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Theorem exmidontriimlem1 7157
Description: Lemma for exmidontriim 7161. A variation of r19.30dc 2604. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Aug-2024.)
Assertion
Ref Expression
exmidontriimlem1  |-  ( ( A. x  e.  A  ( ph  \/  ps  \/  ch )  /\ EXMID )  ->  ( E. x  e.  A  ph  \/  E. x  e.  A  ps  \/  A. x  e.  A  ch ) )

Proof of Theorem exmidontriimlem1
StepHypRef Expression
1 3orass 966 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  \/  ps  \/  ch )  <->  ( ph  \/  ( ps  \/  ch ) ) )
21biimpi 119 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  \/  ps  \/  ch )  ->  ( ph  \/  ( ps  \/  ch ) ) )
32orcomd 719 . . . . . 6  |-  ( (
ph  \/  ps  \/  ch )  ->  ( ( ps  \/  ch )  \/  ph ) )
43ralimi 2520 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  A  ( ph  \/  ps  \/  ch )  ->  A. x  e.  A  ( ( ps  \/  ch )  \/  ph )
)
5 exmidexmid 4158 . . . . 5  |-  (EXMID  -> DECID  E. x  e.  A  ph )
6 r19.30dc 2604 . . . . 5  |-  ( ( A. x  e.  A  ( ( ps  \/  ch )  \/  ph )  /\ DECID  E. x  e.  A  ph )  ->  ( A. x  e.  A  ( ps  \/  ch )  \/  E. x  e.  A  ph )
)
74, 5, 6syl2an 287 . . . 4  |-  ( ( A. x  e.  A  ( ph  \/  ps  \/  ch )  /\ EXMID )  ->  ( A. x  e.  A  ( ps  \/  ch )  \/ 
E. x  e.  A  ph ) )
87orcomd 719 . . 3  |-  ( ( A. x  e.  A  ( ph  \/  ps  \/  ch )  /\ EXMID )  ->  ( E. x  e.  A  ph  \/  A. x  e.  A  ( ps  \/  ch ) ) )
9 simpr 109 . . . . . 6  |-  ( ( ( A. x  e.  A  ( ph  \/  ps  \/  ch )  /\ EXMID )  /\  A. x  e.  A  ( ps  \/  ch ) )  ->  A. x  e.  A  ( ps  \/  ch ) )
10 simplr 520 . . . . . 6  |-  ( ( ( A. x  e.  A  ( ph  \/  ps  \/  ch )  /\ EXMID )  /\  A. x  e.  A  ( ps  \/  ch ) )  -> EXMID )
11 orcom 718 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ps  \/  ch )  <->  ( ch  \/  ps )
)
1211ralbii 2463 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  A  ( ps  \/  ch )  <->  A. x  e.  A  ( ch  \/  ps ) )
1312biimpi 119 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  A  ( ps  \/  ch )  ->  A. x  e.  A  ( ch  \/  ps ) )
14 exmidexmid 4158 . . . . . . . 8  |-  (EXMID  -> DECID  E. x  e.  A  ps )
15 r19.30dc 2604 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. x  e.  A  ( ch  \/  ps )  /\ DECID 
E. x  e.  A  ps )  ->  ( A. x  e.  A  ch  \/  E. x  e.  A  ps ) )
1613, 14, 15syl2an 287 . . . . . . 7  |-  ( ( A. x  e.  A  ( ps  \/  ch )  /\ EXMID )  ->  ( A. x  e.  A  ch  \/  E. x  e.  A  ps ) )
1716orcomd 719 . . . . . 6  |-  ( ( A. x  e.  A  ( ps  \/  ch )  /\ EXMID )  ->  ( E. x  e.  A  ps  \/  A. x  e.  A  ch ) )
189, 10, 17syl2anc 409 . . . . 5  |-  ( ( ( A. x  e.  A  ( ph  \/  ps  \/  ch )  /\ EXMID )  /\  A. x  e.  A  ( ps  \/  ch ) )  ->  ( E. x  e.  A  ps  \/  A. x  e.  A  ch ) )
1918ex 114 . . . 4  |-  ( ( A. x  e.  A  ( ph  \/  ps  \/  ch )  /\ EXMID )  ->  ( A. x  e.  A  ( ps  \/  ch )  -> 
( E. x  e.  A  ps  \/  A. x  e.  A  ch ) ) )
2019orim2d 778 . . 3  |-  ( ( A. x  e.  A  ( ph  \/  ps  \/  ch )  /\ EXMID )  ->  ( ( E. x  e.  A  ph  \/  A. x  e.  A  ( ps  \/  ch ) )  ->  ( E. x  e.  A  ph  \/  ( E. x  e.  A  ps  \/  A. x  e.  A  ch ) ) ) )
218, 20mpd 13 . 2  |-  ( ( A. x  e.  A  ( ph  \/  ps  \/  ch )  /\ EXMID )  ->  ( E. x  e.  A  ph  \/  ( E. x  e.  A  ps  \/  A. x  e.  A  ch ) ) )
22 3orass 966 . 2  |-  ( ( E. x  e.  A  ph  \/  E. x  e.  A  ps  \/  A. x  e.  A  ch ) 
<->  ( E. x  e.  A  ph  \/  ( E. x  e.  A  ps  \/  A. x  e.  A  ch ) ) )
2321, 22sylibr 133 1  |-  ( ( A. x  e.  A  ( ph  \/  ps  \/  ch )  /\ EXMID )  ->  ( E. x  e.  A  ph  \/  E. x  e.  A  ps  \/  A. x  e.  A  ch ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    \/ wo 698  DECID wdc 820    \/ w3o 962   A.wral 2435   E.wrex 2436  EXMIDwem 4156
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4083  ax-nul 4091  ax-pow 4136
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ral 2440  df-rex 2441  df-rab 2444  df-v 2714  df-dif 3104  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-pw 3545  df-sn 3566  df-exmid 4157
This theorem is referenced by:  exmidontriimlem2  7158
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