Theorem pw1nct 16604

Description: A condition which ensures that the powerset of a singleton is not countable. The antecedent here can be referred to as the uniformity principle. Based on Mastodon posts by Andrej Bauer and Rahul Chhabra. (Contributed by Jim Kingdon, 29-May-2024.)

Assertion

Ref	Expression
pw1nct	|- ( A. r ( r C_ ( ~P 1o X. om ) -> ( A. p e. ~P 1o E. n e. om p r n -> E. m e. om A. q e. ~P 1o q r m ) ) -> -. E. f f : om -onto-> ( ~P 1o ⊔ 1o ) )

Distinct variable groups:   f, m, n, p, r   f, q, m, r

Proof of Theorem pw1nct

Dummy variable w is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1576	. . . . . . . 8 |- F/ m r C_ ( ~P 1o X. om )
2		nfv 1576	. . . . . . . . 9 |- F/ m A. p e. ~P 1o E. n e. om p r n
3		nfre1 2575	. . . . . . . . 9 |- F/ m E. m e. om A. q e. ~P 1o q r m
4	2, 3	nfim 1620	. . . . . . . 8 |- F/ m ( A. p e. ~P 1o E. n e. om p r n -> E. m e. om A. q e. ~P 1o q r m )
5	1, 4	nfim 1620	. . . . . . 7 |- F/ m ( r C_ ( ~P 1o X. om ) -> ( A. p e. ~P 1o E. n e. om p r n -> E. m e. om A. q e. ~P 1o q r m ) )
6	5	nfal 1624	. . . . . 6 |- F/ m A. r ( r C_ ( ~P 1o X. om ) -> ( A. p e. ~P 1o E. n e. om p r n -> E. m e. om A. q e. ~P 1o q r m ) )
7		nfv 1576	. . . . . 6 |- F/ m f : om -onto-> ~P 1o
8	6, 7	nfan 1613	. . . . 5 |- F/ m ( A. r ( r C_ ( ~P 1o X. om ) -> ( A. p e. ~P 1o E. n e. om p r n -> E. m e. om A. q e. ~P 1o q r m ) ) /\ f : om -onto-> ~P 1o )
9		breq1 4091	. . . . . . . . 9 |- ( q = (/) -> ( q `' f m <-> (/) `' f m ) )
10		simpr 110	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A. r ( r C_ ( ~P 1o X. om ) -> ( A. p e. ~P 1o E. n e. om p r n -> E. m e. om A. q e. ~P 1o q r m ) ) /\ f : om -onto-> ~P 1o ) /\ m e. om ) /\ A. q e. ~P 1o q `' f m ) -> A. q e. ~P 1o q `' f m )
11		0elpw 4254	. . . . . . . . . 10 |- (/) e. ~P 1o
12	11	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A. r ( r C_ ( ~P 1o X. om ) -> ( A. p e. ~P 1o E. n e. om p r n -> E. m e. om A. q e. ~P 1o q r m ) ) /\ f : om -onto-> ~P 1o ) /\ m e. om ) /\ A. q e. ~P 1o q `' f m ) -> (/) e. ~P 1o )
13	9, 10, 12	rspcdva 2915	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A. r ( r C_ ( ~P 1o X. om ) -> ( A. p e. ~P 1o E. n e. om p r n -> E. m e. om A. q e. ~P 1o q r m ) ) /\ f : om -onto-> ~P 1o ) /\ m e. om ) /\ A. q e. ~P 1o q `' f m ) -> (/) `' f m )
14		0ex 4216	. . . . . . . . 9 |- (/) e. _V
15		vex 2805	. . . . . . . . 9 |- m e. _V
16	14, 15	brcnv 4913	. . . . . . . 8 |- ( (/) `' f m <-> m f (/) )
17	13, 16	sylib 122	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A. r ( r C_ ( ~P 1o X. om ) -> ( A. p e. ~P 1o E. n e. om p r n -> E. m e. om A. q e. ~P 1o q r m ) ) /\ f : om -onto-> ~P 1o ) /\ m e. om ) /\ A. q e. ~P 1o q `' f m ) -> m f (/) )
