Theorem elsni 3640

Description: There is only one element in a singleton. (Contributed by NM, 5-Jun-1994.)

Assertion

Ref	Expression
elsni	|- ( A e. { B } -> A = B )

Proof of Theorem elsni

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elsng 3637	. 2 |- ( A e. { B } -> ( A e. { B } <-> A = B ) )
2	1	ibi 176	1 |- ( A e. { B } -> A = B )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1364   e. wcel 2167   {csn 3622

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-v 2765  df-sn 3628

This theorem is referenced by:  elsn2g  3655  nelsn  3657  disjsn2  3685  sssnm  3784  disjxsn  4031  pwntru  4232  opth1  4269  elsuci  4438  ordtri2orexmid  4559  onsucsssucexmid  4563  sosng  4736  elrelimasn  5035  ressn  5210  funcnvsn  5303  funinsn  5307  fvconst  5750  fmptap  5752  fmptapd  5753  fvunsng  5756  mposnif  6016  1stconst  6279  2ndconst  6280  reldmtpos  6311  tpostpos  6322  1domsn  6878  ac6sfi  6959  onunsnss  6978  snon0  7001  snexxph  7016  elfi2  7038  supsnti  7071  djuf1olem  7119  eldju2ndl  7138  eldju2ndr  7139  difinfsnlem  7165  pw1on  7293  elreal2  7897  ax1rid  7944  ltxrlt  8092  un0addcl  9282  un0mulcl  9283  elfzonlteqm1  10286  xnn0nnen  10529  fxnn0nninf  10531  seqf1og  10613  1exp  10660  hashinfuni  10869  hashennnuni  10871  hashprg  10900  zfz1isolemiso  10931  fisumss  11557  sumsnf  11574  fsumsplitsn  11575  fsum2dlemstep  11599  fisumcom2  11603  fprodssdc  11755  fprodunsn  11769  fprod2dlemstep  11787  fprodcom2fi  11791  fprodsplitsn  11798  divalgmod  12092  phi1  12387  dfphi2  12388  nnnn0modprm0  12424  exmidunben  12643  gsumress  13038  0nsg  13344  gsumfzsnfd  13475  lsssn0  13926  lspsneq0  13982  txdis1cn  14514  plyaddlem1  14983  plymullem1  14984  plycoeid3  14993  plycj  14997  bj-nntrans  15597  bj-nnelirr  15599  pwtrufal  15642  sssneq  15646  exmidsbthrlem  15666