Theorem fununi 5161

Description: The union of a chain (with respect to inclusion) of functions is a function. (Contributed by set.mm contributors, 10-Aug-2004.)

Assertion

Ref	Expression
fununi	|- (A.f e. A (Fun f /\ A.g e. A (f C_ g \/ g C_ f)) -> Fun U.A)

Distinct variable group:   f,g,A

Proof of Theorem fununi

Dummy variables x y z w v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		r19.28av 2754	. . . 4 |- ((Fun f /\ A.g e. A (f C_ g \/ g C_ f)) -> A.g e. A (Fun f /\ (f C_ g \/ g C_ f)))
2	1	ralimi 2690	. . 3 |- (A.f e. A (Fun f /\ A.g e. A (f C_ g \/ g C_ f)) -> A.f e. A A.g e. A (Fun f /\ (f C_ g \/ g C_ f)))
3		ssel 3268	. . . . . . . . . . . . 13 |- (w C_ v -> (<.x, y>. e. w -> <.x, y>. e. v))
4	3	anim1d 547	. . . . . . . . . . . 12 |- (w C_ v -> ((<.x, y>. e. w /\ <.x, z>. e. v) -> (<.x, y>. e. v /\ <.x, z>. e. v)))
5		dffun4 5122	. . . . . . . . . . . . 13 |- (Fun v <-> A.xA.yA.z((<.x, y>. e. v /\ <.x, z>. e. v) -> y = z))
6		sp 1747	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (A.z((<.x, y>. e. v /\ <.x, z>. e. v) -> y = z) -> ((<.x, y>. e. v /\ <.x, z>. e. v) -> y = z))
7	6	sps 1754	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (A.yA.z((<.x, y>. e. v /\ <.x, z>. e. v) -> y = z) -> ((<.x, y>. e. v /\ <.x, z>. e. v) -> y = z))
8	7	sps 1754	. . . . . . . . . . . . 13 |- (A.xA.yA.z((<.x, y>. e. v /\ <.x, z>. e. v) -> y = z) -> ((<.x, y>. e. v /\ <.x, z>. e. v) -> y = z))
9	5, 8	sylbi 187	. . . . . . . . . . . 12 |- (Fun v -> ((<.x, y>. e. v /\ <.x, z>. e. v) -> y = z))
10	4, 9	syl9r 67	. . . . . . . . . . 11 |- (Fun v -> (w C_ v -> ((<.x, y>. e. w /\ <.x, z>. e. v) -> y = z)))
11	10	adantl 452	. . . . . . . . . 10 |- ((Fun w /\ Fun v) -> (w C_ v -> ((<.x, y>. e. w /\ <.x, z>. e. v) -> y = z)))
12		ssel 3268	. . . . . . . . . . . . 13 |- (v C_ w -> (<.x, z>. e. v -> <.x, z>. e. w))
13	12	anim2d 548	. . . . . . . . . . . 12 |- (v C_ w -> ((<.x, y>. e. w /\ <.x, z>. e. v) -> (<.x, y>. e. w /\ <.x, z>. e. w)))
14		dffun4 5122	. . . . . . . . . . . . 13 |- (Fun w <-> A.xA.yA.z((<.x, y>. e. w /\ <.x, z>. e. w) -> y = z))
15		sp 1747	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (A.z((<.x, y>. e. w /\ <.x, z>. e. w) -> y = z) -> ((<.x, y>. e. w /\ <.x, z>. e. w) -> y = z))
16	15	sps 1754	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (A.yA.z((<.x, y>. e. w /\ <.x, z>. e. w) -> y = z) -> ((<.x, y>. e. w /\ <.x, z>. e. w) -> y = z))
17	16	sps 1754	. . . . . . . . . . . . 13 |- (A.xA.yA.z((<.x, y>. e. w /\ <.x, z>. e. w) -> y = z) -> ((<.x, y>. e. w /\ <.x, z>. e. w) -> y = z))
18	14, 17	sylbi 187	. . . . . . . . . . . 12 |- (Fun w -> ((<.x, y>. e. w /\ <.x, z>. e. w) -> y = z))
19	13, 18	syl9r 67	. . . . . . . . . . 11 |- (Fun w -> (v C_ w -> ((<.x, y>. e. w /\ <.x, z>. e. v) -> y = z)))
