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Theorem pw1nct 13369
Description: A condition which ensures that the powerset of a singleton is not countable. The antecedent here can be referred to as the uniformity principle. Based on Mastodon posts by Andrej Bauer and Rahul Chhabra. (Contributed by Jim Kingdon, 29-May-2024.)
Assertion
Ref Expression
pw1nct  |-  ( A. r ( r  C_  ( ~P 1o  X.  om )  ->  ( A. p  e.  ~P  1o E. n  e.  om  p r n  ->  E. m  e.  om  A. q  e.  ~P  1o q r m ) )  ->  -.  E. f 
f : om -onto-> ( ~P 1o 1o ) )
Distinct variable groups:    f, m, n, p, r    f, q, m, r

Proof of Theorem pw1nct
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1509 . . . . . . . 8  |-  F/ m  r  C_  ( ~P 1o  X.  om )
2 nfv 1509 . . . . . . . . 9  |-  F/ m A. p  e.  ~P  1o E. n  e.  om  p r n
3 nfre1 2479 . . . . . . . . 9  |-  F/ m E. m  e.  om  A. q  e.  ~P  1o q r m
42, 3nfim 1552 . . . . . . . 8  |-  F/ m
( A. p  e. 
~P  1o E. n  e.  om  p r n  ->  E. m  e.  om  A. q  e.  ~P  1o q r m )
51, 4nfim 1552 . . . . . . 7  |-  F/ m
( r  C_  ( ~P 1o  X.  om )  ->  ( A. p  e. 
~P  1o E. n  e.  om  p r n  ->  E. m  e.  om  A. q  e.  ~P  1o q r m ) )
65nfal 1556 . . . . . 6  |-  F/ m A. r ( r  C_  ( ~P 1o  X.  om )  ->  ( A. p  e.  ~P  1o E. n  e.  om  p r n  ->  E. m  e.  om  A. q  e.  ~P  1o q r m ) )
7 nfv 1509 . . . . . 6  |-  F/ m  f : om -onto-> ~P 1o
86, 7nfan 1545 . . . . 5  |-  F/ m
( A. r ( r  C_  ( ~P 1o  X.  om )  -> 
( A. p  e. 
~P  1o E. n  e.  om  p r n  ->  E. m  e.  om  A. q  e.  ~P  1o q r m ) )  /\  f : om -onto-> ~P 1o )
9 breq1 3939 . . . . . . . . 9  |-  ( q  =  (/)  ->  ( q `' f m  <->  (/) `' f m ) )
10 simpr 109 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A. r
( r  C_  ( ~P 1o  X.  om )  ->  ( A. p  e. 
~P  1o E. n  e.  om  p r n  ->  E. m  e.  om  A. q  e.  ~P  1o q r m ) )  /\  f : om -onto-> ~P 1o )  /\  m  e.  om )  /\  A. q  e.  ~P  1o q `' f m )  ->  A. q  e.  ~P  1o q `' f m )
11 0elpw 4095 . . . . . . . . . 10  |-  (/)  e.  ~P 1o
1211a1i 9 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A. r
( r  C_  ( ~P 1o  X.  om )  ->  ( A. p  e. 
~P  1o E. n  e.  om  p r n  ->  E. m  e.  om  A. q  e.  ~P  1o q r m ) )  /\  f : om -onto-> ~P 1o )  /\  m  e.  om )  /\  A. q  e.  ~P  1o q `' f m )  ->  (/)  e.  ~P 1o )
139, 10, 12rspcdva 2797 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A. r
( r  C_  ( ~P 1o  X.  om )  ->  ( A. p  e. 
~P  1o E. n  e.  om  p r n  ->  E. m  e.  om  A. q  e.  ~P  1o q r m ) )  /\  f : om -onto-> ~P 1o )  /\  m  e.  om )  /\  A. q  e.  ~P  1o q `' f m )  ->  (/) `' f m )
14 0ex 4062 . . . . . . . . 9  |-  (/)  e.  _V
15 vex 2692 . . . . . . . . 9  |-  m  e. 
_V
1614, 15brcnv 4729 . . . . . . . 8  |-  ( (/) `' f m  <->  m f (/) )
1713, 16sylib 121 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A. r
( r  C_  ( ~P 1o  X.  om )  ->  ( A. p  e. 
~P  1o E. n  e.  om  p r n  ->  E. m  e.  om  A. q  e.  ~P  1o q r m ) )  /\  f : om -onto-> ~P 1o )  /\  m  e.  om )  /\  A. q  e.  ~P  1o q `' f m )  ->  m f (/) )
18 fofn 5354 . . . . . . . . 9  |-  ( f : om -onto-> ~P 1o  ->  f  Fn  om )
1918ad3antlr 485 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A. r
( r  C_  ( ~P 1o  X.  om )  ->  ( A. p  e. 
