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Theorem exmidontriimlem1 7198
Description: Lemma for exmidontriim 7202. A variation of r19.30dc 2617. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Aug-2024.)
Assertion
Ref Expression
exmidontriimlem1  |-  ( ( A. x  e.  A  ( ph  \/  ps  \/  ch )  /\ EXMID )  ->  ( E. x  e.  A  ph  \/  E. x  e.  A  ps  \/  A. x  e.  A  ch ) )

Proof of Theorem exmidontriimlem1
StepHypRef Expression
1 3orass 976 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  \/  ps  \/  ch )  <->  ( ph  \/  ( ps  \/  ch ) ) )
21biimpi 119 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  \/  ps  \/  ch )  ->  ( ph  \/  ( ps  \/  ch ) ) )
32orcomd 724 . . . . . 6  |-  ( (
ph  \/  ps  \/  ch )  ->  ( ( ps  \/  ch )  \/  ph ) )
43ralimi 2533 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  A  ( ph  \/  ps  \/  ch )  ->  A. x  e.  A  ( ( ps  \/  ch )  \/  ph )
)
5 exmidexmid 4182 . . . . 5  |-  (EXMID  -> DECID  E. x  e.  A  ph )
6 r19.30dc 2617 . . . . 5  |-  ( ( A. x  e.  A  ( ( ps  \/  ch )  \/  ph )  /\ DECID  E. x  e.  A  ph )  ->  ( A. x  e.  A  ( ps  \/  ch )  \/  E. x  e.  A  ph )
)
74, 5, 6syl2an 287 . . . 4  |-  ( ( A. x  e.  A  ( ph  \/  ps  \/  ch )  /\ EXMID )  ->  ( A. x  e.  A  ( ps  \/  ch )  \/ 
E. x  e.  A  ph ) )
87orcomd 724 . . 3  |-  ( ( A. x  e.  A  ( ph  \/  ps  \/  ch )  /\ EXMID )  ->  ( E. x  e.  A  ph  \/  A. x  e.  A  ( ps  \/  ch ) ) )
9 simpr 109 . . . . . 6  |-  ( ( ( A. x  e.  A  ( ph  \/  ps  \/  ch )  /\ EXMID )  /\  A. x  e.  A  ( ps  \/  ch ) )  ->  A. x  e.  A  ( ps  \/  ch ) )
10 simplr 525 . . . . . 6  |-  ( ( ( A. x  e.  A  ( ph  \/  ps  \/  ch )  /\ EXMID )  /\  A. x  e.  A  ( ps  \/  ch ) )  -> EXMID )
11 orcom 723 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ps  \/  ch )  <->  ( ch  \/  ps )
)
1211ralbii 2476 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  A  ( ps  \/  ch )  <->  A. x  e.  A  ( ch  \/  ps ) )
1312biimpi 119 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  A  ( ps  \/  ch )  ->  A. x  e.  A  ( ch  \/  ps ) )
14 exmidexmid 4182 . . . . . . . 8  |-  (EXMID  -> DECID  E. x  e.  A  ps )
15 r19.30dc 2617 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. x  e.  A  ( ch  \/  ps )  /\ DECID 
E. x  e.  A  ps )  ->  ( A. x  e.  A  ch  \/  E. x  e.  A  ps ) )
1613, 14, 15syl2an 287 . . . . . . 7  |-  ( ( A. x  e.  A  ( ps  \/  ch )  /\ EXMID )  ->  ( A. x  e.  A  ch  \/  E. x  e.  A  ps ) )
1716orcomd 724 . . . . . 6  |-  ( ( A. x  e.  A  ( ps  \/  ch )  /\ EXMID )  ->  ( E. x  e.  A  ps  \/  A. x  e.  A  ch ) )
189, 10, 17syl2anc 409 . . . . 5  |-  ( ( ( A. x  e.  A  ( ph  \/  ps  \/  ch )  /\ EXMID )  /\  A. x  e.  A  ( ps  \/  ch ) )  ->  ( E. x  e.  A  ps  \/  A. x  e.  A  ch ) )
1918ex 114 . . . 4  |-  ( ( A. x  e.  A  ( ph  \/  ps  \/  ch )  /\ EXMID )  ->  ( A. x  e.  A  ( ps  \/  ch )  -> 
( E. x  e.  A  ps  \/  A. x  e.  A  ch ) ) )
2019orim2d 783 . . 3  |-  ( ( A. x  e.  A  ( ph  \/  ps  \/  ch )  /\ EXMID )  ->  ( ( E. x  e.  A  ph  \/  A. x  e.  A  ( ps  \/  ch ) )  ->  ( E. x  e.  A  ph  \/  ( E. x  e.  A  ps  \/  A. x  e.  A  ch ) ) ) )
218, 20mpd 13 . 2  |-  ( ( A. x  e.  A  ( ph  \/  ps  \/  ch )  /\ EXMID )  ->  ( E. x  e.  A  ph  \/  ( E. x  e.  A  ps  \/  A. x  e.  A  ch ) ) )
22 3orass 976 . 2  |-  ( ( E. x  e.  A  ph  \/  E. x  e.  A  ps  \/  A. x  e.  A  ch ) 
<->  ( E. x  e.  A  ph  \/  ( E. x  e.  A  ps  \/  A. x  e.  A  ch ) ) )
2321, 22sylibr 133 1  |-  ( ( A. x  e.  A  ( ph  \/  ps  \/  ch )  /\ EXMID )  ->  ( E. x  e.  A  ph  \/  E. x  e.  A  ps  \/  A. x  e.  A  ch ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    \/ wo 703  DECID wdc 829    \/ w3o 972   A.wral 2448   E.wrex 2449  EXMIDwem 4180
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-rab 2457  df-v 2732  df-dif 3123  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-exmid 4181
This theorem is referenced by:  exmidontriimlem2  7199
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