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Theorem mor 1987
Description: Converse of mo23 1986 with an additional  E. x ph condition. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Jun-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
mor.1  |-  F/ y
ph
Assertion
Ref Expression
mor  |-  ( E. x ph  ->  ( A. x A. y ( ( ph  /\  [
y  /  x ] ph )  ->  x  =  y )  ->  E. y A. x ( ph  ->  x  =  y ) ) )
Distinct variable group:    x, y
Allowed substitution hints:    ph( x, y)

Proof of Theorem mor
StepHypRef Expression
1 mor.1 . . 3  |-  F/ y
ph
21sb8e 1782 . 2  |-  ( E. x ph  <->  E. y [ y  /  x ] ph )
3 impexp 259 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  [
y  /  x ] ph )  ->  x  =  y )  <->  ( ph  ->  ( [ y  /  x ] ph  ->  x  =  y ) ) )
4 bi2.04 246 . . . . 5  |-  ( (
ph  ->  ( [ y  /  x ] ph  ->  x  =  y ) )  <->  ( [ y  /  x ] ph  ->  ( ph  ->  x  =  y ) ) )
53, 4bitri 182 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  [
y  /  x ] ph )  ->  x  =  y )  <->  ( [
y  /  x ] ph  ->  ( ph  ->  x  =  y ) ) )
652albii 1403 . . 3  |-  ( A. x A. y ( (
ph  /\  [ y  /  x ] ph )  ->  x  =  y )  <->  A. x A. y ( [ y  /  x ] ph  ->  ( ph  ->  x  =  y ) ) )
7 nfs1v 1860 . . . . . 6  |-  F/ x [ y  /  x ] ph
87nfri 1455 . . . . 5  |-  ( [ y  /  x ] ph  ->  A. x [ y  /  x ] ph )
98eximi 1534 . . . 4  |-  ( E. y [ y  /  x ] ph  ->  E. y A. x [ y  /  x ] ph )
10 alim 1389 . . . . . . 7  |-  ( A. x ( [ y  /  x ] ph  ->  ( ph  ->  x  =  y ) )  ->  ( A. x [ y  /  x ] ph  ->  A. x
( ph  ->  x  =  y ) ) )
1110alimi 1387 . . . . . 6  |-  ( A. y A. x ( [ y  /  x ] ph  ->  ( ph  ->  x  =  y ) )  ->  A. y ( A. x [ y  /  x ] ph  ->  A. x
( ph  ->  x  =  y ) ) )
1211a7s 1386 . . . . 5  |-  ( A. x A. y ( [ y  /  x ] ph  ->  ( ph  ->  x  =  y ) )  ->  A. y ( A. x [ y  /  x ] ph  ->  A. x
( ph  ->  x  =  y ) ) )
13 exim 1533 . . . . 5  |-  ( A. y ( A. x [ y  /  x ] ph  ->  A. x
( ph  ->  x  =  y ) )  -> 
( E. y A. x [ y  /  x ] ph  ->  E. y A. x ( ph  ->  x  =  y ) ) )
1412, 13syl 14 . . . 4  |-  ( A. x A. y ( [ y  /  x ] ph  ->  ( ph  ->  x  =  y ) )  ->  ( E. y A. x [ y  /  x ] ph  ->  E. y A. x ( ph  ->  x  =  y ) ) )
159, 14syl5com 29 . . 3  |-  ( E. y [ y  /  x ] ph  ->  ( A. x A. y ( [ y  /  x ] ph  ->  ( ph  ->  x  =  y ) )  ->  E. y A. x ( ph  ->  x  =  y ) ) )
166, 15syl5bi 150 . 2  |-  ( E. y [ y  /  x ] ph  ->  ( A. x A. y ( ( ph  /\  [
y  /  x ] ph )  ->  x  =  y )  ->  E. y A. x ( ph  ->  x  =  y ) ) )
172, 16sylbi 119 1  |-  ( E. x ph  ->  ( A. x A. y ( ( ph  /\  [
y  /  x ] ph )  ->  x  =  y )  ->  E. y A. x ( ph  ->  x  =  y ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102   A.wal 1285   F/wnf 1392   E.wex 1424   [wsb 1689
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-11 1440  ax-4 1443  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-nf 1393  df-sb 1690
This theorem is referenced by:  modc  1988
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