~P  1o E. n  e.  om  p r n  ->  E. m  e.  om  A. q  e.  ~P  1o q r m ) )  /\  f : om -onto-> ~P 1o )  /\  m  e.  om )  /\  A. q  e.  ~P  1o q `' f m )  ->  f  Fn  om )
20 simplr 520 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A. r
( r  C_  ( ~P 1o  X.  om )  ->  ( A. p  e. 
~P  1o E. n  e.  om  p r n  ->  E. m  e.  om  A. q  e.  ~P  1o q r m ) )  /\  f : om -onto-> ~P 1o )  /\  m  e.  om )  /\  A. q  e.  ~P  1o q `' f m )  ->  m  e.  om )
21 fnbrfvb 5469 . . . . . . . 8  |-  ( ( f  Fn  om  /\  m  e.  om )  ->  ( ( f `  m )  =  (/)  <->  m
f (/) ) )
2219, 20, 21syl2anc 409 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A. r
( r  C_  ( ~P 1o  X.  om )  ->  ( A. p  e. 
~P  1o E. n  e.  om  p r n  ->  E. m  e.  om  A. q  e.  ~P  1o q r m ) )  /\  f : om -onto-> ~P 1o )  /\  m  e.  om )  /\  A. q  e.  ~P  1o q `' f m )  ->  ( (
f `  m )  =  (/)  <->  m f (/) ) )
2317, 22mpbird 166 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A. r
( r  C_  ( ~P 1o  X.  om )  ->  ( A. p  e. 
~P  1o E. n  e.  om  p r n  ->  E. m  e.  om  A. q  e.  ~P  1o q r m ) )  /\  f : om -onto-> ~P 1o )  /\  m  e.  om )  /\  A. q  e.  ~P  1o q `' f m )  ->  ( f `  m )  =  (/) )
24 breq1 3939 . . . . . . . . . 10  |-  ( q  =  1o  ->  (
q `' f m  <-> 
1o `' f m ) )
25 1oex 6328 . . . . . . . . . . . 12  |-  1o  e.  _V
2625pwid 3529 . . . . . . . . . . 11  |-  1o  e.  ~P 1o
2726a1i 9 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A. r
( r  C_  ( ~P 1o  X.  om )  ->  ( A. p  e. 
~P  1o E. n  e.  om  p r n  ->  E. m  e.  om  A. q  e.  ~P  1o q r m ) )  /\  f : om -onto-> ~P 1o )  /\  m  e.  om )  /\  A. q  e.  ~P  1o q `' f m )  ->  1o  e.  ~P 1o )
2824, 10, 27rspcdva 2797 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A. r
( r  C_  ( ~P 1o  X.  om )  ->  ( A. p  e. 
~P  1o E. n  e.  om  p r n  ->  E. m  e.  om  A. q  e.  ~P  1o q r m ) )  /\  f : om -onto-> ~P 1o )  /\  m  e.  om )  /\  A. q  e.  ~P  1o q `' f m )  ->  1o `' f m )
2925, 15brcnv 4729 . . . . . . . . 9  |-  ( 1o `' f m  <->  m f 1o )
3028, 29sylib 121 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A. r
( r  C_  ( ~P 1o  X.  om )  ->  ( A. p  e. 
~P  1o E. n  e.  om  p r n  ->  E. m  e.  om  A. q  e.  ~P  1o q r m ) )  /\  f : om -onto-> ~P 1o )  /\  m  e.  om )  /\  A. q  e.  ~P  1o q `' f m )  ->  m f 1o )
31 fnbrfvb 5469 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f  Fn  om  /\  m  e.  om )  ->  ( ( f `  m )  =  1o  <->  m f 1o ) )
3219, 20, 31syl2anc 409 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A. r
( r  C_  ( ~P 1o  X.  om )  ->  ( A. p  e. 
~P  1o E. n  e.  om  p r n  ->  E. m  e.  om  A. q  e.  ~P  1o q r m ) )  /\  f : om -onto-> ~P 1o )  /\  m  e.  om )  /\  A. q  e.  ~P  1o q `' f m )  ->  ( (
f `  m )  =  1o  <->  m f 1o ) )
3330, 32mpbird 166 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A. r
( r  C_  ( ~P 1o  X.  om )  ->  ( A. p  e. 
