Theorem pw1nct 14036

Description: A condition which ensures that the powerset of a singleton is not countable. The antecedent here can be referred to as the uniformity principle. Based on Mastodon posts by Andrej Bauer and Rahul Chhabra. (Contributed by Jim Kingdon, 29-May-2024.)

Assertion

Ref	Expression
pw1nct	|- ( A. r ( r C_ ( ~P 1o X. om ) -> ( A. p e. ~P 1o E. n e. om p r n -> E. m e. om A. q e. ~P 1o q r m ) ) -> -. E. f f : om -onto-> ( ~P 1o ⊔ 1o ) )

Distinct variable groups:   f, m, n, p, r   f, q, m, r

Proof of Theorem pw1nct

Dummy variable w is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1521	. . . . . . . 8 |- F/ m r C_ ( ~P 1o X. om )
2		nfv 1521	. . . . . . . . 9 |- F/ m A. p e. ~P 1o E. n e. om p r n
3		nfre1 2513	. . . . . . . . 9 |- F/ m E. m e. om A. q e. ~P 1o q r m
4	2, 3	nfim 1565	. . . . . . . 8 |- F/ m ( A. p e. ~P 1o E. n e. om p r n -> E. m e. om A. q e. ~P 1o q r m )
5	1, 4	nfim 1565	. . . . . . 7 |- F/ m ( r C_ ( ~P 1o X. om ) -> ( A. p e. ~P 1o E. n e. om p r n -> E. m e. om A. q e. ~P 1o q r m ) )
6	5	nfal 1569	. . . . . 6 |- F/ m A. r ( r C_ ( ~P 1o X. om ) -> ( A. p e. ~P 1o E. n e. om p r n -> E. m e. om A. q e. ~P 1o q r m ) )
7		nfv 1521	. . . . . 6 |- F/ m f : om -onto-> ~P 1o
8	6, 7	nfan 1558	. . . . 5 |- F/ m ( A. r ( r C_ ( ~P 1o X. om ) -> ( A. p e. ~P 1o E. n e. om p r n -> E. m e. om A. q e. ~P 1o q r m ) ) /\ f : om -onto-> ~P 1o )
9		breq1 3992	. . . . . . . . 9 |- ( q = (/) -> ( q `' f m <-> (/) `' f m ) )
10		simpr 109	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A. r ( r C_ ( ~P 1o X. om ) -> ( A. p e. ~P 1o E. n e. om p r n -> E. m e. om A. q e. ~P 1o q r m ) ) /\ f : om -onto-> ~P 1o ) /\ m e. om ) /\ A. q e. ~P 1o q `' f m ) -> A. q e. ~P 1o q `' f m )
11		0elpw 4150	. . . . . . . . . 10 |- (/) e. ~P 1o
12	11	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A. r ( r C_ ( ~P 1o X. om ) -> ( A. p e. ~P 1o E. n e. om p r n -> E. m e. om A. q e. ~P 1o q r m ) ) /\ f : om -onto-> ~P 1o ) /\ m e. om ) /\ A. q e. ~P 1o q `' f m ) -> (/) e. ~P 1o )
13	9, 10, 12	rspcdva 2839	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A. r ( r C_ ( ~P 1o X. om ) -> ( A. p e. ~P 1o E. n e. om p r n -> E. m e. om A. q e. ~P 1o q r m ) ) /\ f : om -onto-> ~P 1o ) /\ m e. om ) /\ A. q e. ~P 1o q `' f m ) -> (/) `' f m )
14		0ex 4116	. . . . . . . . 9 |- (/) e. _V
15		vex 2733	. . . . . . . . 9 |- m e. _V
16	14, 15	brcnv 4794	. . . . . . . 8 |- ( (/) `' f m <-> m f (/) )
17	13, 16	sylib 121	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A. r ( r C_ ( ~P 1o X. om ) -> ( A. p e. ~P 1o E. n e. om p r n -> E. m e. om A. q e. ~P 1o q r m ) ) /\ f : om -onto-> ~P 1o ) /\ m e. om ) /\ A. q e. ~P 1o q `' f m ) -> m f (/) )
