Theorem pw1nct 16903

Description: A condition which ensures that the powerset of a singleton is not countable. The antecedent here can be referred to as the uniformity principle. Based on Mastodon posts by Andrej Bauer and Rahul Chhabra. (Contributed by Jim Kingdon, 29-May-2024.)

Assertion

Ref	Expression
pw1nct	|- ( A. r ( r C_ ( ~P 1o X. om ) -> ( A. p e. ~P 1o E. n e. om p r n -> E. m e. om A. q e. ~P 1o q r m ) ) -> -. E. f f : om -onto-> ( ~P 1o ⊔ 1o ) )

Distinct variable groups:   f, m, n, p, r   f, q, m, r

Proof of Theorem pw1nct

Dummy variable w is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1577	. . . . . . . 8 |- F/ m r C_ ( ~P 1o X. om )
2		nfv 1577	. . . . . . . . 9 |- F/ m A. p e. ~P 1o E. n e. om p r n
3		nfre1 2587	. . . . . . . . 9 |- F/ m E. m e. om A. q e. ~P 1o q r m
4	2, 3	nfim 1621	. . . . . . . 8 |- F/ m ( A. p e. ~P 1o E. n e. om p r n -> E. m e. om A. q e. ~P 1o q r m )
5	1, 4	nfim 1621	. . . . . . 7 |- F/ m ( r C_ ( ~P 1o X. om ) -> ( A. p e. ~P 1o E. n e. om p r n -> E. m e. om A. q e. ~P 1o q r m ) )
6	5	nfal 1625	. . . . . 6 |- F/ m A. r ( r C_ ( ~P 1o X. om ) -> ( A. p e. ~P 1o E. n e. om p r n -> E. m e. om A. q e. ~P 1o q r m ) )
7		nfv 1577	. . . . . 6 |- F/ m f : om -onto-> ~P 1o
8	6, 7	nfan 1614	. . . . 5 |- F/ m ( A. r ( r C_ ( ~P 1o X. om ) -> ( A. p e. ~P 1o E. n e. om p r n -> E. m e. om A. q e. ~P 1o q r m ) ) /\ f : om -onto-> ~P 1o )
9		breq1 4117	. . . . . . . . 9 |- ( q = (/) -> ( q `' f m <-> (/) `' f m ) )
10		simpr 110	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A. r ( r C_ ( ~P 1o X. om ) -> ( A. p e. ~P 1o E. n e. om p r n -> E. m e. om A. q e. ~P 1o q r m ) ) /\ f : om -onto-> ~P 1o ) /\ m e. om ) /\ A. q e. ~P 1o q `' f m ) -> A. q e. ~P 1o q `' f m )
11		0elpw 4282	. . . . . . . . . 10 |- (/) e. ~P 1o
12	11	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A. r ( r C_ ( ~P 1o X. om ) -> ( A. p e. ~P 1o E. n e. om p r n -> E. m e. om A. q e. ~P 1o q r m ) ) /\ f : om -onto-> ~P 1o ) /\ m e. om ) /\ A. q e. ~P 1o q `' f m ) -> (/) e. ~P 1o )
13	9, 10, 12	rspcdva 2928	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A. r ( r C_ ( ~P 1o X. om ) -> ( A. p e. ~P 1o E. n e. om p r n -> E. m e. om A. q e. ~P 1o q r m ) ) /\ f : om -onto-> ~P 1o ) /\ m e. om ) /\ A. q e. ~P 1o q `' f m ) -> (/) `' f m )
14		0ex 4242	. . . . . . . . 9 |- (/) e. _V
15		vex 2818	. . . . . . . . 9 |- m e. _V
16	14, 15	brcnv 4943	. . . . . . . 8 |- ( (/) `' f m <-> m f (/) )
17	13, 16	sylib 122	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A. r ( r C_ ( ~P 1o X. om ) -> ( A. p e. ~P 1o E. n e. om p r n -> E. m e. om A. q e. ~P 1o q r m ) ) /\ f : om -onto-> ~P 1o ) /\ m e. om ) /\ A. q e. ~P 1o q `' f m ) -> m f (/) )