~P  1o E. n  e.  om  p r n  ->  E. m  e.  om  A. q  e.  ~P  1o q r m ) )  /\  f : om -onto-> ~P 1o )  /\  m  e.  om )  /\  A. q  e.  ~P  1o q `' f m )  ->  ( f `  m )  =  1o )
34 1n0 6336 . . . . . . . 8  |-  1o  =/=  (/)
3534neii 2311 . . . . . . 7  |-  -.  1o  =  (/)
36 eqeq1 2147 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f `  m )  =  1o  ->  (
( f `  m
)  =  (/)  <->  1o  =  (/) ) )
3736biimpd 143 . . . . . . . 8  |-  ( ( f `  m )  =  1o  ->  (
( f `  m
)  =  (/)  ->  1o  =  (/) ) )
3837con3dimp 625 . . . . . . 7  |-  ( ( ( f `  m
)  =  1o  /\  -.  1o  =  (/) )  ->  -.  ( f `  m
)  =  (/) )
3933, 35, 38sylancl 410 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A. r
( r  C_  ( ~P 1o  X.  om )  ->  ( A. p  e. 
~P  1o E. n  e.  om  p r n  ->  E. m  e.  om  A. q  e.  ~P  1o q r m ) )  /\  f : om -onto-> ~P 1o )  /\  m  e.  om )  /\  A. q  e.  ~P  1o q `' f m )  ->  -.  (
f `  m )  =  (/) )
4023, 39pm2.21fal 1352 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A. r
( r  C_  ( ~P 1o  X.  om )  ->  ( A. p  e. 
~P  1o E. n  e.  om  p r n  ->  E. m  e.  om  A. q  e.  ~P  1o q r m ) )  /\  f : om -onto-> ~P 1o )  /\  m  e.  om )  /\  A. q  e.  ~P  1o q `' f m )  -> F.  )
41 fof 5352 . . . . . . . 8  |-  ( f : om -onto-> ~P 1o  ->  f : om --> ~P 1o )
42 fssxp 5297 . . . . . . . . . 10  |-  ( f : om --> ~P 1o  ->  f  C_  ( om  X.  ~P 1o ) )
43 cnvss 4719 . . . . . . . . . 10  |-  ( f 
C_  ( om  X.  ~P 1o )  ->  `' f  C_  `' ( om 
X.  ~P 1o ) )
4442, 43syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( f : om --> ~P 1o  ->  `' f  C_  `' ( om  X.  ~P 1o ) )
45 cnvxp 4964 . . . . . . . . 9  |-  `' ( om  X.  ~P 1o )  =  ( ~P 1o  X.  om )
4644, 45sseqtrdi 3149 . . . . . . . 8  |-  ( f : om --> ~P 1o  ->  `' f  C_  ( ~P 1o  X.  om )
)
4741, 46syl 14 . . . . . . 7  |-  ( f : om -onto-> ~P 1o  ->  `' f  C_  ( ~P 1o  X.  om )
)
4847adantl 275 . . . . . 6  |-  ( ( A. r ( r 
C_  ( ~P 1o  X.  om )  ->  ( A. p  e.  ~P  1o E. n  e.  om  p r n  ->  E. m  e.  om  A. q  e.  ~P  1o q r m ) )  /\  f : om -onto-> ~P 1o )  ->  `' f  C_  ( ~P 1o  X.  om )
)
49 foelrn 5661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f : om -onto-> ~P 1o  /\  p  e.  ~P 1o )  ->  E. n  e.  om  p  =  ( f `  n ) )
5018ad2antrr 480 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( f : om -onto-> ~P 1o  /\  p  e. 
~P 1o )  /\  n  e.  om )  ->  f  Fn  om )
51 simpr 109 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( f : om -onto-> ~P 1o  /\  p  e. 
~P 1o )  /\  n  e.  om )  ->  n  e.  om )
52 eqcom 2142 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f `  n )  =  p  <->  p  =  ( f `  n
) )
53 fnbrfvb 5469 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f  Fn  om  /\  n  e.  om )  ->  ( ( f `  n )  =  p  <-> 
n f p ) )
54 brcnvg 4727 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( p  e.  _V  /\  n  e.  _V )  ->  ( p `' f n  <->  n f p ) )
5554elvd 2694 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( p  e.  _V  ->  (
p `' f n  <-> 
n f p ) )
5655elv 2693 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( p `' f n  <->  n f
p )
5753, 56syl6bbr 197 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f  Fn  om  /\  n  e.  om )  ->  ( ( f `  n )  =  p  <-> 
p `' f n ) )
5852, 57bitr3id 193 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f  Fn  om  /\  n  e.  om )  ->  ( p  =  ( f `  n )  <-> 
p `' f n ) )
5950, 51, 58syl2anc 409 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( f : om -onto-> ~P 1o  /\  p  e. 