18		fofn 5561	. . . . . . . . 9 |- ( f : om -onto-> ~P 1o -> f Fn om )
19	18	ad3antlr 493	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A. r ( r C_ ( ~P 1o X. om ) -> ( A. p e. ~P 1o E. n e. om p r n -> E. m e. om A. q e. ~P 1o q r m ) ) /\ f : om -onto-> ~P 1o ) /\ m e. om ) /\ A. q e. ~P 1o q `' f m ) -> f Fn om )
20		simplr 529	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A. r ( r C_ ( ~P 1o X. om ) -> ( A. p e. ~P 1o E. n e. om p r n -> E. m e. om A. q e. ~P 1o q r m ) ) /\ f : om -onto-> ~P 1o ) /\ m e. om ) /\ A. q e. ~P 1o q `' f m ) -> m e. om )
21		fnbrfvb 5684	. . . . . . . 8 |- ( ( f Fn om /\ m e. om ) -> ( ( f ` m ) = (/) <-> m f (/) ) )
22	19, 20, 21	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A. r ( r C_ ( ~P 1o X. om ) -> ( A. p e. ~P 1o E. n e. om p r n -> E. m e. om A. q e. ~P 1o q r m ) ) /\ f : om -onto-> ~P 1o ) /\ m e. om ) /\ A. q e. ~P 1o q `' f m ) -> ( ( f ` m ) = (/) <-> m f (/) ) )
23	17, 22	mpbird 167	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A. r ( r C_ ( ~P 1o X. om ) -> ( A. p e. ~P 1o E. n e. om p r n -> E. m e. om A. q e. ~P 1o q r m ) ) /\ f : om -onto-> ~P 1o ) /\ m e. om ) /\ A. q e. ~P 1o q `' f m ) -> ( f ` m ) = (/) )
24		breq1 4091	. . . . . . . . . 10 |- ( q = 1o -> ( q `' f m <-> 1o `' f m ) )
25		1oex 6589	. . . . . . . . . . . 12 |- 1o e. _V
26	25	pwid 3667	. . . . . . . . . . 11 |- 1o e. ~P 1o
27	26	a1i 9	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A. r ( r C_ ( ~P 1o X. om ) -> ( A. p e. ~P 1o E. n e. om p r n -> E. m e. om A. q e. ~P 1o q r m ) ) /\ f : om -onto-> ~P 1o ) /\ m e. om ) /\ A. q e. ~P 1o q `' f m ) -> 1o e. ~P 1o )
28	24, 10, 27	rspcdva 2915	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A. r ( r C_ ( ~P 1o X. om ) -> ( A. p e. ~P 1o E. n e. om p r n -> E. m e. om A. q e. ~P 1o q r m ) ) /\ f : om -onto-> ~P 1o ) /\ m e. om ) /\ A. q e. ~P 1o q `' f m ) -> 1o `' f m )
29	25, 15	brcnv 4913	. . . . . . . . 9 |- ( 1o `' f m <-> m f 1o )
30	28, 29	sylib 122	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A. r ( r C_ ( ~P 1o X. om ) -> ( A. p e. ~P 1o E. n e. om p r n -> E. m e. om A. q e. ~P 1o q r m ) ) /\ f : om -onto-> ~P 1o ) /\ m e. om ) /\ A. q e. ~P 1o q `' f m ) -> m f 1o )
31		fnbrfvb 5684	. . . . . . . . 9 |- ( ( f Fn om /\ m e. om ) -> ( ( f ` m ) = 1o <-> m f 1o ) )
32	19, 20, 31	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A. r ( r C_ ( ~P 1o X. om ) -> ( A. p e. ~P 1o E. n e. om p r n -> E. m e. om A. q e. ~P 1o q r m ) ) /\ f : om -onto-> ~P 1o ) /\ m e. om ) /\ A. q e. ~P 1o q `' f m ) -> ( ( f ` m ) = 1o <-> m f 1o ) )
