Theorem sssneq 13513

Description: Any two elements of a subset of a singleton are equal. (Contributed by Jim Kingdon, 28-May-2024.)

Assertion

Ref	Expression
sssneq	|- ( A C_ { B } -> A. y e. A A. z e. A y = z )

Distinct variable groups:   y, A, z   y, B, z

Proof of Theorem sssneq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 108	. . . . 5 |- ( ( A C_ { B } /\ ( y e. A /\ z e. A ) ) -> A C_ { B } )
2		simprl 521	. . . . 5 |- ( ( A C_ { B } /\ ( y e. A /\ z e. A ) ) -> y e. A )
3	1, 2	sseldd 3125	. . . 4 |- ( ( A C_ { B } /\ ( y e. A /\ z e. A ) ) -> y e. { B } )
4		elsni 3574	. . . 4 |- ( y e. { B } -> y = B )
5	3, 4	syl 14	. . 3 |- ( ( A C_ { B } /\ ( y e. A /\ z e. A ) ) -> y = B )
6		simprr 522	. . . . 5 |- ( ( A C_ { B } /\ ( y e. A /\ z e. A ) ) -> z e. A )
7	1, 6	sseldd 3125	. . . 4 |- ( ( A C_ { B } /\ ( y e. A /\ z e. A ) ) -> z e. { B } )
8		elsni 3574	. . . 4 |- ( z e. { B } -> z = B )
9	7, 8	syl 14	. . 3 |- ( ( A C_ { B } /\ ( y e. A /\ z e. A ) ) -> z = B )
10	5, 9	eqtr4d 2190	. 2 |- ( ( A C_ { B } /\ ( y e. A /\ z e. A ) ) -> y = z )
11	10	ralrimivva 2536	1 |- ( A C_ { B } -> A. y e. A A. z e. A y = z )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1332   e. wcel 2125   A.wral 2432   C_ wss 3098   {csn 3556

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1481  ax-10 1482  ax-11 1483  ax-i12 1484  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1503  ax-i9 1507  ax-ial 1511  ax-i5r 1512  ax-ext 2136

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1740  df-clab 2141  df-cleq 2147  df-clel 2150  df-nfc 2285  df-ral 2437  df-v 2711  df-in 3104  df-ss 3111  df-sn 3562

This theorem is referenced by: (None)