~P 1o )  /\  n  e.  om )  ->  ( p  =  ( f `  n )  <-> 
p `' f n ) )
6059rexbidva 2435 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f : om -onto-> ~P 1o  /\  p  e.  ~P 1o )  ->  ( E. n  e.  om  p  =  ( f `  n )  <->  E. n  e.  om  p `' f n ) )
6149, 60mpbid 146 . . . . . . . 8  |-  ( ( f : om -onto-> ~P 1o  /\  p  e.  ~P 1o )  ->  E. n  e.  om  p `' f n )
6261ralrimiva 2508 . . . . . . 7  |-  ( f : om -onto-> ~P 1o  ->  A. p  e.  ~P  1o E. n  e.  om  p `' f n )
6362adantl 275 . . . . . 6  |-  ( ( A. r ( r 
C_  ( ~P 1o  X.  om )  ->  ( A. p  e.  ~P  1o E. n  e.  om  p r n  ->  E. m  e.  om  A. q  e.  ~P  1o q r m ) )  /\  f : om -onto-> ~P 1o )  ->  A. p  e.  ~P  1o E. n  e.  om  p `' f n )
64 cnvexg 5083 . . . . . . . 8  |-  ( f  e.  _V  ->  `' f  e.  _V )
6564elv 2693 . . . . . . 7  |-  `' f  e.  _V
66 simpl 108 . . . . . . 7  |-  ( ( A. r ( r 
C_  ( ~P 1o  X.  om )  ->  ( A. p  e.  ~P  1o E. n  e.  om  p r n  ->  E. m  e.  om  A. q  e.  ~P  1o q r m ) )  /\  f : om -onto-> ~P 1o )  ->  A. r ( r  C_  ( ~P 1o  X.  om )  ->  ( A. p  e.  ~P  1o E. n  e.  om  p r n  ->  E. m  e.  om  A. q  e.  ~P  1o q r m ) ) )
67 sseq1 3124 . . . . . . . . 9  |-  ( r  =  `' f  -> 
( r  C_  ( ~P 1o  X.  om )  <->  `' f  C_  ( ~P 1o  X.  om ) ) )
68 breq 3938 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( r  =  `' f  -> 
( p r n  <-> 
p `' f n ) )
6968rexbidv 2439 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  =  `' f  -> 
( E. n  e. 
om  p r n  <->  E. n  e.  om  p `' f n ) )
7069ralbidv 2438 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  =  `' f  -> 
( A. p  e. 
~P  1o E. n  e.  om  p r n  <->  A. p  e.  ~P  1o E. n  e.  om  p `' f n ) )
71 breq 3938 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( r  =  `' f  -> 
( q r m  <-> 
q `' f m ) )
7271ralbidv 2438 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  =  `' f  -> 
( A. q  e. 
~P  1o q r m  <->  A. q  e.  ~P  1o q `' f m ) )
7372rexbidv 2439 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  =  `' f  -> 
( E. m  e. 
om  A. q  e.  ~P  1o q r m  <->  E. m  e.  om  A. q  e. 
~P  1o q `' f m ) )
7470, 73imbi12d 233 . . . . . . . . 9  |-  ( r  =  `' f  -> 
( ( A. p  e.  ~P  1o E. n  e.  om  p r n  ->  E. m  e.  om  A. q  e.  ~P  1o q r m )  <-> 
( A. p  e. 
~P  1o E. n  e.  om  p `' f n  ->  E. m  e.  om  A. q  e. 
~P  1o q `' f m ) ) )
7567, 74imbi12d 233 . . . . . . . 8  |-  ( r  =  `' f  -> 
( ( r  C_  ( ~P 1o  X.  om )  ->  ( A. p  e.  ~P  1o E. n  e.  om  p r n  ->  E. m  e.  om  A. q  e.  ~P  1o q r m ) )  <->  ( `' f 
C_  ( ~P 1o  X.  om )  ->  ( A. p  e.  ~P  1o E. n  e.  om  p `' f n  ->  E. m  e.  om  A. q  e.  ~P  1o q `' f m ) ) ) )
7675spcgv 2776 . . . . . . 7  |-  ( `' f  e.  _V  ->  ( A. r ( r 
C_  ( ~P 1o  X.  om )  ->  ( A. p  e.  ~P  1o E. n  e.  om  p r n  ->  E. m  e.  om  A. q  e.  ~P  1o q r m ) )  ->  ( `' f  C_  ( ~P 1o  X.  om )  ->  ( A. p  e.  ~P  1o E. n  e.  om  p `' f n  ->  E. m  e.  om  A. q  e.  ~P  1o q `' f m ) ) ) )
7765, 66, 76mpsyl 65 . . . . . 6  |-  ( ( A. r ( r 
C_  ( ~P 1o  X.  om )  ->  ( A. p  e.  ~P  1o E. n  e.  om  p r n  ->  E. m  e.  om  A. q  e.  ~P  1o q r m ) )  /\  f : om -onto-> ~P 1o )  -> 
( `' f  C_  ( ~P 1o  X.  om )  ->  ( A. p  e.  ~P  1o E. n  e.  om  p `' f n  ->  E. m  e.  om  A. q  e. 