18		fofn 5422	. . . . . . . . 9 |- ( f : om -onto-> ~P 1o -> f Fn om )
19	18	ad3antlr 490	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A. r ( r C_ ( ~P 1o X. om ) -> ( A. p e. ~P 1o E. n e. om p r n -> E. m e. om A. q e. ~P 1o q r m ) ) /\ f : om -onto-> ~P 1o ) /\ m e. om ) /\ A. q e. ~P 1o q `' f m ) -> f Fn om )
20		simplr 525	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A. r ( r C_ ( ~P 1o X. om ) -> ( A. p e. ~P 1o E. n e. om p r n -> E. m e. om A. q e. ~P 1o q r m ) ) /\ f : om -onto-> ~P 1o ) /\ m e. om ) /\ A. q e. ~P 1o q `' f m ) -> m e. om )
21		fnbrfvb 5537	. . . . . . . 8 |- ( ( f Fn om /\ m e. om ) -> ( ( f ` m ) = (/) <-> m f (/) ) )
22	19, 20, 21	syl2anc 409	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A. r ( r C_ ( ~P 1o X. om ) -> ( A. p e. ~P 1o E. n e. om p r n -> E. m e. om A. q e. ~P 1o q r m ) ) /\ f : om -onto-> ~P 1o ) /\ m e. om ) /\ A. q e. ~P 1o q `' f m ) -> ( ( f ` m ) = (/) <-> m f (/) ) )
23	17, 22	mpbird 166	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A. r ( r C_ ( ~P 1o X. om ) -> ( A. p e. ~P 1o E. n e. om p r n -> E. m e. om A. q e. ~P 1o q r m ) ) /\ f : om -onto-> ~P 1o ) /\ m e. om ) /\ A. q e. ~P 1o q `' f m ) -> ( f ` m ) = (/) )
24		breq1 3992	. . . . . . . . . 10 |- ( q = 1o -> ( q `' f m <-> 1o `' f m ) )
25		1oex 6403	. . . . . . . . . . . 12 |- 1o e. _V
26	25	pwid 3581	. . . . . . . . . . 11 |- 1o e. ~P 1o
27	26	a1i 9	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A. r ( r C_ ( ~P 1o X. om ) -> ( A. p e. ~P 1o E. n e. om p r n -> E. m e. om A. q e. ~P 1o q r m ) ) /\ f : om -onto-> ~P 1o ) /\ m e. om ) /\ A. q e. ~P 1o q `' f m ) -> 1o e. ~P 1o )
28	24, 10, 27	rspcdva 2839	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A. r ( r C_ ( ~P 1o X. om ) -> ( A. p e. ~P 1o E. n e. om p r n -> E. m e. om A. q e. ~P 1o q r m ) ) /\ f : om -onto-> ~P 1o ) /\ m e. om ) /\ A. q e. ~P 1o q `' f m ) -> 1o `' f m )
29	25, 15	brcnv 4794	. . . . . . . . 9 |- ( 1o `' f m <-> m f 1o )
30	28, 29	sylib 121	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A. r ( r C_ ( ~P 1o X. om ) -> ( A. p e. ~P 1o E. n e. om p r n -> E. m e. om A. q e. ~P 1o q r m ) ) /\ f : om -onto-> ~P 1o ) /\ m e. om ) /\ A. q e. ~P 1o q `' f m ) -> m f 1o )
31		fnbrfvb 5537	. . . . . . . . 9 |- ( ( f Fn om /\ m e. om ) -> ( ( f ` m ) = 1o <-> m f 1o ) )
32	19, 20, 31	syl2anc 409	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A. r ( r C_ ( ~P 1o X. om ) -> ( A. p e. ~P 1o E. n e. om p r n -> E. m e. om A. q e. ~P 1o q r m ) ) /\ f : om -onto-> ~P 1o ) /\ m e. om ) /\ A. q e. ~P 1o q `' f m ) -> ( ( f ` m ) = 1o <-> m f 1o ) )