18		fofn 5597	. . . . . . . . 9 |- ( f : om -onto-> ~P 1o -> f Fn om )
19	18	ad3antlr 493	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A. r ( r C_ ( ~P 1o X. om ) -> ( A. p e. ~P 1o E. n e. om p r n -> E. m e. om A. q e. ~P 1o q r m ) ) /\ f : om -onto-> ~P 1o ) /\ m e. om ) /\ A. q e. ~P 1o q `' f m ) -> f Fn om )
20		simplr 529	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A. r ( r C_ ( ~P 1o X. om ) -> ( A. p e. ~P 1o E. n e. om p r n -> E. m e. om A. q e. ~P 1o q r m ) ) /\ f : om -onto-> ~P 1o ) /\ m e. om ) /\ A. q e. ~P 1o q `' f m ) -> m e. om )
21		fnbrfvb 5720	. . . . . . . 8 |- ( ( f Fn om /\ m e. om ) -> ( ( f ` m ) = (/) <-> m f (/) ) )
22	19, 20, 21	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A. r ( r C_ ( ~P 1o X. om ) -> ( A. p e. ~P 1o E. n e. om p r n -> E. m e. om A. q e. ~P 1o q r m ) ) /\ f : om -onto-> ~P 1o ) /\ m e. om ) /\ A. q e. ~P 1o q `' f m ) -> ( ( f ` m ) = (/) <-> m f (/) ) )
23	17, 22	mpbird 167	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A. r ( r C_ ( ~P 1o X. om ) -> ( A. p e. ~P 1o E. n e. om p r n -> E. m e. om A. q e. ~P 1o q r m ) ) /\ f : om -onto-> ~P 1o ) /\ m e. om ) /\ A. q e. ~P 1o q `' f m ) -> ( f ` m ) = (/) )
24		breq1 4117	. . . . . . . . . 10 |- ( q = 1o -> ( q `' f m <-> 1o `' f m ) )
25		1oex 6668	. . . . . . . . . . . 12 |- 1o e. _V
26	25	pwid 3692	. . . . . . . . . . 11 |- 1o e. ~P 1o
27	26	a1i 9	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A. r ( r C_ ( ~P 1o X. om ) -> ( A. p e. ~P 1o E. n e. om p r n -> E. m e. om A. q e. ~P 1o q r m ) ) /\ f : om -onto-> ~P 1o ) /\ m e. om ) /\ A. q e. ~P 1o q `' f m ) -> 1o e. ~P 1o )
28	24, 10, 27	rspcdva 2928	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A. r ( r C_ ( ~P 1o X. om ) -> ( A. p e. ~P 1o E. n e. om p r n -> E. m e. om A. q e. ~P 1o q r m ) ) /\ f : om -onto-> ~P 1o ) /\ m e. om ) /\ A. q e. ~P 1o q `' f m ) -> 1o `' f m )
29	25, 15	brcnv 4943	. . . . . . . . 9 |- ( 1o `' f m <-> m f 1o )
30	28, 29	sylib 122	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A. r ( r C_ ( ~P 1o X. om ) -> ( A. p e. ~P 1o E. n e. om p r n -> E. m e. om A. q e. ~P 1o q r m ) ) /\ f : om -onto-> ~P 1o ) /\ m e. om ) /\ A. q e. ~P 1o q `' f m ) -> m f 1o )
31		fnbrfvb 5720	. . . . . . . . 9 |- ( ( f Fn om /\ m e. om ) -> ( ( f ` m ) = 1o <-> m f 1o ) )
32	19, 20, 31	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A. r ( r C_ ( ~P 1o X. om ) -> ( A. p e. ~P 1o E. n e. om p r n -> E. m e. om A. q e. ~P 1o q r m ) ) /\ f : om -onto-> ~P 1o ) /\ m e. om ) /\ A. q e. ~P 1o q `' f m ) -> ( ( f ` m ) = 1o <-> m f 1o ) )
