Theorem fununi 5161

Description: The union of a chain (with respect to inclusion) of functions is a function. (Contributed by set.mm contributors, 10-Aug-2004.)

Assertion

Ref	Expression
fununi	⊢ (∀f ∈ A (Fun f ∧ ∀g ∈ A (f ⊆ g ∨ g ⊆ f)) → Fun ∪A)

Distinct variable group:   f,g,A

Proof of Theorem fununi

Dummy variables x y z w v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		r19.28av 2754	. . . 4 ⊢ ((Fun f ∧ ∀g ∈ A (f ⊆ g ∨ g ⊆ f)) → ∀g ∈ A (Fun f ∧ (f ⊆ g ∨ g ⊆ f)))
2	1	ralimi 2690	. . 3 ⊢ (∀f ∈ A (Fun f ∧ ∀g ∈ A (f ⊆ g ∨ g ⊆ f)) → ∀f ∈ A ∀g ∈ A (Fun f ∧ (f ⊆ g ∨ g ⊆ f)))
3		ssel 3268	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (w ⊆ v → (⟨x, y⟩ ∈ w → ⟨x, y⟩ ∈ v))
4	3	anim1d 547	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (w ⊆ v → ((⟨x, y⟩ ∈ w ∧ ⟨x, z⟩ ∈ v) → (⟨x, y⟩ ∈ v ∧ ⟨x, z⟩ ∈ v)))
5		dffun4 5122	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Fun v ↔ ∀x∀y∀z((⟨x, y⟩ ∈ v ∧ ⟨x, z⟩ ∈ v) → y = z))
6		sp 1747	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∀z((⟨x, y⟩ ∈ v ∧ ⟨x, z⟩ ∈ v) → y = z) → ((⟨x, y⟩ ∈ v ∧ ⟨x, z⟩ ∈ v) → y = z))
7	6	sps 1754	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∀y∀z((⟨x, y⟩ ∈ v ∧ ⟨x, z⟩ ∈ v) → y = z) → ((⟨x, y⟩ ∈ v ∧ ⟨x, z⟩ ∈ v) → y = z))
8	7	sps 1754	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∀x∀y∀z((⟨x, y⟩ ∈ v ∧ ⟨x, z⟩ ∈ v) → y = z) → ((⟨x, y⟩ ∈ v ∧ ⟨x, z⟩ ∈ v) → y = z))
9	5, 8	sylbi 187	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Fun v → ((⟨x, y⟩ ∈ v ∧ ⟨x, z⟩ ∈ v) → y = z))
10	4, 9	syl9r 67	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Fun v → (w ⊆ v → ((⟨x, y⟩ ∈ w ∧ ⟨x, z⟩ ∈ v) → y = z)))
11	10	adantl 452	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((Fun w ∧ Fun v) → (w ⊆ v → ((⟨x, y⟩ ∈ w ∧ ⟨x, z⟩ ∈ v) → y = z)))
12		ssel 3268	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (v ⊆ w → (⟨x, z⟩ ∈ v → ⟨x, z⟩ ∈ w))
13	12	anim2d 548	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (v ⊆ w → ((⟨x, y⟩ ∈ w ∧ ⟨x, z⟩ ∈ v) → (⟨x, y⟩ ∈ w ∧ ⟨x, z⟩ ∈ w)))
14		dffun4 5122	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Fun w ↔ ∀x∀y∀z((⟨x, y⟩ ∈ w ∧ ⟨x, z⟩ ∈ w) → y = z))