33	30, 32	mpbird 166	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A. r ( r C_ ( ~P 1o X. om ) -> ( A. p e. ~P 1o E. n e. om p r n -> E. m e. om A. q e. ~P 1o q r m ) ) /\ f : om -onto-> ~P 1o ) /\ m e. om ) /\ A. q e. ~P 1o q `' f m ) -> ( f ` m ) = 1o )
34		1n0 6411	. . . . . . . 8 |- 1o =/= (/)
35	34	neii 2342	. . . . . . 7 |- -. 1o = (/)
36		eqeq1 2177	. . . . . . . . 9 |- ( ( f ` m ) = 1o -> ( ( f ` m ) = (/) <-> 1o = (/) ) )
37	36	biimpd 143	. . . . . . . 8 |- ( ( f ` m ) = 1o -> ( ( f ` m ) = (/) -> 1o = (/) ) )
38	37	con3dimp 630	. . . . . . 7 |- ( ( ( f ` m ) = 1o /\ -. 1o = (/) ) -> -. ( f ` m ) = (/) )
39	33, 35, 38	sylancl 411	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A. r ( r C_ ( ~P 1o X. om ) -> ( A. p e. ~P 1o E. n e. om p r n -> E. m e. om A. q e. ~P 1o q r m ) ) /\ f : om -onto-> ~P 1o ) /\ m e. om ) /\ A. q e. ~P 1o q `' f m ) -> -. ( f ` m ) = (/) )
40	23, 39	pm2.21fal 1368	. . . . 5 |- ( ( ( ( A. r ( r C_ ( ~P 1o X. om ) -> ( A. p e. ~P 1o E. n e. om p r n -> E. m e. om A. q e. ~P 1o q r m ) ) /\ f : om -onto-> ~P 1o ) /\ m e. om ) /\ A. q e. ~P 1o q `' f m ) -> F. )
41		fof 5420	. . . . . . . 8 |- ( f : om -onto-> ~P 1o -> f : om --> ~P 1o )
42		fssxp 5365	. . . . . . . . . 10 |- ( f : om --> ~P 1o -> f C_ ( om X. ~P 1o ) )
43		cnvss 4784	. . . . . . . . . 10 |- ( f C_ ( om X. ~P 1o ) -> `' f C_ `' ( om X. ~P 1o ) )
44	42, 43	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( f : om --> ~P 1o -> `' f C_ `' ( om X. ~P 1o ) )
45		cnvxp 5029	. . . . . . . . 9 |- `' ( om X. ~P 1o ) = ( ~P 1o X. om )
46	44, 45	sseqtrdi 3195	. . . . . . . 8 |- ( f : om --> ~P 1o -> `' f C_ ( ~P 1o X. om ) )
47	41, 46	syl 14	. . . . . . 7 |- ( f : om -onto-> ~P 1o -> `' f C_ ( ~P 1o X. om ) )
48	47	adantl 275	. . . . . 6 |- ( ( A. r ( r C_ ( ~P 1o X. om ) -> ( A. p e. ~P 1o E. n e. om p r n -> E. m e. om A. q e. ~P 1o q r m ) ) /\ f : om -onto-> ~P 1o ) -> `' f C_ ( ~P 1o X. om ) )
49		foelrn 5732	. . . . . . . . 9 |- ( ( f : om -onto-> ~P 1o /\ p e. ~P 1o ) -> E. n e. om p = ( f ` n ) )
50	18	ad2antrr 485	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( f : om -onto-> ~P 1o /\ p e. ~P 1o ) /\ n e. om ) -> f Fn om )
51		simpr 109	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( f : om -onto-> ~P 1o /\ p e. ~P 1o ) /\ n e. om ) -> n e. om )
52		eqcom 2172	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( f ` n ) = p <-> p = ( f ` n ) )
53		fnbrfvb 5537	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( f Fn om /\ n e. om ) -> ( ( f ` n ) = p <-> n f p ) )