33	30, 32	mpbird 167	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A. r ( r C_ ( ~P 1o X. om ) -> ( A. p e. ~P 1o E. n e. om p r n -> E. m e. om A. q e. ~P 1o q r m ) ) /\ f : om -onto-> ~P 1o ) /\ m e. om ) /\ A. q e. ~P 1o q `' f m ) -> ( f ` m ) = 1o )
34		1n0 6599	. . . . . . . 8 |- 1o =/= (/)
35	34	neii 2404	. . . . . . 7 |- -. 1o = (/)
36		eqeq1 2238	. . . . . . . . 9 |- ( ( f ` m ) = 1o -> ( ( f ` m ) = (/) <-> 1o = (/) ) )
37	36	biimpd 144	. . . . . . . 8 |- ( ( f ` m ) = 1o -> ( ( f ` m ) = (/) -> 1o = (/) ) )
38	37	con3dimp 640	. . . . . . 7 |- ( ( ( f ` m ) = 1o /\ -. 1o = (/) ) -> -. ( f ` m ) = (/) )
39	33, 35, 38	sylancl 413	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A. r ( r C_ ( ~P 1o X. om ) -> ( A. p e. ~P 1o E. n e. om p r n -> E. m e. om A. q e. ~P 1o q r m ) ) /\ f : om -onto-> ~P 1o ) /\ m e. om ) /\ A. q e. ~P 1o q `' f m ) -> -. ( f ` m ) = (/) )
40	23, 39	pm2.21fal 1417	. . . . 5 |- ( ( ( ( A. r ( r C_ ( ~P 1o X. om ) -> ( A. p e. ~P 1o E. n e. om p r n -> E. m e. om A. q e. ~P 1o q r m ) ) /\ f : om -onto-> ~P 1o ) /\ m e. om ) /\ A. q e. ~P 1o q `' f m ) -> F. )
41		fof 5559	. . . . . . . 8 |- ( f : om -onto-> ~P 1o -> f : om --> ~P 1o )
42		fssxp 5502	. . . . . . . . . 10 |- ( f : om --> ~P 1o -> f C_ ( om X. ~P 1o ) )
43		cnvss 4903	. . . . . . . . . 10 |- ( f C_ ( om X. ~P 1o ) -> `' f C_ `' ( om X. ~P 1o ) )
44	42, 43	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( f : om --> ~P 1o -> `' f C_ `' ( om X. ~P 1o ) )
45		cnvxp 5155	. . . . . . . . 9 |- `' ( om X. ~P 1o ) = ( ~P 1o X. om )
46	44, 45	sseqtrdi 3275	. . . . . . . 8 |- ( f : om --> ~P 1o -> `' f C_ ( ~P 1o X. om ) )
47	41, 46	syl 14	. . . . . . 7 |- ( f : om -onto-> ~P 1o -> `' f C_ ( ~P 1o X. om ) )
48	47	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( A. r ( r C_ ( ~P 1o X. om ) -> ( A. p e. ~P 1o E. n e. om p r n -> E. m e. om A. q e. ~P 1o q r m ) ) /\ f : om -onto-> ~P 1o ) -> `' f C_ ( ~P 1o X. om ) )
49		foelrn 5892	. . . . . . . . 9 |- ( ( f : om -onto-> ~P 1o /\ p e. ~P 1o ) -> E. n e. om p = ( f ` n ) )
50	18	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( f : om -onto-> ~P 1o /\ p e. ~P 1o ) /\ n e. om ) -> f Fn om )
51		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( f : om -onto-> ~P 1o /\ p e. ~P 1o ) /\ n e. om ) -> n e. om )
52		eqcom 2233	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( f ` n ) = p <-> p = ( f ` n ) )
53		fnbrfvb 5684	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( f Fn om /\ n e. om ) -> ( ( f ` n ) = p <-> n f p ) )
