Theorem pw1nct 13883

Description: A condition which ensures that the powerset of a singleton is not countable. The antecedent here can be referred to as the uniformity principle. Based on Mastodon posts by Andrej Bauer and Rahul Chhabra. (Contributed by Jim Kingdon, 29-May-2024.)

Assertion

Ref	Expression
pw1nct	|- ( A. r ( r C_ ( ~P 1o X. om ) -> ( A. p e. ~P 1o E. n e. om p r n -> E. m e. om A. q e. ~P 1o q r m ) ) -> -. E. f f : om -onto-> ( ~P 1o ⊔ 1o ) )

Distinct variable groups:   f, m, n, p, r   f, q, m, r

Proof of Theorem pw1nct

Dummy variable w is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1516	. . . . . . . 8 |- F/ m r C_ ( ~P 1o X. om )
2		nfv 1516	. . . . . . . . 9 |- F/ m A. p e. ~P 1o E. n e. om p r n
3		nfre1 2509	. . . . . . . . 9 |- F/ m E. m e. om A. q e. ~P 1o q r m
4	2, 3	nfim 1560	. . . . . . . 8 |- F/ m ( A. p e. ~P 1o E. n e. om p r n -> E. m e. om A. q e. ~P 1o q r m )
5	1, 4	nfim 1560	. . . . . . 7 |- F/ m ( r C_ ( ~P 1o X. om ) -> ( A. p e. ~P 1o E. n e. om p r n -> E. m e. om A. q e. ~P 1o q r m ) )
6	5	nfal 1564	. . . . . 6 |- F/ m A. r ( r C_ ( ~P 1o X. om ) -> ( A. p e. ~P 1o E. n e. om p r n -> E. m e. om A. q e. ~P 1o q r m ) )
7		nfv 1516	. . . . . 6 |- F/ m f : om -onto-> ~P 1o
8	6, 7	nfan 1553	. . . . 5 |- F/ m ( A. r ( r C_ ( ~P 1o X. om ) -> ( A. p e. ~P 1o E. n e. om p r n -> E. m e. om A. q e. ~P 1o q r m ) ) /\ f : om -onto-> ~P 1o )
9		breq1 3985	. . . . . . . . 9 |- ( q = (/) -> ( q `' f m <-> (/) `' f m ) )
10		simpr 109	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A. r ( r C_ ( ~P 1o X. om ) -> ( A. p e. ~P 1o E. n e. om p r n -> E. m e. om A. q e. ~P 1o q r m ) ) /\ f : om -onto-> ~P 1o ) /\ m e. om ) /\ A. q e. ~P 1o q `' f m ) -> A. q e. ~P 1o q `' f m )
11		0elpw 4143	. . . . . . . . . 10 |- (/) e. ~P 1o
12	11	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A. r ( r C_ ( ~P 1o X. om ) -> ( A. p e. ~P 1o E. n e. om p r n -> E. m e. om A. q e. ~P 1o q r m ) ) /\ f : om -onto-> ~P 1o ) /\ m e. om ) /\ A. q e. ~P 1o q `' f m ) -> (/) e. ~P 1o )
13	9, 10, 12	rspcdva 2835	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A. r ( r C_ ( ~P 1o X. om ) -> ( A. p e. ~P 1o E. n e. om p r n -> E. m e. om A. q e. ~P 1o q r m ) ) /\ f : om -onto-> ~P 1o ) /\ m e. om ) /\ A. q e. ~P 1o q `' f m ) -> (/) `' f m )
14		0ex 4109	. . . . . . . . 9 |- (/) e. _V
15		vex 2729	. . . . . . . . 9 |- m e. _V
16	14, 15	brcnv 4787	. . . . . . . 8 |- ( (/) `' f m <-> m f (/) )
17	13, 16	sylib 121	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A. r ( r C_ ( ~P 1o X. om ) -> ( A. p e. ~P 1o E. n e. om p r n -> E. m e. om A. q e. ~P 1o q r m ) ) /\ f : om -onto-> ~P 1o ) /\ m e. om ) /\ A. q e. ~P 1o q `' f m ) -> m f (/) )