54		brcnvg 4792	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( p e. _V /\ n e. _V ) -> ( p `' f n <-> n f p ) )
55	54	elvd 2735	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( p e. _V -> ( p `' f n <-> n f p ) )
56	55	elv 2734	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( p `' f n <-> n f p )
57	53, 56	bitr4di 197	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( f Fn om /\ n e. om ) -> ( ( f ` n ) = p <-> p `' f n ) )
58	52, 57	bitr3id 193	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( f Fn om /\ n e. om ) -> ( p = ( f ` n ) <-> p `' f n ) )
59	50, 51, 58	syl2anc 409	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( f : om -onto-> ~P 1o /\ p e. ~P 1o ) /\ n e. om ) -> ( p = ( f ` n ) <-> p `' f n ) )
60	59	rexbidva 2467	. . . . . . . . 9 |- ( ( f : om -onto-> ~P 1o /\ p e. ~P 1o ) -> ( E. n e. om p = ( f ` n ) <-> E. n e. om p `' f n ) )
61	49, 60	mpbid 146	. . . . . . . 8 |- ( ( f : om -onto-> ~P 1o /\ p e. ~P 1o ) -> E. n e. om p `' f n )
62	61	ralrimiva 2543	. . . . . . 7 |- ( f : om -onto-> ~P 1o -> A. p e. ~P 1o E. n e. om p `' f n )
63	62	adantl 275	. . . . . 6 |- ( ( A. r ( r C_ ( ~P 1o X. om ) -> ( A. p e. ~P 1o E. n e. om p r n -> E. m e. om A. q e. ~P 1o q r m ) ) /\ f : om -onto-> ~P 1o ) -> A. p e. ~P 1o E. n e. om p `' f n )
64		cnvexg 5148	. . . . . . . 8 |- ( f e. _V -> `' f e. _V )
65	64	elv 2734	. . . . . . 7 |- `' f e. _V
66		simpl 108	. . . . . . 7 |- ( ( A. r ( r C_ ( ~P 1o X. om ) -> ( A. p e. ~P 1o E. n e. om p r n -> E. m e. om A. q e. ~P 1o q r m ) ) /\ f : om -onto-> ~P 1o ) -> A. r ( r C_ ( ~P 1o X. om ) -> ( A. p e. ~P 1o E. n e. om p r n -> E. m e. om A. q e. ~P 1o q r m ) ) )
67		sseq1 3170	. . . . . . . . 9 |- ( r = `' f -> ( r C_ ( ~P 1o X. om ) <-> `' f C_ ( ~P 1o X. om ) ) )
68		breq 3991	. . . . . . . . . . . 12 |- ( r = `' f -> ( p r n <-> p `' f n ) )
69	68	rexbidv 2471	. . . . . . . . . . 11 |- ( r = `' f -> ( E. n e. om p r n <-> E. n e. om p `' f n ) )
70	69	ralbidv 2470	. . . . . . . . . 10 |- ( r = `' f -> ( A. p e. ~P 1o E. n e. om p r n <-> A. p e. ~P 1o E. n e. om p `' f n ) )
71		breq 3991	. . . . . . . . . . . 12 |- ( r = `' f -> ( q r m <-> q `' f m ) )
72	71	ralbidv 2470	. . . . . . . . . . 11 |- ( r = `' f -> ( A. q e. ~P 1o q r m <-> A. q e. ~P 1o q `' f m ) )
73	72	rexbidv 2471	. . . . . . . . . 10 |- ( r = `' f -> ( E. m e. om A. q e. ~P 1o q r m <-> E. m e. om A. q e. ~P 1o q `' f m ) )
74	70, 73	imbi12d 233	. . . . . . . . 9 |- ( r = `' f -> ( ( A. p e. ~P 1o E. n e. om p r n -> E. m e. om A. q e. ~P 1o q r m ) <-> ( A. p e. ~P 1o E. n e. om p `' f n -> E. m e. om A. q e. ~P 1o q `' f m ) ) )