20	19	adantr 451	. . . . . . . . . 10 |- ((Fun w /\ Fun v) -> (v C_ w -> ((<.x, y>. e. w /\ <.x, z>. e. v) -> y = z)))
21	11, 20	jaod 369	. . . . . . . . 9 |- ((Fun w /\ Fun v) -> ((w C_ v \/ v C_ w) -> ((<.x, y>. e. w /\ <.x, z>. e. v) -> y = z)))
22	21	imp 418	. . . . . . . 8 |- (((Fun w /\ Fun v) /\ (w C_ v \/ v C_ w)) -> ((<.x, y>. e. w /\ <.x, z>. e. v) -> y = z))
23	22	ralimi 2690	. . . . . . 7 |- (A.v e. A ((Fun w /\ Fun v) /\ (w C_ v \/ v C_ w)) -> A.v e. A ((<.x, y>. e. w /\ <.x, z>. e. v) -> y = z))
24	23	ralimi 2690	. . . . . 6 |- (A.w e. A A.v e. A ((Fun w /\ Fun v) /\ (w C_ v \/ v C_ w)) -> A.w e. A A.v e. A ((<.x, y>. e. w /\ <.x, z>. e. v) -> y = z))
25		funeq 5128	. . . . . . . . . 10 |- (f = w -> (Fun f <-> Fun w))
26		sseq1 3293	. . . . . . . . . . 11 |- (f = w -> (f C_ g <-> w C_ g))
27		sseq2 3294	. . . . . . . . . . 11 |- (f = w -> (g C_ f <-> g C_ w))
28	26, 27	orbi12d 690	. . . . . . . . . 10 |- (f = w -> ((f C_ g \/ g C_ f) <-> (w C_ g \/ g C_ w)))
29	25, 28	anbi12d 691	. . . . . . . . 9 |- (f = w -> ((Fun f /\ (f C_ g \/ g C_ f)) <-> (Fun w /\ (w C_ g \/ g C_ w))))
30		sseq2 3294	. . . . . . . . . . 11 |- (g = v -> (w C_ g <-> w C_ v))
31		sseq1 3293	. . . . . . . . . . 11 |- (g = v -> (g C_ w <-> v C_ w))
32	30, 31	orbi12d 690	. . . . . . . . . 10 |- (g = v -> ((w C_ g \/ g C_ w) <-> (w C_ v \/ v C_ w)))
33	32	anbi2d 684	. . . . . . . . 9 |- (g = v -> ((Fun w /\ (w C_ g \/ g C_ w)) <-> (Fun w /\ (w C_ v \/ v C_ w))))
34	29, 33	cbvral2v 2844	. . . . . . . 8 |- (A.f e. A A.g e. A (Fun f /\ (f C_ g \/ g C_ f)) <-> A.w e. A A.v e. A (Fun w /\ (w C_ v \/ v C_ w)))
35		ralcom 2772	. . . . . . . . 9 |- (A.f e. A A.g e. A (Fun f /\ (f C_ g \/ g C_ f)) <-> A.g e. A A.f e. A (Fun f /\ (f C_ g \/ g C_ f)))
36		orcom 376	. . . . . . . . . . . 12 |- ((f C_ g \/ g C_ f) <-> (g C_ f \/ f C_ g))
37		sseq1 3293	. . . . . . . . . . . . 13 |- (g = w -> (g C_ f <-> w C_ f))
38		sseq2 3294	. . . . . . . . . . . . 13 |- (g = w -> (f C_ g <-> f C_ w))
39	37, 38	orbi12d 690	. . . . . . . . . . . 12 |- (g = w -> ((g C_ f \/ f C_ g) <-> (w C_ f \/ f C_ w)))
40	36, 39	syl5bb 248	. . . . . . . . . . 11 |- (g = w -> ((f C_ g \/ g C_ f) <-> (w C_ f \/ f C_ w)))
41	40	anbi2d 684	. . . . . . . . . 10 |- (g = w -> ((Fun f /\ (f C_ g \/ g C_ f)) <-> (Fun f /\ (w C_ f \/ f C_ w))))
42		funeq 5128	. . . . . . . . . . 11 |- (f = v -> (Fun f <-> Fun v))
43		sseq2 3294	. . . . . . . . . . . 12 |- (f = v -> (w C_ f <-> w C_ v))
44		sseq1 3293	. . . . . . . . . . . 12 |- (f = v -> (f C_ w <-> v C_ w))
45	43, 44	orbi12d 690	. . . . . . . . . . 11 |- (f = v -> ((w C_ f \/ f C_ w) <-> (w C_ v \/ v C_ w)))
46	42, 45	anbi12d 691	. . . . . . . . . 10 |- (f = v -> ((Fun f /\ (w C_ f \/ f C_ w)) <-> (Fun v /\ (w C_ v \/ v C_ w))))
