Theorem r19.30dc 2604

Description: Restricted quantifier version of 19.30dc 1607. (Contributed by Scott Fenton, 25-Feb-2011.) (Proof shortened by Wolf Lammen, 18-Jun-2023.)

Assertion

Ref	Expression
r19.30dc	|- ( ( A. x e. A ( ph \/ ps ) /\ DECID E. x e. A ps ) -> ( A. x e. A ph \/ E. x e. A ps ) )

Proof of Theorem r19.30dc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ralnex 2445	. . . . 5 |- ( A. x e. A -. ps <-> -. E. x e. A ps )
2		pm2.53 712	. . . . . . 7 |- ( ( ps \/ ph ) -> ( -. ps -> ph ) )
3	2	orcoms 720	. . . . . 6 |- ( ( ph \/ ps ) -> ( -. ps -> ph ) )
4	3	ral2imi 2522	. . . . 5 |- ( A. x e. A ( ph \/ ps ) -> ( A. x e. A -. ps -> A. x e. A ph ) )
5	1, 4	syl5bir 152	. . . 4 |- ( A. x e. A ( ph \/ ps ) -> ( -. E. x e. A ps -> A. x e. A ph ) )
6	5	adantr 274	. . 3 |- ( ( A. x e. A ( ph \/ ps ) /\ DECID E. x e. A ps ) -> ( -. E. x e. A ps -> A. x e. A ph ) )
7		dfordc 878	. . . 4 |- (DECID E. x e. A ps -> ( ( E. x e. A ps \/ A. x e. A ph ) <-> ( -. E. x e. A ps -> A. x e. A ph ) ) )
8	7	adantl 275	. . 3 |- ( ( A. x e. A ( ph \/ ps ) /\ DECID E. x e. A ps ) -> ( ( E. x e. A ps \/ A. x e. A ph ) <-> ( -. E. x e. A ps -> A. x e. A ph ) ) )
9	6, 8	mpbird 166	. 2 |- ( ( A. x e. A ( ph \/ ps ) /\ DECID E. x e. A ps ) -> ( E. x e. A ps \/ A. x e. A ph ) )
10	9	orcomd 719	1 |- ( ( A. x e. A ( ph \/ ps ) /\ DECID E. x e. A ps ) -> ( A. x e. A ph \/ E. x e. A ps ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 698  DECID wdc 820   A.wral 2435   E.wrex 2436

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-gen 1429  ax-ie2 1474

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-tru 1338  df-fal 1341  df-ral 2440  df-rex 2441

This theorem is referenced by:  exmidontriimlem1  7150