54		brcnvg 4911	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( p e. _V /\ n e. _V ) -> ( p `' f n <-> n f p ) )
55	54	elvd 2807	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( p e. _V -> ( p `' f n <-> n f p ) )
56	55	elv 2806	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( p `' f n <-> n f p )
57	53, 56	bitr4di 198	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( f Fn om /\ n e. om ) -> ( ( f ` n ) = p <-> p `' f n ) )
58	52, 57	bitr3id 194	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( f Fn om /\ n e. om ) -> ( p = ( f ` n ) <-> p `' f n ) )
59	50, 51, 58	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( f : om -onto-> ~P 1o /\ p e. ~P 1o ) /\ n e. om ) -> ( p = ( f ` n ) <-> p `' f n ) )
60	59	rexbidva 2529	. . . . . . . . 9 |- ( ( f : om -onto-> ~P 1o /\ p e. ~P 1o ) -> ( E. n e. om p = ( f ` n ) <-> E. n e. om p `' f n ) )
61	49, 60	mpbid 147	. . . . . . . 8 |- ( ( f : om -onto-> ~P 1o /\ p e. ~P 1o ) -> E. n e. om p `' f n )
62	61	ralrimiva 2605	. . . . . . 7 |- ( f : om -onto-> ~P 1o -> A. p e. ~P 1o E. n e. om p `' f n )
63	62	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( A. r ( r C_ ( ~P 1o X. om ) -> ( A. p e. ~P 1o E. n e. om p r n -> E. m e. om A. q e. ~P 1o q r m ) ) /\ f : om -onto-> ~P 1o ) -> A. p e. ~P 1o E. n e. om p `' f n )
64		cnvexg 5274	. . . . . . . 8 |- ( f e. _V -> `' f e. _V )
65	64	elv 2806	. . . . . . 7 |- `' f e. _V
66		simpl 109	. . . . . . 7 |- ( ( A. r ( r C_ ( ~P 1o X. om ) -> ( A. p e. ~P 1o E. n e. om p r n -> E. m e. om A. q e. ~P 1o q r m ) ) /\ f : om -onto-> ~P 1o ) -> A. r ( r C_ ( ~P 1o X. om ) -> ( A. p e. ~P 1o E. n e. om p r n -> E. m e. om A. q e. ~P 1o q r m ) ) )
67		sseq1 3250	. . . . . . . . 9 |- ( r = `' f -> ( r C_ ( ~P 1o X. om ) <-> `' f C_ ( ~P 1o X. om ) ) )
68		breq 4090	. . . . . . . . . . . 12 |- ( r = `' f -> ( p r n <-> p `' f n ) )
69	68	rexbidv 2533	. . . . . . . . . . 11 |- ( r = `' f -> ( E. n e. om p r n <-> E. n e. om p `' f n ) )
70	69	ralbidv 2532	. . . . . . . . . 10 |- ( r = `' f -> ( A. p e. ~P 1o E. n e. om p r n <-> A. p e. ~P 1o E. n e. om p `' f n ) )
71		breq 4090	. . . . . . . . . . . 12 |- ( r = `' f -> ( q r m <-> q `' f m ) )
72	71	ralbidv 2532	. . . . . . . . . . 11 |- ( r = `' f -> ( A. q e. ~P 1o q r m <-> A. q e. ~P 1o q `' f m ) )
73	72	rexbidv 2533	. . . . . . . . . 10 |- ( r = `' f -> ( E. m e. om A. q e. ~P 1o q r m <-> E. m e. om A. q e. ~P 1o q `' f m ) )
74	70, 73	imbi12d 234	. . . . . . . . 9 |- ( r = `' f -> ( ( A. p e. ~P 1o E. n e. om p r n -> E. m e. om A. q e. ~P 1o q r m ) <-> ( A. p e. ~P 1o E. n e. om p `' f n -> E. m e. om A. q e. ~P 1o q `' f m ) ) )