15		sp 1747	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∀z((⟨x, y⟩ ∈ w ∧ ⟨x, z⟩ ∈ w) → y = z) → ((⟨x, y⟩ ∈ w ∧ ⟨x, z⟩ ∈ w) → y = z))
16	15	sps 1754	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∀y∀z((⟨x, y⟩ ∈ w ∧ ⟨x, z⟩ ∈ w) → y = z) → ((⟨x, y⟩ ∈ w ∧ ⟨x, z⟩ ∈ w) → y = z))
17	16	sps 1754	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∀x∀y∀z((⟨x, y⟩ ∈ w ∧ ⟨x, z⟩ ∈ w) → y = z) → ((⟨x, y⟩ ∈ w ∧ ⟨x, z⟩ ∈ w) → y = z))
18	14, 17	sylbi 187	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Fun w → ((⟨x, y⟩ ∈ w ∧ ⟨x, z⟩ ∈ w) → y = z))
19	13, 18	syl9r 67	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Fun w → (v ⊆ w → ((⟨x, y⟩ ∈ w ∧ ⟨x, z⟩ ∈ v) → y = z)))
20	19	adantr 451	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((Fun w ∧ Fun v) → (v ⊆ w → ((⟨x, y⟩ ∈ w ∧ ⟨x, z⟩ ∈ v) → y = z)))
21	11, 20	jaod 369	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Fun w ∧ Fun v) → ((w ⊆ v ∨ v ⊆ w) → ((⟨x, y⟩ ∈ w ∧ ⟨x, z⟩ ∈ v) → y = z)))
22	21	imp 418	. . . . . . . 8 ⊢ (((Fun w ∧ Fun v) ∧ (w ⊆ v ∨ v ⊆ w)) → ((⟨x, y⟩ ∈ w ∧ ⟨x, z⟩ ∈ v) → y = z))
23	22	ralimi 2690	. . . . . . 7 ⊢ (∀v ∈ A ((Fun w ∧ Fun v) ∧ (w ⊆ v ∨ v ⊆ w)) → ∀v ∈ A ((⟨x, y⟩ ∈ w ∧ ⟨x, z⟩ ∈ v) → y = z))
24	23	ralimi 2690	. . . . . 6 ⊢ (∀w ∈ A ∀v ∈ A ((Fun w ∧ Fun v) ∧ (w ⊆ v ∨ v ⊆ w)) → ∀w ∈ A ∀v ∈ A ((⟨x, y⟩ ∈ w ∧ ⟨x, z⟩ ∈ v) → y = z))
25		funeq 5128	. . . . . . . . . 10 ⊢ (f = w → (Fun f ↔ Fun w))
26		sseq1 3293	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (f = w → (f ⊆ g ↔ w ⊆ g))
27		sseq2 3294	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (f = w → (g ⊆ f ↔ g ⊆ w))
28	26, 27	orbi12d 690	. . . . . . . . . 10 ⊢ (f = w → ((f ⊆ g ∨ g ⊆ f) ↔ (w ⊆ g ∨ g ⊆ w)))
29	25, 28	anbi12d 691	. . . . . . . . 9 ⊢ (f = w → ((Fun f ∧ (f ⊆ g ∨ g ⊆ f)) ↔ (Fun w ∧ (w ⊆ g ∨ g ⊆ w))))
30		sseq2 3294	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (g = v → (w ⊆ g ↔ w ⊆ v))
31		sseq1 3293	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (g = v → (g ⊆ w ↔ v ⊆ w))
32	30, 31	orbi12d 690	. . . . . . . . . 10 ⊢ (g = v → ((w ⊆ g ∨ g ⊆ w) ↔ (w ⊆ v ∨ v ⊆ w)))
33	32	anbi2d 684	. . . . . . . . 9 ⊢ (g = v → ((Fun w ∧ (w ⊆ g ∨ g ⊆ w)) ↔ (Fun w ∧ (w ⊆ v ∨ v ⊆ w))))