33	30, 32	mpbird 167	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A. r ( r C_ ( ~P 1o X. om ) -> ( A. p e. ~P 1o E. n e. om p r n -> E. m e. om A. q e. ~P 1o q r m ) ) /\ f : om -onto-> ~P 1o ) /\ m e. om ) /\ A. q e. ~P 1o q `' f m ) -> ( f ` m ) = 1o )
34		1n0 6678	. . . . . . . 8 |- 1o =/= (/)
35	34	neii 2416	. . . . . . 7 |- -. 1o = (/)
36		eqeq1 2241	. . . . . . . . 9 |- ( ( f ` m ) = 1o -> ( ( f ` m ) = (/) <-> 1o = (/) ) )
37	36	biimpd 144	. . . . . . . 8 |- ( ( f ` m ) = 1o -> ( ( f ` m ) = (/) -> 1o = (/) ) )
38	37	con3dimp 640	. . . . . . 7 |- ( ( ( f ` m ) = 1o /\ -. 1o = (/) ) -> -. ( f ` m ) = (/) )
39	33, 35, 38	sylancl 413	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A. r ( r C_ ( ~P 1o X. om ) -> ( A. p e. ~P 1o E. n e. om p r n -> E. m e. om A. q e. ~P 1o q r m ) ) /\ f : om -onto-> ~P 1o ) /\ m e. om ) /\ A. q e. ~P 1o q `' f m ) -> -. ( f ` m ) = (/) )
40	23, 39	pm2.21fal 1418	. . . . 5 |- ( ( ( ( A. r ( r C_ ( ~P 1o X. om ) -> ( A. p e. ~P 1o E. n e. om p r n -> E. m e. om A. q e. ~P 1o q r m ) ) /\ f : om -onto-> ~P 1o ) /\ m e. om ) /\ A. q e. ~P 1o q `' f m ) -> F. )
41		fof 5595	. . . . . . . 8 |- ( f : om -onto-> ~P 1o -> f : om --> ~P 1o )
42		fssxp 5535	. . . . . . . . . 10 |- ( f : om --> ~P 1o -> f C_ ( om X. ~P 1o ) )
43		cnvss 4933	. . . . . . . . . 10 |- ( f C_ ( om X. ~P 1o ) -> `' f C_ `' ( om X. ~P 1o ) )
44	42, 43	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( f : om --> ~P 1o -> `' f C_ `' ( om X. ~P 1o ) )
45		cnvxp 5186	. . . . . . . . 9 |- `' ( om X. ~P 1o ) = ( ~P 1o X. om )
46	44, 45	sseqtrdi 3290	. . . . . . . 8 |- ( f : om --> ~P 1o -> `' f C_ ( ~P 1o X. om ) )
47	41, 46	syl 14	. . . . . . 7 |- ( f : om -onto-> ~P 1o -> `' f C_ ( ~P 1o X. om ) )
48	47	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( A. r ( r C_ ( ~P 1o X. om ) -> ( A. p e. ~P 1o E. n e. om p r n -> E. m e. om A. q e. ~P 1o q r m ) ) /\ f : om -onto-> ~P 1o ) -> `' f C_ ( ~P 1o X. om ) )
49		foelrn 5931	. . . . . . . . 9 |- ( ( f : om -onto-> ~P 1o /\ p e. ~P 1o ) -> E. n e. om p = ( f ` n ) )
50	18	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( f : om -onto-> ~P 1o /\ p e. ~P 1o ) /\ n e. om ) -> f Fn om )
51		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( f : om -onto-> ~P 1o /\ p e. ~P 1o ) /\ n e. om ) -> n e. om )
52		eqcom 2236	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( f ` n ) = p <-> p = ( f ` n ) )
53		fnbrfvb 5720	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( f Fn om /\ n e. om ) -> ( ( f ` n ) = p <-> n f p ) )
