ph -> x = y ) )
5	2	mo23 2001	. . . 4 |- ( E. y A. x ( ph -> x = y ) -> A. x A. y ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) )
6	4, 5	syl 14	. . 3 |- ( E! x ph -> A. x A. y ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) )
7	1, 6	jca 302	. 2 |- ( E! x ph -> ( E. x ph /\ A. x A. y ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) ) )
8		19.29r 1568	. . . 4 |- ( ( E. x ph /\ A. x A. y ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) ) -> E. x ( ph /\ A. y ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) ) )
9		impexp 261	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) <-> ( ph -> ( [ y / x ] ph -> x = y ) ) )
10	9	albii 1414	. . . . . . . 8 |- ( A. y ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) <-> A. y ( ph -> ( [ y / x ] ph -> x = y ) ) )
11	2	19.21 1530	. . . . . . . 8 |- ( A. y ( ph -> ( [ y / x ] ph -> x = y ) ) <-> ( ph -> A. y ( [ y / x ] ph -> x = y ) ) )
12	10, 11	bitri 183	. . . . . . 7 |- ( A. y ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) <-> ( ph -> A. y ( [ y / x ] ph -> x = y ) ) )
13	12	anbi2i 448	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ A. y ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) ) <-> ( ph /\ ( ph -> A. y ( [ y / x ] ph -> x = y ) ) ) )
14		abai 530	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ A. y ( [ y / x ] ph -> x = y ) ) <-> ( ph /\ ( ph -> A. y ( [ y / x ] ph -> x = y ) ) ) )
15	13, 14	bitr4i 186	. . . . 5 |- ( ( ph /\ A. y ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) ) <-> ( ph /\ A. y ( [ y / x ] ph -> x = y ) ) )
16	15	exbii 1552	. . . 4 |- ( E. x ( ph /\ A. y ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) ) <-> E. x ( ph /\ A. y ( [ y / x ] ph -> x = y ) ) )
17	8, 16	sylib 121	. . 3 |- ( ( E. x ph /\ A. x A. y ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) ) -> E. x ( ph /\ A. y ( [ y / x ] ph -> x = y ) ) )
18	3	eu1 1985	. . 3 |- ( E! x ph <-> E. x ( ph /\ A. y ( [ y / x ] ph -> x = y ) ) )
19	17, 18	sylibr 133	. 2 |- ( ( E. x ph /\ A. x A. y ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) ) -> E! x ph )
20	7, 19	impbii 125	1 |- ( E! x ph <-> ( E. x ph /\ A. x A. y ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   A.wal 1297   F/wnf 1404   E.wex 1436   [wsb 1703   E!weu 1960

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-nf 1405  df-sb 1704  df-eu 1963

This theorem is referenced by:  eu3h  2005  mo3h  2013  bm1.1  2085  reu2  2825