18		fofn 5412	. . . . . . . . 9 |- ( f : om -onto-> ~P 1o -> f Fn om )
19	18	ad3antlr 485	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A. r ( r C_ ( ~P 1o X. om ) -> ( A. p e. ~P 1o E. n e. om p r n -> E. m e. om A. q e. ~P 1o q r m ) ) /\ f : om -onto-> ~P 1o ) /\ m e. om ) /\ A. q e. ~P 1o q `' f m ) -> f Fn om )
20		simplr 520	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A. r ( r C_ ( ~P 1o X. om ) -> ( A. p e. ~P 1o E. n e. om p r n -> E. m e. om A. q e. ~P 1o q r m ) ) /\ f : om -onto-> ~P 1o ) /\ m e. om ) /\ A. q e. ~P 1o q `' f m ) -> m e. om )
21		fnbrfvb 5527	. . . . . . . 8 |- ( ( f Fn om /\ m e. om ) -> ( ( f ` m ) = (/) <-> m f (/) ) )
22	19, 20, 21	syl2anc 409	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A. r ( r C_ ( ~P 1o X. om ) -> ( A. p e. ~P 1o E. n e. om p r n -> E. m e. om A. q e. ~P 1o q r m ) ) /\ f : om -onto-> ~P 1o ) /\ m e. om ) /\ A. q e. ~P 1o q `' f m ) -> ( ( f ` m ) = (/) <-> m f (/) ) )
23	17, 22	mpbird 166	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A. r ( r C_ ( ~P 1o X. om ) -> ( A. p e. ~P 1o E. n e. om p r n -> E. m e. om A. q e. ~P 1o q r m ) ) /\ f : om -onto-> ~P 1o ) /\ m e. om ) /\ A. q e. ~P 1o q `' f m ) -> ( f ` m ) = (/) )
24		breq1 3985	. . . . . . . . . 10 |- ( q = 1o -> ( q `' f m <-> 1o `' f m ) )
25		1oex 6392	. . . . . . . . . . . 12 |- 1o e. _V
26	25	pwid 3574	. . . . . . . . . . 11 |- 1o e. ~P 1o
27	26	a1i 9	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A. r ( r C_ ( ~P 1o X. om ) -> ( A. p e. ~P 1o E. n e. om p r n -> E. m e. om A. q e. ~P 1o q r m ) ) /\ f : om -onto-> ~P 1o ) /\ m e. om ) /\ A. q e. ~P 1o q `' f m ) -> 1o e. ~P 1o )
28	24, 10, 27	rspcdva 2835	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A. r ( r C_ ( ~P 1o X. om ) -> ( A. p e. ~P 1o E. n e. om p r n -> E. m e. om A. q e. ~P 1o q r m ) ) /\ f : om -onto-> ~P 1o ) /\ m e. om ) /\ A. q e. ~P 1o q `' f m ) -> 1o `' f m )
29	25, 15	brcnv 4787	. . . . . . . . 9 |- ( 1o `' f m <-> m f 1o )
30	28, 29	sylib 121	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A. r ( r C_ ( ~P 1o X. om ) -> ( A. p e. ~P 1o E. n e. om p r n -> E. m e. om A. q e. ~P 1o q r m ) ) /\ f : om -onto-> ~P 1o ) /\ m e. om ) /\ A. q e. ~P 1o q `' f m ) -> m f 1o )
31		fnbrfvb 5527	. . . . . . . . 9 |- ( ( f Fn om /\ m e. om ) -> ( ( f ` m ) = 1o <-> m f 1o ) )
32	19, 20, 31	syl2anc 409	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A. r ( r C_ ( ~P 1o X. om ) -> ( A. p e. ~P 1o E. n e. om p r n -> E. m e. om A. q e. ~P 1o q r m ) ) /\ f : om -onto-> ~P 1o ) /\ m e. om ) /\ A. q e. ~P 1o q `' f m ) -> ( ( f ` m ) = 1o <-> m f 1o ) )