47	41, 46	cbvral2v 2844	. . . . . . . . 9 |- (A.g e. A A.f e. A (Fun f /\ (f C_ g \/ g C_ f)) <-> A.w e. A A.v e. A (Fun v /\ (w C_ v \/ v C_ w)))
48	35, 47	bitri 240	. . . . . . . 8 |- (A.f e. A A.g e. A (Fun f /\ (f C_ g \/ g C_ f)) <-> A.w e. A A.v e. A (Fun v /\ (w C_ v \/ v C_ w)))
49	34, 48	anbi12i 678	. . . . . . 7 |- ((A.f e. A A.g e. A (Fun f /\ (f C_ g \/ g C_ f)) /\ A.f e. A A.g e. A (Fun f /\ (f C_ g \/ g C_ f))) <-> (A.w e. A A.v e. A (Fun w /\ (w C_ v \/ v C_ w)) /\ A.w e. A A.v e. A (Fun v /\ (w C_ v \/ v C_ w))))
50		anidm 625	. . . . . . 7 |- ((A.f e. A A.g e. A (Fun f /\ (f C_ g \/ g C_ f)) /\ A.f e. A A.g e. A (Fun f /\ (f C_ g \/ g C_ f))) <-> A.f e. A A.g e. A (Fun f /\ (f C_ g \/ g C_ f)))
51		anandir 802	. . . . . . . . 9 |- (((Fun w /\ Fun v) /\ (w C_ v \/ v C_ w)) <-> ((Fun w /\ (w C_ v \/ v C_ w)) /\ (Fun v /\ (w C_ v \/ v C_ w))))
52	51	2ralbii 2641	. . . . . . . 8 |- (A.w e. A A.v e. A ((Fun w /\ Fun v) /\ (w C_ v \/ v C_ w)) <-> A.w e. A A.v e. A ((Fun w /\ (w C_ v \/ v C_ w)) /\ (Fun v /\ (w C_ v \/ v C_ w))))
53		r19.26-2 2748	. . . . . . . 8 |- (A.w e. A A.v e. A ((Fun w /\ (w C_ v \/ v C_ w)) /\ (Fun v /\ (w C_ v \/ v C_ w))) <-> (A.w e. A A.v e. A (Fun w /\ (w C_ v \/ v C_ w)) /\ A.w e. A A.v e. A (Fun v /\ (w C_ v \/ v C_ w))))
54	52, 53	bitr2i 241	. . . . . . 7 |- ((A.w e. A A.v e. A (Fun w /\ (w C_ v \/ v C_ w)) /\ A.w e. A A.v e. A (Fun v /\ (w C_ v \/ v C_ w))) <-> A.w e. A A.v e. A ((Fun w /\ Fun v) /\ (w C_ v \/ v C_ w)))
55	49, 50, 54	3bitr3i 266	. . . . . 6 |- (A.f e. A A.g e. A (Fun f /\ (f C_ g \/ g C_ f)) <-> A.w e. A A.v e. A ((Fun w /\ Fun v) /\ (w C_ v \/ v C_ w)))
56		eluni 3895	. . . . . . . . . 10 |- (<.x, y>. e. U.A <-> E.w(<.x, y>. e. w /\ w e. A))
57		eluni 3895	. . . . . . . . . 10 |- (<.x, z>. e. U.A <-> E.v(<.x, z>. e. v /\ v e. A))
58	56, 57	anbi12i 678	. . . . . . . . 9 |- ((<.x, y>. e. U.A /\ <.x, z>. e. U.A) <-> (E.w(<.x, y>. e. w /\ w e. A) /\ E.v(<.x, z>. e. v /\ v e. A)))
59		eeanv 1913	. . . . . . . . 9 |- (E.wE.v((<.x, y>. e. w /\ w e. A) /\ (<.x, z>. e. v /\ v e. A)) <-> (E.w(<.x, y>. e. w /\ w e. A) /\ E.v(<.x, z>. e. v /\ v e. A)))
60		an4 797	. . . . . . . . . . 11 |- (((<.x, y>. e. w /\ w e. A) /\ (<.x, z>. e. v /\ v e. A)) <-> ((<.x, y>. e. w /\ <.x, z>. e. v) /\ (w e. A /\ v e. A)))
61		ancom 437	. . . . . . . . . . 11 |- (((<.x, y>. e. w /\ <.x, z>. e. v) /\ (w e. A /\ v e. A)) <-> ((w e. A /\ v e. A) /\ (<.x, y>. e. w /\ <.x, z>. e. v)))
62	60, 61	bitri 240	. . . . . . . . . 10 |- (((<.x, y>. e. w /\ w e. A) /\ (<.x, z>. e. v /\ v e. A)) <-> ((w e. A /\ v e. A) /\ (<.x, y>. e. w /\ <.x, z>. e. v)))
63	62	2exbii 1583	. . . . . . . . 9 |- (E.wE.v((<.x, y>. e. w /\ w e. A) /\ (<.x, z>. e. v /\ v e. A)) <-> E.wE.v((w e. A /\ v e. A) /\ (<.x, y>. e. w /\ <.x, z>. e. v)))
