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Theorem pw1nct 16540
Description: A condition which ensures that the powerset of a singleton is not countable. The antecedent here can be referred to as the uniformity principle. Based on Mastodon posts by Andrej Bauer and Rahul Chhabra. (Contributed by Jim Kingdon, 29-May-2024.)
Assertion
Ref Expression
pw1nct |- ( A. r ( r C_ ( ~P 1o X. om ) -> ( A. p e. ~P 1o E. n e. om p r n -> E. m e. om A. q e. ~P 1o q r m ) ) -> -. E. f f : om -onto-> ( ~P 1o ⊔ 1o ) )
Distinct variable groups:   f, m, n, p, r   f, q, m, r
Proof of Theorem pw1nct
Dummy variable w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1574 . . . . . . . 8 |- F/ m r C_ ( ~P 1o X. om )
2 nfv 1574 . . . . . . . . 9 |- F/ m A. p e. ~P 1o E. n e. om p r n
3 nfre1 2573 . . . . . . . . 9 |- F/ m E. m e. om A. q e. ~P 1o q r m
42, 3nfim 1618 . . . . . . . 8 |- F/ m ( A. p e. ~P 1o E. n e. om p r n -> E. m e. om A. q e. ~P 1o q r m )
51, 4nfim 1618 . . . . . . 7 |- F/ m ( r C_ ( ~P 1o X. om ) -> ( A. p e. ~P 1o E. n e. om p r n -> E. m e. om A. q e. ~P 1o q r m ) )
65nfal 1622 . . . . . 6 |- F/ m A. r ( r C_ ( ~P 1o X. om ) -> ( A. p e. ~P 1o E. n e. om p r n -> E. m e. om A. q e. ~P 1o q r m ) )
7 nfv 1574 . . . . . 6 |- F/ m f : om -onto-> ~P 1o
86, 7nfan 1611 . . . . 5 |- F/ m ( A. r ( r C_ ( ~P 1o X. om ) -> ( A. p e. ~P 1o E. n e. om p r n -> E. m e. om A. q e. ~P 1o q r m ) ) /\ f : om -onto-> ~P 1o )
9 breq1 4089 . . . . . . . . 9 |- ( q = (/) -> ( q `' f m <-> (/) `' f m ) )
10 simpr 110 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A. r ( r C_ ( ~P 1o X. om ) -> ( A. p e. ~P 1o E. n e. om p r n -> E. m e. om A. q e. ~P 1o q r m ) ) /\ f : om -onto-> ~P 1o ) /\ m e. om ) /\ A. q e. ~P 1o q `' f m ) -> A. q e. ~P 1o q `' f m )
11 0elpw 4252 . . . . . . . . . 10 |- (/) e. ~P 1o
1211a1i 9 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A. r ( r C_ ( ~P 1o X. om ) -> ( A. p e. ~P 1o E. n e. om p r n -> E. m e. om A. q e. ~P 1o q r m ) ) /\ f : om -onto-> ~P 1o ) /\ m e. om ) /\ A. q e. ~P 1o q `' f m ) -> (/) e. ~P 1o )
139, 10, 12rspcdva 2913 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A. r ( r C_ ( ~P 1o X. om ) -> ( A. p e. ~P 1o E. n e. om p r n -> E. m e. om A. q e. ~P 1o q r m ) ) /\ f : om -onto-> ~P 1o ) /\ m e. om ) /\ A. q e. ~P 1o q `' f m ) -> (/) `' f m )
14 0ex 4214 . . . . . . . . 9 |- (/) e. _V
15 vex 2803 . . . . . . . . 9 |- m e. _V
1614, 15brcnv 4911 . . . . . . . 8 |- ( (/) `' f m <-> m f (/) )
