Theorem elsni 3611

Description: There is only one element in a singleton. (Contributed by NM, 5-Jun-1994.)

Assertion

Ref	Expression
elsni	|- ( A e. { B } -> A = B )

Proof of Theorem elsni

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elsng 3608	. 2 |- ( A e. { B } -> ( A e. { B } <-> A = B ) )
2	1	ibi 176	1 |- ( A e. { B } -> A = B )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1353   e. wcel 2148   {csn 3593

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-ext 2159

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-v 2740  df-sn 3599

This theorem is referenced by:  elsn2g  3626  nelsn  3628  disjsn2  3656  sssnm  3755  disjxsn  4002  pwntru  4200  opth1  4237  elsuci  4404  ordtri2orexmid  4523  onsucsssucexmid  4527  sosng  4700  elrelimasn  4995  ressn  5170  funcnvsn  5262  funinsn  5266  fvconst  5705  fmptap  5707  fmptapd  5708  fvunsng  5711  mposnif  5969  1stconst  6222  2ndconst  6223  reldmtpos  6254  tpostpos  6265  1domsn  6819  ac6sfi  6898  onunsnss  6916  snon0  6935  snexxph  6949  elfi2  6971  supsnti  7004  djuf1olem  7052  eldju2ndl  7071  eldju2ndr  7072  difinfsnlem  7098  pw1on  7225  elreal2  7829  ax1rid  7876  ltxrlt  8023  un0addcl  9209  un0mulcl  9210  elfzonlteqm1  10210  fxnn0nninf  10438  1exp  10549  hashinfuni  10757  hashennnuni  10759  hashprg  10788  zfz1isolemiso  10819  fisumss  11400  sumsnf  11417  fsumsplitsn  11418  fsum2dlemstep  11442  fisumcom2  11446  fprodssdc  11598  fprodunsn  11612  fprod2dlemstep  11630  fprodcom2fi  11634  fprodsplitsn  11641  divalgmod  11932  phi1  12219  dfphi2  12220  nnnn0modprm0  12255  exmidunben  12427  0nsg  13074  txdis1cn  13781  bj-nntrans  14706  bj-nnelirr  14708  pwtrufal  14750  sssneq  14754  exmidsbthrlem  14773