Theorem exmidontriimlem1 7177

Description: Lemma for exmidontriim 7181. A variation of r19.30dc 2613. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
exmidontriimlem1	|- ( ( A. x e. A ( ph \/ ps \/ ch ) /\ EXMID ) -> ( E. x e. A ph \/ E. x e. A ps \/ A. x e. A ch ) )

Proof of Theorem exmidontriimlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3orass 971	. . . . . . . 8 |- ( ( ph \/ ps \/ ch ) <-> ( ph \/ ( ps \/ ch ) ) )
2	1	biimpi 119	. . . . . . 7 |- ( ( ph \/ ps \/ ch ) -> ( ph \/ ( ps \/ ch ) ) )
3	2	orcomd 719	. . . . . 6 |- ( ( ph \/ ps \/ ch ) -> ( ( ps \/ ch ) \/ ph ) )
4	3	ralimi 2529	. . . . 5 |- ( A. x e. A ( ph \/ ps \/ ch ) -> A. x e. A ( ( ps \/ ch ) \/ ph ) )
5		exmidexmid 4175	. . . . 5 |- (EXMID -> DECID E. x e. A ph )
6		r19.30dc 2613	. . . . 5 |- ( ( A. x e. A ( ( ps \/ ch ) \/ ph ) /\ DECID E. x e. A ph ) -> ( A. x e. A ( ps \/ ch ) \/ E. x e. A ph ) )
7	4, 5, 6	syl2an 287	. . . 4 |- ( ( A. x e. A ( ph \/ ps \/ ch ) /\ EXMID ) -> ( A. x e. A ( ps \/ ch ) \/ E. x e. A ph ) )
8	7	orcomd 719	. . 3 |- ( ( A. x e. A ( ph \/ ps \/ ch ) /\ EXMID ) -> ( E. x e. A ph \/ A. x e. A ( ps \/ ch ) ) )
9		simpr 109	. . . . . 6 |- ( ( ( A. x e. A ( ph \/ ps \/ ch ) /\ EXMID ) /\ A. x e. A ( ps \/ ch ) ) -> A. x e. A ( ps \/ ch ) )
10		simplr 520	. . . . . 6 |- ( ( ( A. x e. A ( ph \/ ps \/ ch ) /\ EXMID ) /\ A. x e. A ( ps \/ ch ) ) -> EXMID )
11		orcom 718	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ps \/ ch ) <-> ( ch \/ ps ) )
12	11	ralbii 2472	. . . . . . . . 9 |- ( A. x e. A ( ps \/ ch ) <-> A. x e. A ( ch \/ ps ) )
13	12	biimpi 119	. . . . . . . 8 |- ( A. x e. A ( ps \/ ch ) -> A. x e. A ( ch \/ ps ) )
14		exmidexmid 4175	. . . . . . . 8 |- (EXMID -> DECID E. x e. A ps )
15		r19.30dc 2613	. . . . . . . 8 |- ( ( A. x e. A ( ch \/ ps ) /\ DECID E. x e. A ps ) -> ( A. x e. A ch \/ E. x e. A ps ) )
16	13, 14, 15	syl2an 287	. . . . . . 7 |- ( ( A. x e. A ( ps \/ ch ) /\ EXMID ) -> ( A. x e. A ch \/ E. x e. A ps ) )
17	16	orcomd 719	. . . . . 6 |- ( ( A. x e. A ( ps \/ ch ) /\ EXMID ) -> ( E. x e. A ps \/ A. x e. A ch ) )
18	9, 10, 17	syl2anc 409	. . . . 5 |- ( ( ( A. x e. A ( ph \/ ps \/ ch ) /\ EXMID ) /\ A. x e. A ( ps \/ ch ) ) -> ( E. x e. A ps \/ A. x e. A ch ) )
19	18	ex 114	. . . 4 |- ( ( A. x e. A ( ph \/ ps \/ ch ) /\ EXMID ) -> ( A. x e. A ( ps \/ ch ) -> ( E. x e. A ps \/ A. x e. A ch ) ) )
20	19	orim2d 778	. . 3 |- ( ( A. x e. A ( ph \/ ps \/ ch ) /\ EXMID ) -> ( ( E. x e. A ph \/ A. x e. A ( ps \/ ch ) ) -> ( E. x e. A ph \/ ( E. x e. A ps \/ A. x e. A ch ) ) ) )
21	8, 20	mpd 13	. 2 |- ( ( A. x e. A ( ph \/ ps \/ ch ) /\ EXMID ) -> ( E. x e. A ph \/ ( E. x e. A ps \/ A. x e. A ch ) ) )
22		3orass 971	. 2 |- ( ( E. x e. A ph \/ E. x e. A ps \/ A. x e. A ch ) <-> ( E. x e. A ph \/ ( E. x e. A ps \/ A. x e. A ch ) ) )
23	21, 22	sylibr 133	1 |- ( ( A. x e. A ( ph \/ ps \/ ch ) /\ EXMID ) -> ( E. x e. A ph \/ E. x e. A ps \/ A. x e. A ch ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   \/ wo 698  DECID wdc 824   \/ w3o 967   A.wral 2444   E.wrex 2445  EXMIDwem 4173

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-rex 2450  df-rab 2453  df-v 2728  df-dif 3118  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-pw 3561  df-sn 3582  df-exmid 4174

This theorem is referenced by:  exmidontriimlem2  7178