Theorem mo2n 2025

Description: There is at most one of something which does not exist. (Contributed by Jim Kingdon, 2-Jul-2018.)

Hypothesis

Ref	Expression
mon.1	|- F/ y ph

Assertion

Ref	Expression
mo2n	|- ( -. E. x ph -> E. y A. x ( ph -> x = y ) )

Distinct variable group:   x, y

Allowed substitution hints:   ph( x, y)

Proof of Theorem mo2n

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mon.1	. . 3 |- F/ y ph
2	1	sb8e 1829	. 2 |- ( E. x ph <-> E. y [ y / x ] ph )
3		alnex 1475	. . 3 |- ( A. y -. [ y / x ] ph <-> -. E. y [ y / x ] ph )
4		nfs1v 1910	. . . . . 6 |- F/ x [ y / x ] ph
5	4	nfn 1636	. . . . 5 |- F/ x -. [ y / x ] ph
6	1	nfn 1636	. . . . 5 |- F/ y -. ph
7		sbequ1 1741	. . . . . . 7 |- ( x = y -> ( ph -> [ y / x ] ph ) )
8	7	equcoms 1684	. . . . . 6 |- ( y = x -> ( ph -> [ y / x ] ph ) )
9	8	con3d 620	. . . . 5 |- ( y = x -> ( -. [ y / x ] ph -> -. ph ) )
10	5, 6, 9	cbv3 1720	. . . 4 |- ( A. y -. [ y / x ] ph -> A. x -. ph )
11		pm2.21 606	. . . . 5 |- ( -. ph -> ( ph -> x = y ) )
12	11	alimi 1431	. . . 4 |- ( A. x -. ph -> A. x ( ph -> x = y ) )
13		19.8a 1569	. . . 4 |- ( A. x ( ph -> x = y ) -> E. y A. x ( ph -> x = y ) )
14	10, 12, 13	3syl 17	. . 3 |- ( A. y -. [ y / x ] ph -> E. y A. x ( ph -> x = y ) )
15	3, 14	sylbir 134	. 2 |- ( -. E. y [ y / x ] ph -> E. y A. x ( ph -> x = y ) )
16	2, 15	sylnbi 667	1 |- ( -. E. x ph -> E. y A. x ( ph -> x = y ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   A.wal 1329   F/wnf 1436   E.wex 1468   [wsb 1735

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-11 1484  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736

This theorem is referenced by:  modc  2040