1713, 16sylib 122 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( A. r ( r C_ ( ~P 1o X. om ) -> ( A. p e. ~P 1o E. n e. om p r n -> E. m e. om A. q e. ~P 1o q r m ) ) /\ f : om -onto-> ~P 1o ) /\ m e. om ) /\ A. q e. ~P 1o q `' f m ) -> m f (/) )
18 fofn 5558 . . . . . . . . 9 |- ( f : om -onto-> ~P 1o -> f Fn om )
1918ad3antlr 493 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A. r ( r C_ ( ~P 1o X. om ) -> ( A. p e. ~P 1o E. n e. om p r n -> E. m e. om A. q e. ~P 1o q r m ) ) /\ f : om -onto-> ~P 1o ) /\ m e. om ) /\ A. q e. ~P 1o q `' f m ) -> f Fn om )
20 simplr 528 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A. r ( r C_ ( ~P 1o X. om ) -> ( A. p e. ~P 1o E. n e. om p r n -> E. m e. om A. q e. ~P 1o q r m ) ) /\ f : om -onto-> ~P 1o ) /\ m e. om ) /\ A. q e. ~P 1o q `' f m ) -> m e. om )
21 fnbrfvb 5680 . . . . . . . 8 |- ( ( f Fn om /\ m e. om ) -> ( ( f ` m ) = (/) <-> m f (/) ) )
2219, 20, 21syl2anc 411 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( A. r ( r C_ ( ~P 1o X. om ) -> ( A. p e. ~P 1o E. n e. om p r n -> E. m e. om A. q e. ~P 1o q r m ) ) /\ f : om -onto-> ~P 1o ) /\ m e. om ) /\ A. q e. ~P 1o q `' f m ) -> ( ( f ` m ) = (/) <-> m f (/) ) )
2317, 22mpbird 167 . . . . . 6 |- ( ( ( ( A. r ( r C_ ( ~P 1o X. om ) -> ( A. p e. ~P 1o E. n e. om p r n -> E. m e. om A. q e. ~P 1o q r m ) ) /\ f : om -onto-> ~P 1o ) /\ m e. om ) /\ A. q e. ~P 1o q `' f m ) -> ( f ` m ) = (/) )
24 breq1 4089 . . . . . . . . . 10 |- ( q = 1o -> ( q `' f m <-> 1o `' f m ) )
25 1oex 6585 . . . . . . . . . . . 12 |- 1o e. _V
2625pwid 3665 . . . . . . . . . . 11 |- 1o e. ~P 1o
2726a1i 9 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A. r ( r C_ ( ~P 1o X. om ) -> ( A. p e. ~P 1o E. n e. om p r n -> E. m e. om A. q e. ~P 1o q r m ) ) /\ f : om -onto-> ~P 1o ) /\ m e. om ) /\ A. q e. ~P 1o q `' f m ) -> 1o e. ~P 1o )
2824, 10, 27rspcdva 2913 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A. r ( r C_ ( ~P 1o X. om ) -> ( A. p e. ~P 1o E. n e. om p r n -> E. m e. om A. q e. ~P 1o q r m ) ) /\ f : om -onto-> ~P 1o ) /\ m e. om ) /\ A. q e. ~P 1o q `' f m ) -> 1o `' f m )
2925, 15brcnv 4911 . . . . . . . . 9 |- ( 1o `' f m <-> m f 1o )
3028, 29sylib 122 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A. r ( r C_ ( ~P 1o X. om ) -> ( A. p e. ~P 1o E. n e. om p r n -> E. m e. om A. q e. ~P 1o q r m ) ) /\ f : om -onto-> ~P 1o ) /\ m e. om ) /\ A. q e. ~P 1o q `' f m ) -> m f 1o )
31 fnbrfvb 5680 . . . . . . . . 9 |- ( ( f Fn om /\ m e. om ) -> ( ( f ` m ) = 1o <-> m f 1o ) )
3219, 20, 31syl2anc 411 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A. r ( r C_ ( ~P 1o X. om ) -> ( A. p e. ~P 1o E. n e. om p r n -> E. m e. om A. q e. ~P 1o q r m ) ) /\ f : om -onto-> ~P 1o ) /\ m e. om ) /\ A. q e. ~P 1o q `' f m ) -> ( ( f ` m ) = 1o <-> m f 1o ) )
