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Theorem eu2 1992
Description: An alternate way of defining existential uniqueness. Definition 6.10 of [TakeutiZaring] p. 26. (Contributed by NM, 8-Jul-1994.)
Hypothesis
Ref Expression
eu2.1  |-  F/ y
ph
Assertion
Ref Expression
eu2  |-  ( E! x ph  <->  ( E. x ph  /\  A. x A. y ( ( ph  /\ 
[ y  /  x ] ph )  ->  x  =  y ) ) )
Distinct variable group:    x, y
Allowed substitution hints:    ph( x, y)

Proof of Theorem eu2
StepHypRef Expression
1 euex 1978 . . 3  |-  ( E! x ph  ->  E. x ph )
2 eu2.1 . . . . . 6  |-  F/ y
ph
32nfri 1457 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. y ph )
43eumo0 1979 . . . 4  |-  ( E! x ph  ->  E. y A. x ( ph  ->  x  =  y ) )
52mo23 1989 . . . 4  |-  ( E. y A. x (
ph  ->  x  =  y )  ->  A. x A. y ( ( ph  /\ 
[ y  /  x ] ph )  ->  x  =  y ) )
64, 5syl 14 . . 3  |-  ( E! x ph  ->  A. x A. y ( ( ph  /\ 
[ y  /  x ] ph )  ->  x  =  y ) )
71, 6jca 300 . 2  |-  ( E! x ph  ->  ( E. x ph  /\  A. x A. y ( (
ph  /\  [ y  /  x ] ph )  ->  x  =  y ) ) )
8 19.29r 1557 . . . 4  |-  ( ( E. x ph  /\  A. x A. y ( ( ph  /\  [
y  /  x ] ph )  ->  x  =  y ) )  ->  E. x ( ph  /\  A. y ( ( ph  /\ 
[ y  /  x ] ph )  ->  x  =  y ) ) )
9 impexp 259 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  [
y  /  x ] ph )  ->  x  =  y )  <->  ( ph  ->  ( [ y  /  x ] ph  ->  x  =  y ) ) )
109albii 1404 . . . . . . . 8  |-  ( A. y ( ( ph  /\ 
[ y  /  x ] ph )  ->  x  =  y )  <->  A. y
( ph  ->  ( [ y  /  x ] ph  ->  x  =  y ) ) )
11219.21 1520 . . . . . . . 8  |-  ( A. y ( ph  ->  ( [ y  /  x ] ph  ->  x  =  y ) )  <->  ( ph  ->  A. y ( [ y  /  x ] ph  ->  x  =  y ) ) )
1210, 11bitri 182 . . . . . . 7  |-  ( A. y ( ( ph  /\ 
[ y  /  x ] ph )  ->  x  =  y )  <->  ( ph  ->  A. y ( [ y  /  x ] ph  ->  x  =  y ) ) )
1312anbi2i 445 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A. y
( ( ph  /\  [ y  /  x ] ph )  ->  x  =  y ) )  <->  ( ph  /\  ( ph  ->  A. y
( [ y  /  x ] ph  ->  x  =  y ) ) ) )
14 abai 527 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A. y
( [ y  /  x ] ph  ->  x  =  y ) )  <-> 
( ph  /\  ( ph  ->  A. y ( [ y  /  x ] ph  ->  x  =  y ) ) ) )
1513, 14bitr4i 185 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A. y
( ( ph  /\  [ y  /  x ] ph )  ->  x  =  y ) )  <->  ( ph  /\ 
A. y ( [ y  /  x ] ph  ->  x  =  y ) ) )
1615exbii 1541 . . . 4  |-  ( E. x ( ph  /\  A. y ( ( ph  /\ 
[ y  /  x ] ph )  ->  x  =  y ) )  <->  E. x ( ph  /\  A. y ( [ y  /  x ] ph  ->  x  =  y ) ) )
178, 16sylib 120 . . 3  |-  ( ( E. x ph  /\  A. x A. y ( ( ph  /\  [
y  /  x ] ph )  ->  x  =  y ) )  ->  E. x ( ph  /\  A. y ( [ y  /  x ] ph  ->  x  =  y ) ) )
183eu1 1973 . . 3  |-  ( E! x ph  <->  E. x
( ph  /\  A. y
( [ y  /  x ] ph  ->  x  =  y ) ) )
1917, 18sylibr 132 . 2  |-  ( ( E. x ph  /\  A. x A. y ( ( ph  /\  [
y  /  x ] ph )  ->  x  =  y ) )  ->  E! x ph )
207, 19impbii 124 1  |-  ( E! x ph  <->  ( E. x ph  /\  A. x A. y ( ( ph  /\ 
[ y  /  x ] ph )  ->  x  =  y ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103   A.wal 1287   F/wnf 1394   E.wex 1426   [wsb 1692   E!weu 1948
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951
This theorem is referenced by:  eu3h  1993  mo3h  2001  bm1.1  2073  reu2  2801
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