Theorem elsni 3610

Description: There is only one element in a singleton. (Contributed by NM, 5-Jun-1994.)

Assertion

Ref	Expression
elsni	|- ( A e. { B } -> A = B )

Proof of Theorem elsni

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elsng 3607	. 2 |- ( A e. { B } -> ( A e. { B } <-> A = B ) )
2	1	ibi 176	1 |- ( A e. { B } -> A = B )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1353   e. wcel 2148   {csn 3592

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-ext 2159

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-v 2739  df-sn 3598

This theorem is referenced by:  elsn2g  3625  nelsn  3627  disjsn2  3655  sssnm  3754  disjxsn  4001  pwntru  4199  opth1  4236  elsuci  4403  ordtri2orexmid  4522  onsucsssucexmid  4526  sosng  4699  elrelimasn  4994  ressn  5169  funcnvsn  5261  funinsn  5265  fvconst  5704  fmptap  5706  fmptapd  5707  fvunsng  5710  mposnif  5968  1stconst  6221  2ndconst  6222  reldmtpos  6253  tpostpos  6264  1domsn  6818  ac6sfi  6897  onunsnss  6915  snon0  6934  snexxph  6948  elfi2  6970  supsnti  7003  djuf1olem  7051  eldju2ndl  7070  eldju2ndr  7071  difinfsnlem  7097  pw1on  7224  elreal2  7828  ax1rid  7875  ltxrlt  8021  un0addcl  9207  un0mulcl  9208  elfzonlteqm1  10207  fxnn0nninf  10435  1exp  10546  hashinfuni  10752  hashennnuni  10754  hashprg  10783  zfz1isolemiso  10814  fisumss  11395  sumsnf  11412  fsumsplitsn  11413  fsum2dlemstep  11437  fisumcom2  11441  fprodssdc  11593  fprodunsn  11607  fprod2dlemstep  11625  fprodcom2fi  11629  fprodsplitsn  11636  divalgmod  11926  phi1  12213  dfphi2  12214  nnnn0modprm0  12249  exmidunben  12421  0nsg  13027  txdis1cn  13671  bj-nntrans  14585  bj-nnelirr  14587  pwtrufal  14629  sssneq  14633  exmidsbthrlem  14652