3330, 32mpbird 167 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( A. r ( r C_ ( ~P 1o X. om ) -> ( A. p e. ~P 1o E. n e. om p r n -> E. m e. om A. q e. ~P 1o q r m ) ) /\ f : om -onto-> ~P 1o ) /\ m e. om ) /\ A. q e. ~P 1o q `' f m ) -> ( f ` m ) = 1o )
34 1n0 6595 . . . . . . . 8 |- 1o =/= (/)
3534neii 2402 . . . . . . 7 |- -. 1o = (/)
36 eqeq1 2236 . . . . . . . . 9 |- ( ( f ` m ) = 1o -> ( ( f ` m ) = (/) <-> 1o = (/) ) )
3736biimpd 144 . . . . . . . 8 |- ( ( f ` m ) = 1o -> ( ( f ` m ) = (/) -> 1o = (/) ) )
3837con3dimp 638 . . . . . . 7 |- ( ( ( f ` m ) = 1o /\ -. 1o = (/) ) -> -. ( f ` m ) = (/) )
3933, 35, 38sylancl 413 . . . . . 6 |- ( ( ( ( A. r ( r C_ ( ~P 1o X. om ) -> ( A. p e. ~P 1o E. n e. om p r n -> E. m e. om A. q e. ~P 1o q r m ) ) /\ f : om -onto-> ~P 1o ) /\ m e. om ) /\ A. q e. ~P 1o q `' f m ) -> -. ( f ` m ) = (/) )
4023, 39pm2.21fal 1415 . . . . 5 |- ( ( ( ( A. r ( r C_ ( ~P 1o X. om ) -> ( A. p e. ~P 1o E. n e. om p r n -> E. m e. om A. q e. ~P 1o q r m ) ) /\ f : om -onto-> ~P 1o ) /\ m e. om ) /\ A. q e. ~P 1o q `' f m ) -> F. )
41 fof 5556 . . . . . . . 8 |- ( f : om -onto-> ~P 1o -> f : om --> ~P 1o )
42 fssxp 5499 . . . . . . . . . 10 |- ( f : om --> ~P 1o -> f C_ ( om X. ~P 1o ) )
43 cnvss 4901 . . . . . . . . . 10 |- ( f C_ ( om X. ~P 1o ) -> `' f C_ `' ( om X. ~P 1o ) )
4442, 43syl 14 . . . . . . . . 9 |- ( f : om --> ~P 1o -> `' f C_ `' ( om X. ~P 1o ) )
45 cnvxp 5153 . . . . . . . . 9 |- `' ( om X. ~P 1o ) = ( ~P 1o X. om )
4644, 45sseqtrdi 3273 . . . . . . . 8 |- ( f : om --> ~P 1o -> `' f C_ ( ~P 1o X. om ) )
4741, 46syl 14 . . . . . . 7 |- ( f : om -onto-> ~P 1o -> `' f C_ ( ~P 1o X. om ) )
4847adantl 277 . . . . . 6 |- ( ( A. r ( r C_ ( ~P 1o X. om ) -> ( A. p e. ~P 1o E. n e. om p r n -> E. m e. om A. q e. ~P 1o q r m ) ) /\ f : om -onto-> ~P 1o ) -> `' f C_ ( ~P 1o X. om ) )
49 foelrn 5888 . . . . . . . . 9 |- ( ( f : om -onto-> ~P 1o /\ p e. ~P 1o ) -> E. n e. om p = ( f ` n ) )
5018ad2antrr 488 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( f : om -onto-> ~P 1o /\ p e. ~P 1o ) /\ n e. om ) -> f Fn om )
51 simpr 110 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( f : om -onto-> ~P 1o /\ p e. ~P 1o ) /\ n e. om ) -> n e. om )
52 eqcom 2231 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( f ` n ) = p <-> p = ( f ` n ) )
53 fnbrfvb 5680 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( f Fn om /\ n e. om ) -> ( ( f ` n ) = p <-> n f p ) )
54 brcnvg 4909 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( p e. _V /\ n e. _V ) -> ( p `' f n <-> n f p ) )