54		brcnvg 4941	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( p e. _V /\ n e. _V ) -> ( p `' f n <-> n f p ) )
55	54	elvd 2820	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( p e. _V -> ( p `' f n <-> n f p ) )
56	55	elv 2819	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( p `' f n <-> n f p )
57	53, 56	bitr4di 198	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( f Fn om /\ n e. om ) -> ( ( f ` n ) = p <-> p `' f n ) )
58	52, 57	bitr3id 194	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( f Fn om /\ n e. om ) -> ( p = ( f ` n ) <-> p `' f n ) )
59	50, 51, 58	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( f : om -onto-> ~P 1o /\ p e. ~P 1o ) /\ n e. om ) -> ( p = ( f ` n ) <-> p `' f n ) )
60	59	rexbidva 2541	. . . . . . . . 9 |- ( ( f : om -onto-> ~P 1o /\ p e. ~P 1o ) -> ( E. n e. om p = ( f ` n ) <-> E. n e. om p `' f n ) )
61	49, 60	mpbid 147	. . . . . . . 8 |- ( ( f : om -onto-> ~P 1o /\ p e. ~P 1o ) -> E. n e. om p `' f n )
62	61	ralrimiva 2617	. . . . . . 7 |- ( f : om -onto-> ~P 1o -> A. p e. ~P 1o E. n e. om p `' f n )
63	62	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( A. r ( r C_ ( ~P 1o X. om ) -> ( A. p e. ~P 1o E. n e. om p r n -> E. m e. om A. q e. ~P 1o q r m ) ) /\ f : om -onto-> ~P 1o ) -> A. p e. ~P 1o E. n e. om p `' f n )
64		cnvexg 5305	. . . . . . . 8 |- ( f e. _V -> `' f e. _V )
65	64	elv 2819	. . . . . . 7 |- `' f e. _V
66		simpl 109	. . . . . . 7 |- ( ( A. r ( r C_ ( ~P 1o X. om ) -> ( A. p e. ~P 1o E. n e. om p r n -> E. m e. om A. q e. ~P 1o q r m ) ) /\ f : om -onto-> ~P 1o ) -> A. r ( r C_ ( ~P 1o X. om ) -> ( A. p e. ~P 1o E. n e. om p r n -> E. m e. om A. q e. ~P 1o q r m ) ) )
67		sseq1 3265	. . . . . . . . 9 |- ( r = `' f -> ( r C_ ( ~P 1o X. om ) <-> `' f C_ ( ~P 1o X. om ) ) )
68		breq 4116	. . . . . . . . . . . 12 |- ( r = `' f -> ( p r n <-> p `' f n ) )
69	68	rexbidv 2545	. . . . . . . . . . 11 |- ( r = `' f -> ( E. n e. om p r n <-> E. n e. om p `' f n ) )
70	69	ralbidv 2544	. . . . . . . . . 10 |- ( r = `' f -> ( A. p e. ~P 1o E. n e. om p r n <-> A. p e. ~P 1o E. n e. om p `' f n ) )
71		breq 4116	. . . . . . . . . . . 12 |- ( r = `' f -> ( q r m <-> q `' f m ) )
72	71	ralbidv 2544	. . . . . . . . . . 11 |- ( r = `' f -> ( A. q e. ~P 1o q r m <-> A. q e. ~P 1o q `' f m ) )
73	72	rexbidv 2545	. . . . . . . . . 10 |- ( r = `' f -> ( E. m e. om A. q e. ~P 1o q r m <-> E. m e. om A. q e. ~P 1o q `' f m ) )
74	70, 73	imbi12d 234	. . . . . . . . 9 |- ( r = `' f -> ( ( A. p e. ~P 1o E. n e. om p r n -> E. m e. om A. q e. ~P 1o q r m ) <-> ( A. p e. ~P 1o E. n e. om p `' f n -> E. m e. om A. q e. ~P 1o q `' f m ) ) )