75	67, 74	imbi12d 233	. . . . . . . 8 |- ( r = `' f -> ( ( r C_ ( ~P 1o X. om ) -> ( A. p e. ~P 1o E. n e. om p r n -> E. m e. om A. q e. ~P 1o q r m ) ) <-> ( `' f C_ ( ~P 1o X. om ) -> ( A. p e. ~P 1o E. n e. om p `' f n -> E. m e. om A. q e. ~P 1o q `' f m ) ) ) )
76	75	spcgv 2817	. . . . . . 7 |- ( `' f e. _V -> ( A. r ( r C_ ( ~P 1o X. om ) -> ( A. p e. ~P 1o E. n e. om p r n -> E. m e. om A. q e. ~P 1o q r m ) ) -> ( `' f C_ ( ~P 1o X. om ) -> ( A. p e. ~P 1o E. n e. om p `' f n -> E. m e. om A. q e. ~P 1o q `' f m ) ) ) )
77	65, 66, 76	mpsyl 65	. . . . . 6 |- ( ( A. r ( r C_ ( ~P 1o X. om ) -> ( A. p e. ~P 1o E. n e. om p r n -> E. m e. om A. q e. ~P 1o q r m ) ) /\ f : om -onto-> ~P 1o ) -> ( `' f C_ ( ~P 1o X. om ) -> ( A. p e. ~P 1o E. n e. om p `' f n -> E. m e. om A. q e. ~P 1o q `' f m ) ) )
78	48, 63, 77	mp2d 47	. . . . 5 |- ( ( A. r ( r C_ ( ~P 1o X. om ) -> ( A. p e. ~P 1o E. n e. om p r n -> E. m e. om A. q e. ~P 1o q r m ) ) /\ f : om -onto-> ~P 1o ) -> E. m e. om A. q e. ~P 1o q `' f m )
79	8, 40, 78	r19.29af 2611	. . . 4 |- ( ( A. r ( r C_ ( ~P 1o X. om ) -> ( A. p e. ~P 1o E. n e. om p r n -> E. m e. om A. q e. ~P 1o q r m ) ) /\ f : om -onto-> ~P 1o ) -> F. )
80	79	inegd 1367	. . 3 |- ( A. r ( r C_ ( ~P 1o X. om ) -> ( A. p e. ~P 1o E. n e. om p r n -> E. m e. om A. q e. ~P 1o q r m ) ) -> -. f : om -onto-> ~P 1o )
81	80	nexdv 1929	. 2 |- ( A. r ( r C_ ( ~P 1o X. om ) -> ( A. p e. ~P 1o E. n e. om p r n -> E. m e. om A. q e. ~P 1o q r m ) ) -> -. E. f f : om -onto-> ~P 1o )
82		elex2 2746	. . 3 |- ( (/) e. ~P 1o -> E. w w e. ~P 1o )
83		ctm 7086	. . 3 |- ( E. w w e. ~P 1o -> ( E. f f : om -onto-> ( ~P 1o ⊔ 1o ) <-> E. f f : om -onto-> ~P 1o ) )
84	11, 82, 83	mp2b 8	. 2 |- ( E. f f : om -onto-> ( ~P 1o ⊔ 1o ) <-> E. f f : om -onto-> ~P 1o )
85	81, 84	sylnibr 672	1 |- ( A. r ( r C_ ( ~P 1o X. om ) -> ( A. p e. ~P 1o E. n e. om p r n -> E. m e. om A. q e. ~P 1o q r m ) ) -> -. E. f f : om -onto-> ( ~P 1o ⊔ 1o ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   A.wal 1346   = wceq 1348   F. wfal 1353   E.wex 1485   e. wcel 2141   A.wral 2448   E.wrex 2449   _Vcvv 2730   C_ wss 3121   (/)c0 3414   ~Pcpw 3566   class class class wbr 3989   omcom 4574   X. cxp 4609   `'ccnv 4610   Fn wfn 5193   -->wf 5194   -onto->wfo 5196   ` cfv 5198   1oc1o 6388   ⊔ cdju 7014

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-iinf 4572

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-iord 4351  df-on 4353  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-1o 6395  df-dju 7015  df-inl 7024  df-inr 7025  df-case 7061

This theorem is referenced by: (None)