Theorem nfand 1582

Description: If in a context 𝑥 is not free in 𝜓 and 𝜒, it is not free in (𝜓 ∧ 𝜒). (Contributed by Mario Carneiro, 7-Oct-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
nfand.1	⊢ (𝜑 → Ⅎ𝑥𝜓)
nfand.2	⊢ (𝜑 → Ⅎ𝑥𝜒)

Assertion

Ref	Expression
nfand	⊢ (𝜑 → Ⅎ𝑥(𝜓 ∧ 𝜒))

Proof of Theorem nfand

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfand.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Ⅎ𝑥𝜓)
2		nfand.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Ⅎ𝑥𝜒)
3	1, 2	jca 306	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Ⅎ𝑥𝜓 ∧ Ⅎ𝑥𝜒))
4		df-nf 1475	. . . . . 6 ⊢ (Ⅎ𝑥𝜓 ↔ ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓))
5		df-nf 1475	. . . . . 6 ⊢ (Ⅎ𝑥𝜒 ↔ ∀𝑥(𝜒 → ∀𝑥𝜒))
6	4, 5	anbi12i 460	. . . . 5 ⊢ ((Ⅎ𝑥𝜓 ∧ Ⅎ𝑥𝜒) ↔ (∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓) ∧ ∀𝑥(𝜒 → ∀𝑥𝜒)))
7		19.26 1495	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥((𝜓 → ∀𝑥𝜓) ∧ (𝜒 → ∀𝑥𝜒)) ↔ (∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓) ∧ ∀𝑥(𝜒 → ∀𝑥𝜒)))
8	6, 7	bitr4i 187	. . . 4 ⊢ ((Ⅎ𝑥𝜓 ∧ Ⅎ𝑥𝜒) ↔ ∀𝑥((𝜓 → ∀𝑥𝜓) ∧ (𝜒 → ∀𝑥𝜒)))
9		anim12 344	. . . . . 6 ⊢ (((𝜓 → ∀𝑥𝜓) ∧ (𝜒 → ∀𝑥𝜒)) → ((𝜓 ∧ 𝜒) → (∀𝑥𝜓 ∧ ∀𝑥𝜒)))
10		19.26 1495	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥(𝜓 ∧ 𝜒) ↔ (∀𝑥𝜓 ∧ ∀𝑥𝜒))
11	9, 10	imbitrrdi 162	. . . . 5 ⊢ (((𝜓 → ∀𝑥𝜓) ∧ (𝜒 → ∀𝑥𝜒)) → ((𝜓 ∧ 𝜒) → ∀𝑥(𝜓 ∧ 𝜒)))
12	11	alimi 1469	. . . 4 ⊢ (∀𝑥((𝜓 → ∀𝑥𝜓) ∧ (𝜒 → ∀𝑥𝜒)) → ∀𝑥((𝜓 ∧ 𝜒) → ∀𝑥(𝜓 ∧ 𝜒)))
13	8, 12	sylbi 121	. . 3 ⊢ ((Ⅎ𝑥𝜓 ∧ Ⅎ𝑥𝜒) → ∀𝑥((𝜓 ∧ 𝜒) → ∀𝑥(𝜓 ∧ 𝜒)))
14	3, 13	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥((𝜓 ∧ 𝜒) → ∀𝑥(𝜓 ∧ 𝜒)))
15		df-nf 1475	. 2 ⊢ (Ⅎ𝑥(𝜓 ∧ 𝜒) ↔ ∀𝑥((𝜓 ∧ 𝜒) → ∀𝑥(𝜓 ∧ 𝜒)))
16	14, 15	sylibr 134	1 ⊢ (𝜑 → Ⅎ𝑥(𝜓 ∧ 𝜒))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104  ∀wal 1362  Ⅎwnf 1474

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1461  ax-gen 1463

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1475

This theorem is referenced by:  nf3and  1583  nfbid  1602  nfsbxy  1961  nfsbxyt  1962  nfeld  2355  nfrexdxy  2531  nfreudxy  2671  nfifd  3588  nfriotadxy  5886  bdsepnft  15533  strcollnft  15630