Theorem exmidontriimlem1 7567

Description: Lemma for exmidontriim 7571. A variation of r19.30dc 2698. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
exmidontriimlem1	|- ( ( A. x e. A ( ph \/ ps \/ ch ) /\ EXMID ) -> ( E. x e. A ph \/ E. x e. A ps \/ A. x e. A ch ) )

Proof of Theorem exmidontriimlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3orass 1012	. . . . . . . 8 |- ( ( ph \/ ps \/ ch ) <-> ( ph \/ ( ps \/ ch ) ) )
2	1	biimpi 120	. . . . . . 7 |- ( ( ph \/ ps \/ ch ) -> ( ph \/ ( ps \/ ch ) ) )
3	2	orcomd 741	. . . . . 6 |- ( ( ph \/ ps \/ ch ) -> ( ( ps \/ ch ) \/ ph ) )
4	3	ralimi 2613	. . . . 5 |- ( A. x e. A ( ph \/ ps \/ ch ) -> A. x e. A ( ( ps \/ ch ) \/ ph ) )
5		exmidexmid 4328	. . . . 5 |- (EXMID -> DECID E. x e. A ph )
6		r19.30dc 2698	. . . . 5 |- ( ( A. x e. A ( ( ps \/ ch ) \/ ph ) /\ DECID E. x e. A ph ) -> ( A. x e. A ( ps \/ ch ) \/ E. x e. A ph ) )
7	4, 5, 6	syl2an 289	. . . 4 |- ( ( A. x e. A ( ph \/ ps \/ ch ) /\ EXMID ) -> ( A. x e. A ( ps \/ ch ) \/ E. x e. A ph ) )
8	7	orcomd 741	. . 3 |- ( ( A. x e. A ( ph \/ ps \/ ch ) /\ EXMID ) -> ( E. x e. A ph \/ A. x e. A ( ps \/ ch ) ) )
9		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( ( A. x e. A ( ph \/ ps \/ ch ) /\ EXMID ) /\ A. x e. A ( ps \/ ch ) ) -> A. x e. A ( ps \/ ch ) )
10		simplr 533	. . . . . 6 |- ( ( ( A. x e. A ( ph \/ ps \/ ch ) /\ EXMID ) /\ A. x e. A ( ps \/ ch ) ) -> EXMID )
11		orcom 740	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ps \/ ch ) <-> ( ch \/ ps ) )
12	11	ralbii 2556	. . . . . . . . 9 |- ( A. x e. A ( ps \/ ch ) <-> A. x e. A ( ch \/ ps ) )
13	12	biimpi 120	. . . . . . . 8 |- ( A. x e. A ( ps \/ ch ) -> A. x e. A ( ch \/ ps ) )
14		exmidexmid 4328	. . . . . . . 8 |- (EXMID -> DECID E. x e. A ps )
15		r19.30dc 2698	. . . . . . . 8 |- ( ( A. x e. A ( ch \/ ps ) /\ DECID E. x e. A ps ) -> ( A. x e. A ch \/ E. x e. A ps ) )
16	13, 14, 15	syl2an 289	. . . . . . 7 |- ( ( A. x e. A ( ps \/ ch ) /\ EXMID ) -> ( A. x e. A ch \/ E. x e. A ps ) )
17	16	orcomd 741	. . . . . 6 |- ( ( A. x e. A ( ps \/ ch ) /\ EXMID ) -> ( E. x e. A ps \/ A. x e. A ch ) )
18	9, 10, 17	syl2anc 415	. . . . 5 |- ( ( ( A. x e. A ( ph \/ ps \/ ch ) /\ EXMID ) /\ A. x e. A ( ps \/ ch ) ) -> ( E. x e. A ps \/ A. x e. A ch ) )
19	18	ex 115	. . . 4 |- ( ( A. x e. A ( ph \/ ps \/ ch ) /\ EXMID ) -> ( A. x e. A ( ps \/ ch ) -> ( E. x e. A ps \/ A. x e. A ch ) ) )
20	19	orim2d 800	. . 3 |- ( ( A. x e. A ( ph \/ ps \/ ch ) /\ EXMID ) -> ( ( E. x e. A ph \/ A. x e. A ( ps \/ ch ) ) -> ( E. x e. A ph \/ ( E. x e. A ps \/ A. x e. A ch ) ) ) )
21	8, 20	mpd 13	. 2 |- ( ( A. x e. A ( ph \/ ps \/ ch ) /\ EXMID ) -> ( E. x e. A ph \/ ( E. x e. A ps \/ A. x e. A ch ) ) )
22		3orass 1012	. 2 |- ( ( E. x e. A ph \/ E. x e. A ps \/ A. x e. A ch ) <-> ( E. x e. A ph \/ ( E. x e. A ps \/ A. x e. A ch ) ) )
23	21, 22	sylibr 134	1 |- ( ( A. x e. A ( ph \/ ps \/ ch ) /\ EXMID ) -> ( E. x e. A ph \/ E. x e. A ps \/ A. x e. A ch ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 720  DECID wdc 846   \/ w3o 1008   A.wral 2528   E.wrex 2529  EXMIDwem 4326

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-dif 3222  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3687  df-sn 3711  df-exmid 4327

This theorem is referenced by:  exmidontriimlem2  7568