Theorem exmidontriimlem1 7216

Description: Lemma for exmidontriim 7220. A variation of r19.30dc 2624. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
exmidontriimlem1	|- ( ( A. x e. A ( ph \/ ps \/ ch ) /\ EXMID ) -> ( E. x e. A ph \/ E. x e. A ps \/ A. x e. A ch ) )

Proof of Theorem exmidontriimlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3orass 981	. . . . . . . 8 |- ( ( ph \/ ps \/ ch ) <-> ( ph \/ ( ps \/ ch ) ) )
2	1	biimpi 120	. . . . . . 7 |- ( ( ph \/ ps \/ ch ) -> ( ph \/ ( ps \/ ch ) ) )
3	2	orcomd 729	. . . . . 6 |- ( ( ph \/ ps \/ ch ) -> ( ( ps \/ ch ) \/ ph ) )
4	3	ralimi 2540	. . . . 5 |- ( A. x e. A ( ph \/ ps \/ ch ) -> A. x e. A ( ( ps \/ ch ) \/ ph ) )
5		exmidexmid 4195	. . . . 5 |- (EXMID -> DECID E. x e. A ph )
6		r19.30dc 2624	. . . . 5 |- ( ( A. x e. A ( ( ps \/ ch ) \/ ph ) /\ DECID E. x e. A ph ) -> ( A. x e. A ( ps \/ ch ) \/ E. x e. A ph ) )
7	4, 5, 6	syl2an 289	. . . 4 |- ( ( A. x e. A ( ph \/ ps \/ ch ) /\ EXMID ) -> ( A. x e. A ( ps \/ ch ) \/ E. x e. A ph ) )
8	7	orcomd 729	. . 3 |- ( ( A. x e. A ( ph \/ ps \/ ch ) /\ EXMID ) -> ( E. x e. A ph \/ A. x e. A ( ps \/ ch ) ) )
9		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( ( A. x e. A ( ph \/ ps \/ ch ) /\ EXMID ) /\ A. x e. A ( ps \/ ch ) ) -> A. x e. A ( ps \/ ch ) )
10		simplr 528	. . . . . 6 |- ( ( ( A. x e. A ( ph \/ ps \/ ch ) /\ EXMID ) /\ A. x e. A ( ps \/ ch ) ) -> EXMID )
11		orcom 728	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ps \/ ch ) <-> ( ch \/ ps ) )
12	11	ralbii 2483	. . . . . . . . 9 |- ( A. x e. A ( ps \/ ch ) <-> A. x e. A ( ch \/ ps ) )
13	12	biimpi 120	. . . . . . . 8 |- ( A. x e. A ( ps \/ ch ) -> A. x e. A ( ch \/ ps ) )
14		exmidexmid 4195	. . . . . . . 8 |- (EXMID -> DECID E. x e. A ps )
15		r19.30dc 2624	. . . . . . . 8 |- ( ( A. x e. A ( ch \/ ps ) /\ DECID E. x e. A ps ) -> ( A. x e. A ch \/ E. x e. A ps ) )
16	13, 14, 15	syl2an 289	. . . . . . 7 |- ( ( A. x e. A ( ps \/ ch ) /\ EXMID ) -> ( A. x e. A ch \/ E. x e. A ps ) )
17	16	orcomd 729	. . . . . 6 |- ( ( A. x e. A ( ps \/ ch ) /\ EXMID ) -> ( E. x e. A ps \/ A. x e. A ch ) )
18	9, 10, 17	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( ( A. x e. A ( ph \/ ps \/ ch ) /\ EXMID ) /\ A. x e. A ( ps \/ ch ) ) -> ( E. x e. A ps \/ A. x e. A ch ) )
19	18	ex 115	. . . 4 |- ( ( A. x e. A ( ph \/ ps \/ ch ) /\ EXMID ) -> ( A. x e. A ( ps \/ ch ) -> ( E. x e. A ps \/ A. x e. A ch ) ) )
20	19	orim2d 788	. . 3 |- ( ( A. x e. A ( ph \/ ps \/ ch ) /\ EXMID ) -> ( ( E. x e. A ph \/ A. x e. A ( ps \/ ch ) ) -> ( E. x e. A ph \/ ( E. x e. A ps \/ A. x e. A ch ) ) ) )
21	8, 20	mpd 13	. 2 |- ( ( A. x e. A ( ph \/ ps \/ ch ) /\ EXMID ) -> ( E. x e. A ph \/ ( E. x e. A ps \/ A. x e. A ch ) ) )
22		3orass 981	. 2 |- ( ( E. x e. A ph \/ E. x e. A ps \/ A. x e. A ch ) <-> ( E. x e. A ph \/ ( E. x e. A ps \/ A. x e. A ch ) ) )
23	21, 22	sylibr 134	1 |- ( ( A. x e. A ( ph \/ ps \/ ch ) /\ EXMID ) -> ( E. x e. A ph \/ E. x e. A ps \/ A. x e. A ch ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 708  DECID wdc 834   \/ w3o 977   A.wral 2455   E.wrex 2456  EXMIDwem 4193

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4120  ax-nul 4128  ax-pow 4173

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-dif 3131  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577  df-sn 3598  df-exmid 4194

This theorem is referenced by:  exmidontriimlem2  7217