33	30, 32	mpbird 166	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A. r ( r C_ ( ~P 1o X. om ) -> ( A. p e. ~P 1o E. n e. om p r n -> E. m e. om A. q e. ~P 1o q r m ) ) /\ f : om -onto-> ~P 1o ) /\ m e. om ) /\ A. q e. ~P 1o q `' f m ) -> ( f ` m ) = 1o )
34		1n0 6400	. . . . . . . 8 |- 1o =/= (/)
35	34	neii 2338	. . . . . . 7 |- -. 1o = (/)
36		eqeq1 2172	. . . . . . . . 9 |- ( ( f ` m ) = 1o -> ( ( f ` m ) = (/) <-> 1o = (/) ) )
37	36	biimpd 143	. . . . . . . 8 |- ( ( f ` m ) = 1o -> ( ( f ` m ) = (/) -> 1o = (/) ) )
38	37	con3dimp 625	. . . . . . 7 |- ( ( ( f ` m ) = 1o /\ -. 1o = (/) ) -> -. ( f ` m ) = (/) )
39	33, 35, 38	sylancl 410	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A. r ( r C_ ( ~P 1o X. om ) -> ( A. p e. ~P 1o E. n e. om p r n -> E. m e. om A. q e. ~P 1o q r m ) ) /\ f : om -onto-> ~P 1o ) /\ m e. om ) /\ A. q e. ~P 1o q `' f m ) -> -. ( f ` m ) = (/) )
40	23, 39	pm2.21fal 1363	. . . . 5 |- ( ( ( ( A. r ( r C_ ( ~P 1o X. om ) -> ( A. p e. ~P 1o E. n e. om p r n -> E. m e. om A. q e. ~P 1o q r m ) ) /\ f : om -onto-> ~P 1o ) /\ m e. om ) /\ A. q e. ~P 1o q `' f m ) -> F. )
41		fof 5410	. . . . . . . 8 |- ( f : om -onto-> ~P 1o -> f : om --> ~P 1o )
42		fssxp 5355	. . . . . . . . . 10 |- ( f : om --> ~P 1o -> f C_ ( om X. ~P 1o ) )
43		cnvss 4777	. . . . . . . . . 10 |- ( f C_ ( om X. ~P 1o ) -> `' f C_ `' ( om X. ~P 1o ) )
44	42, 43	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( f : om --> ~P 1o -> `' f C_ `' ( om X. ~P 1o ) )
45		cnvxp 5022	. . . . . . . . 9 |- `' ( om X. ~P 1o ) = ( ~P 1o X. om )
46	44, 45	sseqtrdi 3190	. . . . . . . 8 |- ( f : om --> ~P 1o -> `' f C_ ( ~P 1o X. om ) )
47	41, 46	syl 14	. . . . . . 7 |- ( f : om -onto-> ~P 1o -> `' f C_ ( ~P 1o X. om ) )
48	47	adantl 275	. . . . . 6 |- ( ( A. r ( r C_ ( ~P 1o X. om ) -> ( A. p e. ~P 1o E. n e. om p r n -> E. m e. om A. q e. ~P 1o q r m ) ) /\ f : om -onto-> ~P 1o ) -> `' f C_ ( ~P 1o X. om ) )
49		foelrn 5721	. . . . . . . . 9 |- ( ( f : om -onto-> ~P 1o /\ p e. ~P 1o ) -> E. n e. om p = ( f ` n ) )
50	18	ad2antrr 480	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( f : om -onto-> ~P 1o /\ p e. ~P 1o ) /\ n e. om ) -> f Fn om )
51		simpr 109	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( f : om -onto-> ~P 1o /\ p e. ~P 1o ) /\ n e. om ) -> n e. om )
52		eqcom 2167	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( f ` n ) = p <-> p = ( f ` n ) )
53		fnbrfvb 5527	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( f Fn om /\ n e. om ) -> ( ( f ` n ) = p <-> n f p ) )