5554elvd 2805 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( p e. _V -> ( p `' f n <-> n f p ) )
5655elv 2804 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( p `' f n <-> n f p )
5753, 56bitr4di 198 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( f Fn om /\ n e. om ) -> ( ( f ` n ) = p <-> p `' f n ) )
5852, 57bitr3id 194 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( f Fn om /\ n e. om ) -> ( p = ( f ` n ) <-> p `' f n ) )
5950, 51, 58syl2anc 411 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( f : om -onto-> ~P 1o /\ p e. ~P 1o ) /\ n e. om ) -> ( p = ( f ` n ) <-> p `' f n ) )
6059rexbidva 2527 . . . . . . . . 9 |- ( ( f : om -onto-> ~P 1o /\ p e. ~P 1o ) -> ( E. n e. om p = ( f ` n ) <-> E. n e. om p `' f n ) )
6149, 60mpbid 147 . . . . . . . 8 |- ( ( f : om -onto-> ~P 1o /\ p e. ~P 1o ) -> E. n e. om p `' f n )
6261ralrimiva 2603 . . . . . . 7 |- ( f : om -onto-> ~P 1o -> A. p e. ~P 1o E. n e. om p `' f n )
6362adantl 277 . . . . . 6 |- ( ( A. r ( r C_ ( ~P 1o X. om ) -> ( A. p e. ~P 1o E. n e. om p r n -> E. m e. om A. q e. ~P 1o q r m ) ) /\ f : om -onto-> ~P 1o ) -> A. p e. ~P 1o E. n e. om p `' f n )
64 cnvexg 5272 . . . . . . . 8 |- ( f e. _V -> `' f e. _V )
6564elv 2804 . . . . . . 7 |- `' f e. _V
66 simpl 109 . . . . . . 7 |- ( ( A. r ( r C_ ( ~P 1o X. om ) -> ( A. p e. ~P 1o E. n e. om p r n -> E. m e. om A. q e. ~P 1o q r m ) ) /\ f : om -onto-> ~P 1o ) -> A. r ( r C_ ( ~P 1o X. om ) -> ( A. p e. ~P 1o E. n e. om p r n -> E. m e. om A. q e. ~P 1o q r m ) ) )
67 sseq1 3248 . . . . . . . . 9 |- ( r = `' f -> ( r C_ ( ~P 1o X. om ) <-> `' f C_ ( ~P 1o X. om ) ) )
68 breq 4088 . . . . . . . . . . . 12 |- ( r = `' f -> ( p r n <-> p `' f n ) )
6968rexbidv 2531 . . . . . . . . . . 11 |- ( r = `' f -> ( E. n e. om p r n <-> E. n e. om p `' f n ) )
7069ralbidv 2530 . . . . . . . . . 10 |- ( r = `' f -> ( A. p e. ~P 1o E. n e. om p r n <-> A. p e. ~P 1o E. n e. om p `' f n ) )
71 breq 4088 . . . . . . . . . . . 12 |- ( r = `' f -> ( q r m <-> q `' f m ) )
7271ralbidv 2530 . . . . . . . . . . 11 |- ( r = `' f -> ( A. q e. ~P 1o q r m <-> A. q e. ~P 1o q `' f m ) )
7372rexbidv 2531 . . . . . . . . . 10 |- ( r = `' f -> ( E. m e. om A. q e. ~P 1o q r m <-> E. m e. om A. q e. ~P 1o q `' f m ) )
7470, 73imbi12d 234 . . . . . . . . 9 |- ( r = `' f -> ( ( A. p e. ~P 1o E. n e. om p r n -> E. m e. om A. q e. ~P 1o q r m ) <-> ( A. p e. ~P 1o E. n e. om p `' f n -> E. m e. om A. q e. ~P 1o q `' f m ) ) )
