Theorem elsni 3661

Description: There is only one element in a singleton. (Contributed by NM, 5-Jun-1994.)

Assertion

Ref	Expression
elsni	|- ( A e. { B } -> A = B )

Proof of Theorem elsni

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elsng 3658	. 2 |- ( A e. { B } -> ( A e. { B } <-> A = B ) )
2	1	ibi 176	1 |- ( A e. { B } -> A = B )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1373   e. wcel 2178   {csn 3643

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-ext 2189

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-v 2778  df-sn 3649

This theorem is referenced by:  elsn2g  3676  nelsn  3678  disjsn2  3706  sssnm  3808  disjxsn  4057  pwntru  4259  opth1  4298  elsuci  4468  ordtri2orexmid  4589  onsucsssucexmid  4593  sosng  4766  elrelimasn  5067  ressn  5242  funcnvsn  5338  funinsn  5342  funopdmsn  5787  fvconst  5795  fmptap  5797  fmptapd  5798  fvunsng  5801  mposnif  6062  1stconst  6330  2ndconst  6331  reldmtpos  6362  tpostpos  6373  1domsn  6939  ac6sfi  7021  onunsnss  7040  snon0  7063  snexxph  7078  elfi2  7100  supsnti  7133  djuf1olem  7181  eldju2ndl  7200  eldju2ndr  7201  difinfsnlem  7227  pw1m  7370  pw1on  7372  elreal2  7978  ax1rid  8025  ltxrlt  8173  un0addcl  9363  un0mulcl  9364  fzodisjsn  10341  elfzonlteqm1  10376  xnn0nnen  10619  fxnn0nninf  10621  seqf1og  10703  1exp  10750  hashinfuni  10959  hashennnuni  10961  hashprg  10990  zfz1isolemiso  11021  cats1un  11212  fisumss  11818  sumsnf  11835  fsumsplitsn  11836  fsum2dlemstep  11860  fisumcom2  11864  fprodssdc  12016  fprodunsn  12030  fprod2dlemstep  12048  fprodcom2fi  12052  fprodsplitsn  12059  divalgmod  12353  phi1  12656  dfphi2  12657  nnnn0modprm0  12693  exmidunben  12912  gsumress  13342  0nsg  13665  gsumfzsnfd  13796  lsssn0  14247  lspsneq0  14303  txdis1cn  14865  plyaddlem1  15334  plymullem1  15335  plycoeid3  15344  plycj  15348  pw0ss  15794  bj-nntrans  16086  bj-nnelirr  16088  pwtrufal  16136  sssneq  16141  exmidsbthrlem  16163