34	29, 33	cbvral2v 2844	. . . . . . . 8 ⊢ (∀f ∈ A ∀g ∈ A (Fun f ∧ (f ⊆ g ∨ g ⊆ f)) ↔ ∀w ∈ A ∀v ∈ A (Fun w ∧ (w ⊆ v ∨ v ⊆ w)))
35		ralcom 2772	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀f ∈ A ∀g ∈ A (Fun f ∧ (f ⊆ g ∨ g ⊆ f)) ↔ ∀g ∈ A ∀f ∈ A (Fun f ∧ (f ⊆ g ∨ g ⊆ f)))
36		orcom 376	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((f ⊆ g ∨ g ⊆ f) ↔ (g ⊆ f ∨ f ⊆ g))
37		sseq1 3293	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (g = w → (g ⊆ f ↔ w ⊆ f))
38		sseq2 3294	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (g = w → (f ⊆ g ↔ f ⊆ w))
39	37, 38	orbi12d 690	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (g = w → ((g ⊆ f ∨ f ⊆ g) ↔ (w ⊆ f ∨ f ⊆ w)))
40	36, 39	syl5bb 248	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (g = w → ((f ⊆ g ∨ g ⊆ f) ↔ (w ⊆ f ∨ f ⊆ w)))
41	40	anbi2d 684	. . . . . . . . . 10 ⊢ (g = w → ((Fun f ∧ (f ⊆ g ∨ g ⊆ f)) ↔ (Fun f ∧ (w ⊆ f ∨ f ⊆ w))))
42		funeq 5128	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (f = v → (Fun f ↔ Fun v))
43		sseq2 3294	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (f = v → (w ⊆ f ↔ w ⊆ v))
44		sseq1 3293	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (f = v → (f ⊆ w ↔ v ⊆ w))
45	43, 44	orbi12d 690	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (f = v → ((w ⊆ f ∨ f ⊆ w) ↔ (w ⊆ v ∨ v ⊆ w)))
46	42, 45	anbi12d 691	. . . . . . . . . 10 ⊢ (f = v → ((Fun f ∧ (w ⊆ f ∨ f ⊆ w)) ↔ (Fun v ∧ (w ⊆ v ∨ v ⊆ w))))
47	41, 46	cbvral2v 2844	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀g ∈ A ∀f ∈ A (Fun f ∧ (f ⊆ g ∨ g ⊆ f)) ↔ ∀w ∈ A ∀v ∈ A (Fun v ∧ (w ⊆ v ∨ v ⊆ w)))
48	35, 47	bitri 240	. . . . . . . 8 ⊢ (∀f ∈ A ∀g ∈ A (Fun f ∧ (f ⊆ g ∨ g ⊆ f)) ↔ ∀w ∈ A ∀v ∈ A (Fun v ∧ (w ⊆ v ∨ v ⊆ w)))
49	34, 48	anbi12i 678	. . . . . . 7 ⊢ ((∀f ∈ A ∀g ∈ A (Fun f ∧ (f ⊆ g ∨ g ⊆ f)) ∧ ∀f ∈ A ∀g ∈ A (Fun f ∧ (f ⊆ g ∨ g ⊆ f))) ↔ (∀w ∈ A ∀v ∈ A (Fun w ∧ (w ⊆ v ∨ v ⊆ w)) ∧ ∀w ∈ A ∀v ∈ A (Fun v ∧ (w ⊆ v ∨ v ⊆ w))))
50		anidm 625	. . . . . . 7 ⊢ ((∀f ∈ A ∀g ∈ A (Fun f ∧ (f ⊆ g ∨ g ⊆ f)) ∧ ∀f ∈ A ∀g ∈ A (Fun f ∧ (f ⊆ g ∨ g ⊆ f))) ↔ ∀f ∈ A ∀g ∈ A (Fun f ∧ (f ⊆ g ∨ g ⊆ f)))