7567, 74imbi12d 234 . . . . . . . 8 |- ( r = `' f -> ( ( r C_ ( ~P 1o X. om ) -> ( A. p e. ~P 1o E. n e. om p r n -> E. m e. om A. q e. ~P 1o q r m ) ) <-> ( `' f C_ ( ~P 1o X. om ) -> ( A. p e. ~P 1o E. n e. om p `' f n -> E. m e. om A. q e. ~P 1o q `' f m ) ) ) )
7675spcgv 2891 . . . . . . 7 |- ( `' f e. _V -> ( A. r ( r C_ ( ~P 1o X. om ) -> ( A. p e. ~P 1o E. n e. om p r n -> E. m e. om A. q e. ~P 1o q r m ) ) -> ( `' f C_ ( ~P 1o X. om ) -> ( A. p e. ~P 1o E. n e. om p `' f n -> E. m e. om A. q e. ~P 1o q `' f m ) ) ) )
7765, 66, 76mpsyl 65 . . . . . 6 |- ( ( A. r ( r C_ ( ~P 1o X. om ) -> ( A. p e. ~P 1o E. n e. om p r n -> E. m e. om A. q e. ~P 1o q r m ) ) /\ f : om -onto-> ~P 1o ) -> ( `' f C_ ( ~P 1o X. om ) -> ( A. p e. ~P 1o E. n e. om p `' f n -> E. m e. om A. q e. ~P 1o q `' f m ) ) )
7848, 63, 77mp2d 47 . . . . 5 |- ( ( A. r ( r C_ ( ~P 1o X. om ) -> ( A. p e. ~P 1o E. n e. om p r n -> E. m e. om A. q e. ~P 1o q r m ) ) /\ f : om -onto-> ~P 1o ) -> E. m e. om A. q e. ~P 1o q `' f m )
798, 40, 78r19.29af 2672 . . . 4 |- ( ( A. r ( r C_ ( ~P 1o X. om ) -> ( A. p e. ~P 1o E. n e. om p r n -> E. m e. om A. q e. ~P 1o q r m ) ) /\ f : om -onto-> ~P 1o ) -> F. )
8079inegd 1414 . . 3 |- ( A. r ( r C_ ( ~P 1o X. om ) -> ( A. p e. ~P 1o E. n e. om p r n -> E. m e. om A. q e. ~P 1o q r m ) ) -> -. f : om -onto-> ~P 1o )
8180nexdv 1987 . 2 |- ( A. r ( r C_ ( ~P 1o X. om ) -> ( A. p e. ~P 1o E. n e. om p r n -> E. m e. om A. q e. ~P 1o q r m ) ) -> -. E. f f : om -onto-> ~P 1o )
82 elex2 2817 . . 3 |- ( (/) e. ~P 1o -> E. w w e. ~P 1o )
83 ctm 7299 . . 3 |- ( E. w w e. ~P 1o -> ( E. f f : om -onto-> ( ~P 1o ⊔ 1o ) <-> E. f f : om -onto-> ~P 1o ) )
8411, 82, 83mp2b 8 . 2 |- ( E. f f : om -onto-> ( ~P 1o ⊔ 1o ) <-> E. f f : om -onto-> ~P 1o )
8581, 84sylnibr 681 1 |- ( A. r ( r C_ ( ~P 1o X. om ) -> ( A. p e. ~P 1o E. n e. om p r n -> E. m e. om A. q e. ~P 1o q r m ) ) -> -. E. f f : om -onto-> ( ~P 1o ⊔ 1o ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   A.wal 1393   = wceq 1395   F. wfal 1400   E.wex 1538   e. wcel 2200   A.wral 2508   E.wrex 2509   _Vcvv 2800   C_ wss 3198   (/)c0 3492   ~Pcpw 3650   class class class wbr 4086   omcom 4686   X. cxp 4721   `'ccnv 4722   Fn wfn 5319   -->wf 5320   -onto->wfo 5322   ` cfv 5324   1oc1o 6570   ⊔ cdju 7227
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-iinf 4684
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-if 3604  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-tr 4186  df-id 4388  df-iord 4461  df-on 4463  df-suc 4466  df-iom 4687  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-1o 6577  df-dju 7228  df-inl 7237  df-inr 7238  df-case 7274
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