64	58, 59, 63	3bitr2i 264	. . . . . . . 8 |- ((<.x, y>. e. U.A /\ <.x, z>. e. U.A) <-> E.wE.v((w e. A /\ v e. A) /\ (<.x, y>. e. w /\ <.x, z>. e. v)))
65	64	imbi1i 315	. . . . . . 7 |- (((<.x, y>. e. U.A /\ <.x, z>. e. U.A) -> y = z) <-> (E.wE.v((w e. A /\ v e. A) /\ (<.x, y>. e. w /\ <.x, z>. e. v)) -> y = z))
66		19.23v 1891	. . . . . . . . 9 |- (A.v(((w e. A /\ v e. A) /\ (<.x, y>. e. w /\ <.x, z>. e. v)) -> y = z) <-> (E.v((w e. A /\ v e. A) /\ (<.x, y>. e. w /\ <.x, z>. e. v)) -> y = z))
67	66	albii 1566	. . . . . . . 8 |- (A.wA.v(((w e. A /\ v e. A) /\ (<.x, y>. e. w /\ <.x, z>. e. v)) -> y = z) <-> A.w(E.v((w e. A /\ v e. A) /\ (<.x, y>. e. w /\ <.x, z>. e. v)) -> y = z))
68		impexp 433	. . . . . . . . . 10 |- ((((w e. A /\ v e. A) /\ (<.x, y>. e. w /\ <.x, z>. e. v)) -> y = z) <-> ((w e. A /\ v e. A) -> ((<.x, y>. e. w /\ <.x, z>. e. v) -> y = z)))
69	68	2albii 1567	. . . . . . . . 9 |- (A.wA.v(((w e. A /\ v e. A) /\ (<.x, y>. e. w /\ <.x, z>. e. v)) -> y = z) <-> A.wA.v((w e. A /\ v e. A) -> ((<.x, y>. e. w /\ <.x, z>. e. v) -> y = z)))
70		r2al 2652	. . . . . . . . 9 |- (A.w e. A A.v e. A ((<.x, y>. e. w /\ <.x, z>. e. v) -> y = z) <-> A.wA.v((w e. A /\ v e. A) -> ((<.x, y>. e. w /\ <.x, z>. e. v) -> y = z)))
71	69, 70	bitr4i 243	. . . . . . . 8 |- (A.wA.v(((w e. A /\ v e. A) /\ (<.x, y>. e. w /\ <.x, z>. e. v)) -> y = z) <-> A.w e. A A.v e. A ((<.x, y>. e. w /\ <.x, z>. e. v) -> y = z))
72		19.23v 1891	. . . . . . . 8 |- (A.w(E.v((w e. A /\ v e. A) /\ (<.x, y>. e. w /\ <.x, z>. e. v)) -> y = z) <-> (E.wE.v((w e. A /\ v e. A) /\ (<.x, y>. e. w /\ <.x, z>. e. v)) -> y = z))
73	67, 71, 72	3bitr3ri 267	. . . . . . 7 |- ((E.wE.v((w e. A /\ v e. A) /\ (<.x, y>. e. w /\ <.x, z>. e. v)) -> y = z) <-> A.w e. A A.v e. A ((<.x, y>. e. w /\ <.x, z>. e. v) -> y = z))
74	65, 73	bitri 240	. . . . . 6 |- (((<.x, y>. e. U.A /\ <.x, z>. e. U.A) -> y = z) <-> A.w e. A A.v e. A ((<.x, y>. e. w /\ <.x, z>. e. v) -> y = z))
75	24, 55, 74	3imtr4i 257	. . . . 5 |- (A.f e. A A.g e. A (Fun f /\ (f C_ g \/ g C_ f)) -> ((<.x, y>. e. U.A /\ <.x, z>. e. U.A) -> y = z))
76	75	alrimiv 1631	. . . 4 |- (A.f e. A A.g e. A (Fun f /\ (f C_ g \/ g C_ f)) -> A.z((<.x, y>. e. U.A /\ <.x, z>. e. U.A) -> y = z))
77	76	alrimivv 1632	. . 3 |- (A.f e. A A.g e. A (Fun f /\ (f C_ g \/ g C_ f)) -> A.xA.yA.z((<.x, y>. e. U.A /\ <.x, z>. e. U.A) -> y = z))
78	2, 77	syl 15	. 2 |- (A.f e. A (Fun f /\ A.g e. A (f C_ g \/ g C_ f)) -> A.xA.yA.z((<.x, y>. e. U.A /\ <.x, z>. e. U.A) -> y = z))
79		dffun4 5122	. 2 |- (Fun U.A <-> A.xA.yA.z((<.x, y>. e. U.A /\ <.x, z>. e. U.A) -> y = z))
80	78, 79	sylibr 203	1 |- (A.f e. A (Fun f /\ A.g e. A (f C_ g \/ g C_ f)) -> Fun U.A)

