Theorem mor 2056

Description: Converse of mo23 2055 with an additional E. x ph condition. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Jun-2018.)

Hypothesis

Ref	Expression
mor.1	|- F/ y ph

Assertion

Ref	Expression
mor	|- ( E. x ph -> ( A. x A. y ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) -> E. y A. x ( ph -> x = y ) ) )

Distinct variable group:   x, y

Allowed substitution hints:   ph( x, y)

Proof of Theorem mor

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mor.1	. . 3 |- F/ y ph
2	1	sb8e 1845	. 2 |- ( E. x ph <-> E. y [ y / x ] ph )
3		impexp 261	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) <-> ( ph -> ( [ y / x ] ph -> x = y ) ) )
4		bi2.04 247	. . . . 5 |- ( ( ph -> ( [ y / x ] ph -> x = y ) ) <-> ( [ y / x ] ph -> ( ph -> x = y ) ) )
5	3, 4	bitri 183	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) <-> ( [ y / x ] ph -> ( ph -> x = y ) ) )
6	5	2albii 1459	. . 3 |- ( A. x A. y ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) <-> A. x A. y ( [ y / x ] ph -> ( ph -> x = y ) ) )
7		nfs1v 1927	. . . . . 6 |- F/ x [ y / x ] ph
8	7	nfri 1507	. . . . 5 |- ( [ y / x ] ph -> A. x [ y / x ] ph )
9	8	eximi 1588	. . . 4 |- ( E. y [ y / x ] ph -> E. y A. x [ y / x ] ph )
10		alim 1445	. . . . . . 7 |- ( A. x ( [ y / x ] ph -> ( ph -> x = y ) ) -> ( A. x [ y / x ] ph -> A. x ( ph -> x = y ) ) )
11	10	alimi 1443	. . . . . 6 |- ( A. y A. x ( [ y / x ] ph -> ( ph -> x = y ) ) -> A. y ( A. x [ y / x ] ph -> A. x ( ph -> x = y ) ) )
12	11	a7s 1442	. . . . 5 |- ( A. x A. y ( [ y / x ] ph -> ( ph -> x = y ) ) -> A. y ( A. x [ y / x ] ph -> A. x ( ph -> x = y ) ) )
13		exim 1587	. . . . 5 |- ( A. y ( A. x [ y / x ] ph -> A. x ( ph -> x = y ) ) -> ( E. y A. x [ y / x ] ph -> E. y A. x ( ph -> x = y ) ) )
14	12, 13	syl 14	. . . 4 |- ( A. x A. y ( [ y / x ] ph -> ( ph -> x = y ) ) -> ( E. y A. x [ y / x ] ph -> E. y A. x ( ph -> x = y ) ) )
15	9, 14	syl5com 29	. . 3 |- ( E. y [ y / x ] ph -> ( A. x A. y ( [ y / x ] ph -> ( ph -> x = y ) ) -> E. y A. x ( ph -> x = y ) ) )
16	6, 15	syl5bi 151	. 2 |- ( E. y [ y / x ] ph -> ( A. x A. y ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) -> E. y A. x ( ph -> x = y ) ) )
17	2, 16	sylbi 120	1 |- ( E. x ph -> ( A. x A. y ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) -> E. y A. x ( ph -> x = y ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   A.wal 1341   F/wnf 1448   E.wex 1480   [wsb 1750

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-11 1494  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-nf 1449  df-sb 1751

This theorem is referenced by:  modc  2057