54		brcnvg 4785	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( p e. _V /\ n e. _V ) -> ( p `' f n <-> n f p ) )
55	54	elvd 2731	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( p e. _V -> ( p `' f n <-> n f p ) )
56	55	elv 2730	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( p `' f n <-> n f p )
57	53, 56	bitr4di 197	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( f Fn om /\ n e. om ) -> ( ( f ` n ) = p <-> p `' f n ) )
58	52, 57	bitr3id 193	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( f Fn om /\ n e. om ) -> ( p = ( f ` n ) <-> p `' f n ) )
59	50, 51, 58	syl2anc 409	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( f : om -onto-> ~P 1o /\ p e. ~P 1o ) /\ n e. om ) -> ( p = ( f ` n ) <-> p `' f n ) )
60	59	rexbidva 2463	. . . . . . . . 9 |- ( ( f : om -onto-> ~P 1o /\ p e. ~P 1o ) -> ( E. n e. om p = ( f ` n ) <-> E. n e. om p `' f n ) )
61	49, 60	mpbid 146	. . . . . . . 8 |- ( ( f : om -onto-> ~P 1o /\ p e. ~P 1o ) -> E. n e. om p `' f n )
62	61	ralrimiva 2539	. . . . . . 7 |- ( f : om -onto-> ~P 1o -> A. p e. ~P 1o E. n e. om p `' f n )
63	62	adantl 275	. . . . . 6 |- ( ( A. r ( r C_ ( ~P 1o X. om ) -> ( A. p e. ~P 1o E. n e. om p r n -> E. m e. om A. q e. ~P 1o q r m ) ) /\ f : om -onto-> ~P 1o ) -> A. p e. ~P 1o E. n e. om p `' f n )
64		cnvexg 5141	. . . . . . . 8 |- ( f e. _V -> `' f e. _V )
65	64	elv 2730	. . . . . . 7 |- `' f e. _V
66		simpl 108	. . . . . . 7 |- ( ( A. r ( r C_ ( ~P 1o X. om ) -> ( A. p e. ~P 1o E. n e. om p r n -> E. m e. om A. q e. ~P 1o q r m ) ) /\ f : om -onto-> ~P 1o ) -> A. r ( r C_ ( ~P 1o X. om ) -> ( A. p e. ~P 1o E. n e. om p r n -> E. m e. om A. q e. ~P 1o q r m ) ) )
67		sseq1 3165	. . . . . . . . 9 |- ( r = `' f -> ( r C_ ( ~P 1o X. om ) <-> `' f C_ ( ~P 1o X. om ) ) )
68		breq 3984	. . . . . . . . . . . 12 |- ( r = `' f -> ( p r n <-> p `' f n ) )
69	68	rexbidv 2467	. . . . . . . . . . 11 |- ( r = `' f -> ( E. n e. om p r n <-> E. n e. om p `' f n ) )
70	69	ralbidv 2466	. . . . . . . . . 10 |- ( r = `' f -> ( A. p e. ~P 1o E. n e. om p r n <-> A. p e. ~P 1o E. n e. om p `' f n ) )
71		breq 3984	. . . . . . . . . . . 12 |- ( r = `' f -> ( q r m <-> q `' f m ) )
72	71	ralbidv 2466	. . . . . . . . . . 11 |- ( r = `' f -> ( A. q e. ~P 1o q r m <-> A. q e. ~P 1o q `' f m ) )
73	72	rexbidv 2467	. . . . . . . . . 10 |- ( r = `' f -> ( E. m e. om A. q e. ~P 1o q r m <-> E. m e. om A. q e. ~P 1o q `' f m ) )
74	70, 73	imbi12d 233	. . . . . . . . 9 |- ( r = `' f -> ( ( A. p e. ~P 1o E. n e. om p r n -> E. m e. om A. q e. ~P 1o q r m ) <-> ( A. p e. ~P 1o E. n e. om p `' f n -> E. m e. om A. q e. ~P 1o q `' f m ) ) )