75	67, 74	imbi12d 234	. . . . . . . 8 |- ( r = `' f -> ( ( r C_ ( ~P 1o X. om ) -> ( A. p e. ~P 1o E. n e. om p r n -> E. m e. om A. q e. ~P 1o q r m ) ) <-> ( `' f C_ ( ~P 1o X. om ) -> ( A. p e. ~P 1o E. n e. om p `' f n -> E. m e. om A. q e. ~P 1o q `' f m ) ) ) )
76	75	spcgv 2893	. . . . . . 7 |- ( `' f e. _V -> ( A. r ( r C_ ( ~P 1o X. om ) -> ( A. p e. ~P 1o E. n e. om p r n -> E. m e. om A. q e. ~P 1o q r m ) ) -> ( `' f C_ ( ~P 1o X. om ) -> ( A. p e. ~P 1o E. n e. om p `' f n -> E. m e. om A. q e. ~P 1o q `' f m ) ) ) )
77	65, 66, 76	mpsyl 65	. . . . . 6 |- ( ( A. r ( r C_ ( ~P 1o X. om ) -> ( A. p e. ~P 1o E. n e. om p r n -> E. m e. om A. q e. ~P 1o q r m ) ) /\ f : om -onto-> ~P 1o ) -> ( `' f C_ ( ~P 1o X. om ) -> ( A. p e. ~P 1o E. n e. om p `' f n -> E. m e. om A. q e. ~P 1o q `' f m ) ) )
78	48, 63, 77	mp2d 47	. . . . 5 |- ( ( A. r ( r C_ ( ~P 1o X. om ) -> ( A. p e. ~P 1o E. n e. om p r n -> E. m e. om A. q e. ~P 1o q r m ) ) /\ f : om -onto-> ~P 1o ) -> E. m e. om A. q e. ~P 1o q `' f m )
79	8, 40, 78	r19.29af 2674	. . . 4 |- ( ( A. r ( r C_ ( ~P 1o X. om ) -> ( A. p e. ~P 1o E. n e. om p r n -> E. m e. om A. q e. ~P 1o q r m ) ) /\ f : om -onto-> ~P 1o ) -> F. )
80	79	inegd 1416	. . 3 |- ( A. r ( r C_ ( ~P 1o X. om ) -> ( A. p e. ~P 1o E. n e. om p r n -> E. m e. om A. q e. ~P 1o q r m ) ) -> -. f : om -onto-> ~P 1o )
81	80	nexdv 1989	. 2 |- ( A. r ( r C_ ( ~P 1o X. om ) -> ( A. p e. ~P 1o E. n e. om p r n -> E. m e. om A. q e. ~P 1o q r m ) ) -> -. E. f f : om -onto-> ~P 1o )
82		elex2 2819	. . 3 |- ( (/) e. ~P 1o -> E. w w e. ~P 1o )
83		ctm 7307	. . 3 |- ( E. w w e. ~P 1o -> ( E. f f : om -onto-> ( ~P 1o ⊔ 1o ) <-> E. f f : om -onto-> ~P 1o ) )
84	11, 82, 83	mp2b 8	. 2 |- ( E. f f : om -onto-> ( ~P 1o ⊔ 1o ) <-> E. f f : om -onto-> ~P 1o )
85	81, 84	sylnibr 683	1 |- ( A. r ( r C_ ( ~P 1o X. om ) -> ( A. p e. ~P 1o E. n e. om p r n -> E. m e. om A. q e. ~P 1o q r m ) ) -> -. E. f f : om -onto-> ( ~P 1o ⊔ 1o ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   A.wal 1395   = wceq 1397   F. wfal 1402   E.wex 1540   e. wcel 2202   A.wral 2510   E.wrex 2511   _Vcvv 2802   C_ wss 3200   (/)c0 3494   ~Pcpw 3652   class class class wbr 4088   omcom 4688   X. cxp 4723   `'ccnv 4724   Fn wfn 5321   -->wf 5322   -onto->wfo 5324   ` cfv 5326   1oc1o 6574   ⊔ cdju 7235

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-iinf 4686

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-iord 4463  df-on 4465  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-1o 6581  df-dju 7236  df-inl 7245  df-inr 7246  df-case 7282

This theorem is referenced by: (None)