~P  1o q `' f m ) ) )
7848, 63, 77mp2d 47 . . . . 5  |-  ( ( A. r ( r 
C_  ( ~P 1o  X.  om )  ->  ( A. p  e.  ~P  1o E. n  e.  om  p r n  ->  E. m  e.  om  A. q  e.  ~P  1o q r m ) )  /\  f : om -onto-> ~P 1o )  ->  E. m  e.  om  A. q  e.  ~P  1o q `' f m )
798, 40, 78r19.29af 2576 . . . 4  |-  ( ( A. r ( r 
C_  ( ~P 1o  X.  om )  ->  ( A. p  e.  ~P  1o E. n  e.  om  p r n  ->  E. m  e.  om  A. q  e.  ~P  1o q r m ) )  /\  f : om -onto-> ~P 1o )  -> F.  )
8079inegd 1351 . . 3  |-  ( A. r ( r  C_  ( ~P 1o  X.  om )  ->  ( A. p  e.  ~P  1o E. n  e.  om  p r n  ->  E. m  e.  om  A. q  e.  ~P  1o q r m ) )  ->  -.  f : om -onto-> ~P 1o )
8180nexdv 1909 . 2  |-  ( A. r ( r  C_  ( ~P 1o  X.  om )  ->  ( A. p  e.  ~P  1o E. n  e.  om  p r n  ->  E. m  e.  om  A. q  e.  ~P  1o q r m ) )  ->  -.  E. f 
f : om -onto-> ~P 1o )
82 elex2 2705 . . 3  |-  ( (/)  e.  ~P 1o  ->  E. w  w  e.  ~P 1o )
83 ctm 7001 . . 3  |-  ( E. w  w  e.  ~P 1o  ->  ( E. f 
f : om -onto-> ( ~P 1o 1o )  <->  E. f 
f : om -onto-> ~P 1o ) )
8411, 82, 83mp2b 8 . 2  |-  ( E. f  f : om -onto->
( ~P 1o 1o )  <->  E. f  f : om -onto-> ~P 1o )
8581, 84sylnibr 667 1  |-  ( A. r ( r  C_  ( ~P 1o  X.  om )  ->  ( A. p  e.  ~P  1o E. n  e.  om  p r n  ->  E. m  e.  om  A. q  e.  ~P  1o q r m ) )  ->  -.  E. f 
f : om -onto-> ( ~P 1o 1o ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104   A.wal 1330    = wceq 1332   F. wfal 1337   E.wex 1469    e. wcel 1481   A.wral 2417   E.wrex 2418   _Vcvv 2689    C_ wss 3075   (/)c0 3367   ~Pcpw 3514   class class class wbr 3936   omcom 4511    X. cxp 4544   `'ccnv 4545    Fn wfn 5125   -->wf 5126   -onto->wfo 5128   ` cfv 5130   1oc1o 6313   ⊔ cdju 6929
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4050  ax-sep 4053  ax-nul 4061  ax-pow 4105  ax-pr 4138  ax-un 4362  ax-iinf 4509
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2913  df-csb 3007  df-dif 3077  df-un 3079  df-in 3081  df-ss 3088  df-nul 3368  df-if 3479  df-pw 3516  df-sn 3537  df-pr 3538  df-op 3540  df-uni 3744  df-int 3779  df-iun 3822  df-br 3937  df-opab 3997  df-mpt 3998  df-tr 4034  df-id 4222  df-iord 4295  df-on 4297  df-suc 4300  df-iom 4512  df-xp 4552  df-rel 4553  df-cnv 4554  df-co 4555  df-dm 4556  df-rn 4557  df-res 4558  df-ima 4559  df-iota 5095  df-fun 5132  df-fn 5133  df-f 5134  df-f1 5135  df-fo 5136  df-f1o 5137  df-fv 5138  df-1st 6045  df-2nd 6046  df-1o 6320  df-dju 6930  df-inl 6939  df-inr 6940  df-case 6976
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