Syntax hints:   -> wi 4   \/ wo 357   /\ wa 358  A.wal 1540  E.wex 1541   e. wcel 1710  A.wral 2615   C_ wss 3258  U.cuni 3892  <.cop 4562  Fun wfun 4776

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4079  ax-xp 4080  ax-cnv 4081  ax-1c 4082  ax-sset 4083  ax-si 4084  ax-ins2 4085  ax-ins3 4086  ax-typlower 4087  ax-sn 4088

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2479  df-ne 2519  df-ral 2620  df-rex 2621  df-reu 2622  df-rmo 2623  df-rab 2624  df-v 2862  df-sbc 3048  df-nin 3212  df-compl 3213  df-in 3214  df-un 3215  df-dif 3216  df-symdif 3217  df-ss 3260  df-pss 3262  df-nul 3552  df-if 3664  df-pw 3725  df-sn 3742  df-pr 3743  df-uni 3893  df-int 3928  df-opk 4059  df-1c 4137  df-pw1 4138  df-uni1 4139  df-xpk 4186  df-cnvk 4187  df-ins2k 4188  df-ins3k 4189  df-imak 4190  df-cok 4191  df-p6 4192  df-sik 4193  df-ssetk 4194  df-imagek 4195  df-idk 4196  df-iota 4340  df-0c 4378  df-addc 4379  df-nnc 4380  df-fin 4381  df-lefin 4441  df-ltfin 4442  df-ncfin 4443  df-tfin 4444  df-evenfin 4445  df-oddfin 4446  df-sfin 4447  df-spfin 4448  df-phi 4566  df-op 4567  df-proj1 4568  df-proj2 4569  df-opab 4624  df-br 4641  df-co 4727  df-id 4768  df-cnv 4786  df-fun 4790

This theorem is referenced by:  funcnvuni  5162  fun11uni  5163