Theorem exmidontriimlem1 7281

Description: Lemma for exmidontriim 7285. A variation of r19.30dc 2641. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
exmidontriimlem1	|- ( ( A. x e. A ( ph \/ ps \/ ch ) /\ EXMID ) -> ( E. x e. A ph \/ E. x e. A ps \/ A. x e. A ch ) )

Proof of Theorem exmidontriimlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3orass 983	. . . . . . . 8 |- ( ( ph \/ ps \/ ch ) <-> ( ph \/ ( ps \/ ch ) ) )
2	1	biimpi 120	. . . . . . 7 |- ( ( ph \/ ps \/ ch ) -> ( ph \/ ( ps \/ ch ) ) )
3	2	orcomd 730	. . . . . 6 |- ( ( ph \/ ps \/ ch ) -> ( ( ps \/ ch ) \/ ph ) )
4	3	ralimi 2557	. . . . 5 |- ( A. x e. A ( ph \/ ps \/ ch ) -> A. x e. A ( ( ps \/ ch ) \/ ph ) )
5		exmidexmid 4225	. . . . 5 |- (EXMID -> DECID E. x e. A ph )
6		r19.30dc 2641	. . . . 5 |- ( ( A. x e. A ( ( ps \/ ch ) \/ ph ) /\ DECID E. x e. A ph ) -> ( A. x e. A ( ps \/ ch ) \/ E. x e. A ph ) )
7	4, 5, 6	syl2an 289	. . . 4 |- ( ( A. x e. A ( ph \/ ps \/ ch ) /\ EXMID ) -> ( A. x e. A ( ps \/ ch ) \/ E. x e. A ph ) )
8	7	orcomd 730	. . 3 |- ( ( A. x e. A ( ph \/ ps \/ ch ) /\ EXMID ) -> ( E. x e. A ph \/ A. x e. A ( ps \/ ch ) ) )
9		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( ( A. x e. A ( ph \/ ps \/ ch ) /\ EXMID ) /\ A. x e. A ( ps \/ ch ) ) -> A. x e. A ( ps \/ ch ) )
10		simplr 528	. . . . . 6 |- ( ( ( A. x e. A ( ph \/ ps \/ ch ) /\ EXMID ) /\ A. x e. A ( ps \/ ch ) ) -> EXMID )
11		orcom 729	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ps \/ ch ) <-> ( ch \/ ps ) )
12	11	ralbii 2500	. . . . . . . . 9 |- ( A. x e. A ( ps \/ ch ) <-> A. x e. A ( ch \/ ps ) )
13	12	biimpi 120	. . . . . . . 8 |- ( A. x e. A ( ps \/ ch ) -> A. x e. A ( ch \/ ps ) )
14		exmidexmid 4225	. . . . . . . 8 |- (EXMID -> DECID E. x e. A ps )
15		r19.30dc 2641	. . . . . . . 8 |- ( ( A. x e. A ( ch \/ ps ) /\ DECID E. x e. A ps ) -> ( A. x e. A ch \/ E. x e. A ps ) )
16	13, 14, 15	syl2an 289	. . . . . . 7 |- ( ( A. x e. A ( ps \/ ch ) /\ EXMID ) -> ( A. x e. A ch \/ E. x e. A ps ) )
17	16	orcomd 730	. . . . . 6 |- ( ( A. x e. A ( ps \/ ch ) /\ EXMID ) -> ( E. x e. A ps \/ A. x e. A ch ) )
18	9, 10, 17	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( ( A. x e. A ( ph \/ ps \/ ch ) /\ EXMID ) /\ A. x e. A ( ps \/ ch ) ) -> ( E. x e. A ps \/ A. x e. A ch ) )
19	18	ex 115	. . . 4 |- ( ( A. x e. A ( ph \/ ps \/ ch ) /\ EXMID ) -> ( A. x e. A ( ps \/ ch ) -> ( E. x e. A ps \/ A. x e. A ch ) ) )
20	19	orim2d 789	. . 3 |- ( ( A. x e. A ( ph \/ ps \/ ch ) /\ EXMID ) -> ( ( E. x e. A ph \/ A. x e. A ( ps \/ ch ) ) -> ( E. x e. A ph \/ ( E. x e. A ps \/ A. x e. A ch ) ) ) )
21	8, 20	mpd 13	. 2 |- ( ( A. x e. A ( ph \/ ps \/ ch ) /\ EXMID ) -> ( E. x e. A ph \/ ( E. x e. A ps \/ A. x e. A ch ) ) )
22		3orass 983	. 2 |- ( ( E. x e. A ph \/ E. x e. A ps \/ A. x e. A ch ) <-> ( E. x e. A ph \/ ( E. x e. A ps \/ A. x e. A ch ) ) )
23	21, 22	sylibr 134	1 |- ( ( A. x e. A ( ph \/ ps \/ ch ) /\ EXMID ) -> ( E. x e. A ph \/ E. x e. A ps \/ A. x e. A ch ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 709  DECID wdc 835   \/ w3o 979   A.wral 2472   E.wrex 2473  EXMIDwem 4223

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-dif 3155  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-exmid 4224

This theorem is referenced by:  exmidontriimlem2  7282