Theorem elsni 3712

Description: There is only one element in a singleton. (Contributed by NM, 5-Jun-1994.)

Assertion

Ref	Expression
elsni	|- ( A e. { B } -> A = B )

Proof of Theorem elsni

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elsng 3709	. 2 |- ( A e. { B } -> ( A e. { B } <-> A = B ) )
2	1	ibi 176	1 |- ( A e. { B } -> A = B )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1398   e. wcel 2205   {csn 3694

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2216

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-v 2817  df-sn 3700

This theorem is referenced by:  elsn2g  3727  nelsn  3729  disjsn2  3757  rabsnifsb  3762  rabsnif  3763  sssnm  3863  disjxsn  4112  pwntru  4317  opth1  4357  elsuci  4529  ordtri2orexmid  4650  onsucsssucexmid  4654  sosng  4828  elrelimasn  5133  ressn  5308  funcnvsn  5406  funinsn  5410  funopdmsn  5869  fvconst  5877  fmptap  5879  fmptapd  5880  fvunsng  5883  mposnif  6155  1stconst  6430  2ndconst  6431  reldmtpos  6497  tpostpos  6508  1domsn  7081  ac6sfi  7168  elssdc  7175  onunsnss  7190  snon0  7215  snexxph  7233  elfi2  7272  supsnti  7309  djuf1olem  7357  eldju2ndl  7376  eldju2ndr  7377  difinfsnlem  7403  pw1m  7547  pw1on  7549  elreal2  8161  ax1rid  8208  ltxrlt  8355  un0addcl  9546  un0mulcl  9547  fzodisjsn  10540  elfzonlteqm1  10577  xnn0nnen  10823  fxnn0nninf  10825  seqf1og  10907  1exp  10954  hashinfuni  11165  hashennnuni  11167  hashprg  11198  zfz1isolemiso  11236  cats1un  11438  fisumss  12103  sumsnf  12120  fsumsplitsn  12121  fsum2dlemstep  12145  fisumcom2  12149  fprodssdc  12301  fprodunsn  12315  fprod2dlemstep  12333  fprodcom2fi  12337  fprodsplitsn  12344  divalgmod  12638  phi1  12941  dfphi2  12942  nnnn0modprm0  12978  exmidunben  13261  bassetsnn  13353  gsumress  13658  0nsg  13967  gsumfzsnfd  14098  gfsumsn  14107  lsssn0  14644  lspsneq0  14700  txdis1cn  15269  plyaddlem1  15738  plymullem1  15739  plycoeid3  15748  plycj  15752  pw0ss  16204  usgr1vr  16369  bj-nntrans  16847  bj-nnelirr  16849  pwtrufal  16897  sssneq  16902  exmidsbthrlem  16928