75	67, 74	imbi12d 234	. . . . . . . 8 |- ( r = `' f -> ( ( r C_ ( ~P 1o X. om ) -> ( A. p e. ~P 1o E. n e. om p r n -> E. m e. om A. q e. ~P 1o q r m ) ) <-> ( `' f C_ ( ~P 1o X. om ) -> ( A. p e. ~P 1o E. n e. om p `' f n -> E. m e. om A. q e. ~P 1o q `' f m ) ) ) )
76	75	spcgv 2906	. . . . . . 7 |- ( `' f e. _V -> ( A. r ( r C_ ( ~P 1o X. om ) -> ( A. p e. ~P 1o E. n e. om p r n -> E. m e. om A. q e. ~P 1o q r m ) ) -> ( `' f C_ ( ~P 1o X. om ) -> ( A. p e. ~P 1o E. n e. om p `' f n -> E. m e. om A. q e. ~P 1o q `' f m ) ) ) )
77	65, 66, 76	mpsyl 65	. . . . . 6 |- ( ( A. r ( r C_ ( ~P 1o X. om ) -> ( A. p e. ~P 1o E. n e. om p r n -> E. m e. om A. q e. ~P 1o q r m ) ) /\ f : om -onto-> ~P 1o ) -> ( `' f C_ ( ~P 1o X. om ) -> ( A. p e. ~P 1o E. n e. om p `' f n -> E. m e. om A. q e. ~P 1o q `' f m ) ) )
78	48, 63, 77	mp2d 47	. . . . 5 |- ( ( A. r ( r C_ ( ~P 1o X. om ) -> ( A. p e. ~P 1o E. n e. om p r n -> E. m e. om A. q e. ~P 1o q r m ) ) /\ f : om -onto-> ~P 1o ) -> E. m e. om A. q e. ~P 1o q `' f m )
79	8, 40, 78	r19.29af 2686	. . . 4 |- ( ( A. r ( r C_ ( ~P 1o X. om ) -> ( A. p e. ~P 1o E. n e. om p r n -> E. m e. om A. q e. ~P 1o q r m ) ) /\ f : om -onto-> ~P 1o ) -> F. )
80	79	inegd 1417	. . 3 |- ( A. r ( r C_ ( ~P 1o X. om ) -> ( A. p e. ~P 1o E. n e. om p r n -> E. m e. om A. q e. ~P 1o q r m ) ) -> -. f : om -onto-> ~P 1o )
81	80	nexdv 1992	. 2 |- ( A. r ( r C_ ( ~P 1o X. om ) -> ( A. p e. ~P 1o E. n e. om p r n -> E. m e. om A. q e. ~P 1o q r m ) ) -> -. E. f f : om -onto-> ~P 1o )
82		elex2 2832	. . 3 |- ( (/) e. ~P 1o -> E. w w e. ~P 1o )
83		ctm 7413	. . 3 |- ( E. w w e. ~P 1o -> ( E. f f : om -onto-> ( ~P 1o ⊔ 1o ) <-> E. f f : om -onto-> ~P 1o ) )
84	11, 82, 83	mp2b 8	. 2 |- ( E. f f : om -onto-> ( ~P 1o ⊔ 1o ) <-> E. f f : om -onto-> ~P 1o )
85	81, 84	sylnibr 684	1 |- ( A. r ( r C_ ( ~P 1o X. om ) -> ( A. p e. ~P 1o E. n e. om p r n -> E. m e. om A. q e. ~P 1o q r m ) ) -> -. E. f f : om -onto-> ( ~P 1o ⊔ 1o ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   A.wal 1396   = wceq 1398   F. wfal 1403   E.wex 1541   e. wcel 2205   A.wral 2522   E.wrex 2523   _Vcvv 2815   C_ wss 3214   (/)c0 3512   ~Pcpw 3674   class class class wbr 4114   omcom 4717   X. cxp 4752   `'ccnv 4753   Fn wfn 5352   -->wf 5353   -onto->wfo 5355   ` cfv 5357   1oc1o 6653   ⊔ cdju 7341

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-iinf 4715

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-iord 4492  df-on 4494  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-1o 6660  df-dju 7342  df-inl 7351  df-inr 7352  df-case 7388

This theorem is referenced by: (None)