51		anandir 802	. . . . . . . . 9 ⊢ (((Fun w ∧ Fun v) ∧ (w ⊆ v ∨ v ⊆ w)) ↔ ((Fun w ∧ (w ⊆ v ∨ v ⊆ w)) ∧ (Fun v ∧ (w ⊆ v ∨ v ⊆ w))))
52	51	2ralbii 2641	. . . . . . . 8 ⊢ (∀w ∈ A ∀v ∈ A ((Fun w ∧ Fun v) ∧ (w ⊆ v ∨ v ⊆ w)) ↔ ∀w ∈ A ∀v ∈ A ((Fun w ∧ (w ⊆ v ∨ v ⊆ w)) ∧ (Fun v ∧ (w ⊆ v ∨ v ⊆ w))))
53		r19.26-2 2748	. . . . . . . 8 ⊢ (∀w ∈ A ∀v ∈ A ((Fun w ∧ (w ⊆ v ∨ v ⊆ w)) ∧ (Fun v ∧ (w ⊆ v ∨ v ⊆ w))) ↔ (∀w ∈ A ∀v ∈ A (Fun w ∧ (w ⊆ v ∨ v ⊆ w)) ∧ ∀w ∈ A ∀v ∈ A (Fun v ∧ (w ⊆ v ∨ v ⊆ w))))
54	52, 53	bitr2i 241	. . . . . . 7 ⊢ ((∀w ∈ A ∀v ∈ A (Fun w ∧ (w ⊆ v ∨ v ⊆ w)) ∧ ∀w ∈ A ∀v ∈ A (Fun v ∧ (w ⊆ v ∨ v ⊆ w))) ↔ ∀w ∈ A ∀v ∈ A ((Fun w ∧ Fun v) ∧ (w ⊆ v ∨ v ⊆ w)))
55	49, 50, 54	3bitr3i 266	. . . . . 6 ⊢ (∀f ∈ A ∀g ∈ A (Fun f ∧ (f ⊆ g ∨ g ⊆ f)) ↔ ∀w ∈ A ∀v ∈ A ((Fun w ∧ Fun v) ∧ (w ⊆ v ∨ v ⊆ w)))
56		eluni 3895	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⟨x, y⟩ ∈ ∪A ↔ ∃w(⟨x, y⟩ ∈ w ∧ w ∈ A))
57		eluni 3895	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⟨x, z⟩ ∈ ∪A ↔ ∃v(⟨x, z⟩ ∈ v ∧ v ∈ A))
58	56, 57	anbi12i 678	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⟨x, y⟩ ∈ ∪A ∧ ⟨x, z⟩ ∈ ∪A) ↔ (∃w(⟨x, y⟩ ∈ w ∧ w ∈ A) ∧ ∃v(⟨x, z⟩ ∈ v ∧ v ∈ A)))
59		eeanv 1913	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃w∃v((⟨x, y⟩ ∈ w ∧ w ∈ A) ∧ (⟨x, z⟩ ∈ v ∧ v ∈ A)) ↔ (∃w(⟨x, y⟩ ∈ w ∧ w ∈ A) ∧ ∃v(⟨x, z⟩ ∈ v ∧ v ∈ A)))
60		an4 797	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((⟨x, y⟩ ∈ w ∧ w ∈ A) ∧ (⟨x, z⟩ ∈ v ∧ v ∈ A)) ↔ ((⟨x, y⟩ ∈ w ∧ ⟨x, z⟩ ∈ v) ∧ (w ∈ A ∧ v ∈ A)))
61		ancom 437	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((⟨x, y⟩ ∈ w ∧ ⟨x, z⟩ ∈ v) ∧ (w ∈ A ∧ v ∈ A)) ↔ ((w ∈ A ∧ v ∈ A) ∧ (⟨x, y⟩ ∈ w ∧ ⟨x, z⟩ ∈ v)))
62	60, 61	bitri 240	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((⟨x, y⟩ ∈ w ∧ w ∈ A) ∧ (⟨x, z⟩ ∈ v ∧ v ∈ A)) ↔ ((w ∈ A ∧ v ∈ A) ∧ (⟨x, y⟩ ∈ w ∧ ⟨x, z⟩ ∈ v)))
63	62	2exbii 1583	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃w∃v((⟨x, y⟩ ∈ w ∧ w ∈ A) ∧ (⟨x, z⟩ ∈ v ∧ v ∈ A)) ↔ ∃w∃v((w ∈ A ∧ v ∈ A) ∧ (⟨x, y⟩ ∈ w ∧ ⟨x, z⟩ ∈ v)))
64	58, 59, 63	3bitr2i 264	. . . . . . . 8 ⊢ ((⟨x, y⟩ ∈ ∪A ∧ ⟨x, z⟩ ∈ ∪A) ↔ ∃w∃v((w ∈ A ∧ v ∈ A) ∧ (⟨x, y⟩ ∈ w ∧ ⟨x, z⟩ ∈ v)))