75	67, 74	imbi12d 233	. . . . . . . 8 |- ( r = `' f -> ( ( r C_ ( ~P 1o X. om ) -> ( A. p e. ~P 1o E. n e. om p r n -> E. m e. om A. q e. ~P 1o q r m ) ) <-> ( `' f C_ ( ~P 1o X. om ) -> ( A. p e. ~P 1o E. n e. om p `' f n -> E. m e. om A. q e. ~P 1o q `' f m ) ) ) )
76	75	spcgv 2813	. . . . . . 7 |- ( `' f e. _V -> ( A. r ( r C_ ( ~P 1o X. om ) -> ( A. p e. ~P 1o E. n e. om p r n -> E. m e. om A. q e. ~P 1o q r m ) ) -> ( `' f C_ ( ~P 1o X. om ) -> ( A. p e. ~P 1o E. n e. om p `' f n -> E. m e. om A. q e. ~P 1o q `' f m ) ) ) )
77	65, 66, 76	mpsyl 65	. . . . . 6 |- ( ( A. r ( r C_ ( ~P 1o X. om ) -> ( A. p e. ~P 1o E. n e. om p r n -> E. m e. om A. q e. ~P 1o q r m ) ) /\ f : om -onto-> ~P 1o ) -> ( `' f C_ ( ~P 1o X. om ) -> ( A. p e. ~P 1o E. n e. om p `' f n -> E. m e. om A. q e. ~P 1o q `' f m ) ) )
78	48, 63, 77	mp2d 47	. . . . 5 |- ( ( A. r ( r C_ ( ~P 1o X. om ) -> ( A. p e. ~P 1o E. n e. om p r n -> E. m e. om A. q e. ~P 1o q r m ) ) /\ f : om -onto-> ~P 1o ) -> E. m e. om A. q e. ~P 1o q `' f m )
79	8, 40, 78	r19.29af 2607	. . . 4 |- ( ( A. r ( r C_ ( ~P 1o X. om ) -> ( A. p e. ~P 1o E. n e. om p r n -> E. m e. om A. q e. ~P 1o q r m ) ) /\ f : om -onto-> ~P 1o ) -> F. )
80	79	inegd 1362	. . 3 |- ( A. r ( r C_ ( ~P 1o X. om ) -> ( A. p e. ~P 1o E. n e. om p r n -> E. m e. om A. q e. ~P 1o q r m ) ) -> -. f : om -onto-> ~P 1o )
81	80	nexdv 1924	. 2 |- ( A. r ( r C_ ( ~P 1o X. om ) -> ( A. p e. ~P 1o E. n e. om p r n -> E. m e. om A. q e. ~P 1o q r m ) ) -> -. E. f f : om -onto-> ~P 1o )
82		elex2 2742	. . 3 |- ( (/) e. ~P 1o -> E. w w e. ~P 1o )
83		ctm 7074	. . 3 |- ( E. w w e. ~P 1o -> ( E. f f : om -onto-> ( ~P 1o ⊔ 1o ) <-> E. f f : om -onto-> ~P 1o ) )
84	11, 82, 83	mp2b 8	. 2 |- ( E. f f : om -onto-> ( ~P 1o ⊔ 1o ) <-> E. f f : om -onto-> ~P 1o )
85	81, 84	sylnibr 667	1 |- ( A. r ( r C_ ( ~P 1o X. om ) -> ( A. p e. ~P 1o E. n e. om p r n -> E. m e. om A. q e. ~P 1o q r m ) ) -> -. E. f f : om -onto-> ( ~P 1o ⊔ 1o ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   A.wal 1341   = wceq 1343   F. wfal 1348   E.wex 1480   e. wcel 2136   A.wral 2444   E.wrex 2445   _Vcvv 2726   C_ wss 3116   (/)c0 3409   ~Pcpw 3559   class class class wbr 3982   omcom 4567   X. cxp 4602   `'ccnv 4603   Fn wfn 5183   -->wf 5184   -onto->wfo 5186   ` cfv 5188   1oc1o 6377   ⊔ cdju 7002

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-iinf 4565

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-if 3521  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-iord 4344  df-on 4346  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-1o 6384  df-dju 7003  df-inl 7012  df-inr 7013  df-case 7049

This theorem is referenced by: (None)