65	64	imbi1i 315	. . . . . . 7 ⊢ (((⟨x, y⟩ ∈ ∪A ∧ ⟨x, z⟩ ∈ ∪A) → y = z) ↔ (∃w∃v((w ∈ A ∧ v ∈ A) ∧ (⟨x, y⟩ ∈ w ∧ ⟨x, z⟩ ∈ v)) → y = z))
66		19.23v 1891	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀v(((w ∈ A ∧ v ∈ A) ∧ (⟨x, y⟩ ∈ w ∧ ⟨x, z⟩ ∈ v)) → y = z) ↔ (∃v((w ∈ A ∧ v ∈ A) ∧ (⟨x, y⟩ ∈ w ∧ ⟨x, z⟩ ∈ v)) → y = z))
67	66	albii 1566	. . . . . . . 8 ⊢ (∀w∀v(((w ∈ A ∧ v ∈ A) ∧ (⟨x, y⟩ ∈ w ∧ ⟨x, z⟩ ∈ v)) → y = z) ↔ ∀w(∃v((w ∈ A ∧ v ∈ A) ∧ (⟨x, y⟩ ∈ w ∧ ⟨x, z⟩ ∈ v)) → y = z))
68		impexp 433	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((w ∈ A ∧ v ∈ A) ∧ (⟨x, y⟩ ∈ w ∧ ⟨x, z⟩ ∈ v)) → y = z) ↔ ((w ∈ A ∧ v ∈ A) → ((⟨x, y⟩ ∈ w ∧ ⟨x, z⟩ ∈ v) → y = z)))
69	68	2albii 1567	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀w∀v(((w ∈ A ∧ v ∈ A) ∧ (⟨x, y⟩ ∈ w ∧ ⟨x, z⟩ ∈ v)) → y = z) ↔ ∀w∀v((w ∈ A ∧ v ∈ A) → ((⟨x, y⟩ ∈ w ∧ ⟨x, z⟩ ∈ v) → y = z)))
70		r2al 2652	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀w ∈ A ∀v ∈ A ((⟨x, y⟩ ∈ w ∧ ⟨x, z⟩ ∈ v) → y = z) ↔ ∀w∀v((w ∈ A ∧ v ∈ A) → ((⟨x, y⟩ ∈ w ∧ ⟨x, z⟩ ∈ v) → y = z)))
71	69, 70	bitr4i 243	. . . . . . . 8 ⊢ (∀w∀v(((w ∈ A ∧ v ∈ A) ∧ (⟨x, y⟩ ∈ w ∧ ⟨x, z⟩ ∈ v)) → y = z) ↔ ∀w ∈ A ∀v ∈ A ((⟨x, y⟩ ∈ w ∧ ⟨x, z⟩ ∈ v) → y = z))
72		19.23v 1891	. . . . . . . 8 ⊢ (∀w(∃v((w ∈ A ∧ v ∈ A) ∧ (⟨x, y⟩ ∈ w ∧ ⟨x, z⟩ ∈ v)) → y = z) ↔ (∃w∃v((w ∈ A ∧ v ∈ A) ∧ (⟨x, y⟩ ∈ w ∧ ⟨x, z⟩ ∈ v)) → y = z))
73	67, 71, 72	3bitr3ri 267	. . . . . . 7 ⊢ ((∃w∃v((w ∈ A ∧ v ∈ A) ∧ (⟨x, y⟩ ∈ w ∧ ⟨x, z⟩ ∈ v)) → y = z) ↔ ∀w ∈ A ∀v ∈ A ((⟨x, y⟩ ∈ w ∧ ⟨x, z⟩ ∈ v) → y = z))
74	65, 73	bitri 240	. . . . . 6 ⊢ (((⟨x, y⟩ ∈ ∪A ∧ ⟨x, z⟩ ∈ ∪A) → y = z) ↔ ∀w ∈ A ∀v ∈ A ((⟨x, y⟩ ∈ w ∧ ⟨x, z⟩ ∈ v) → y = z))
75	24, 55, 74	3imtr4i 257	. . . . 5 ⊢ (∀f ∈ A ∀g ∈ A (Fun f ∧ (f ⊆ g ∨ g ⊆ f)) → ((⟨x, y⟩ ∈ ∪A ∧ ⟨x, z⟩ ∈ ∪A) → y = z))
76	75	alrimiv 1631	. . . 4 ⊢ (∀f ∈ A ∀g ∈ A (Fun f ∧ (f ⊆ g ∨ g ⊆ f)) → ∀z((⟨x, y⟩ ∈ ∪A ∧ ⟨x, z⟩ ∈ ∪A) → y = z))
77	76	alrimivv 1632	. . 3 ⊢ (∀f ∈ A ∀g ∈ A (Fun f ∧ (f ⊆ g ∨ g ⊆ f)) → ∀x∀y∀z((⟨x, y⟩ ∈ ∪A ∧ ⟨x, z⟩ ∈ ∪A) → y = z))
78	2, 77	syl 15	. 2 ⊢ (∀f ∈ A (Fun f ∧ ∀g ∈ A (f ⊆ g ∨ g ⊆ f)) → ∀x∀y∀z((⟨x, y⟩ ∈ ∪A ∧ ⟨x, z⟩ ∈ ∪A) → y = z))
79		dffun4 5122	. 2 ⊢ (Fun ∪A ↔ ∀x∀y∀z((⟨x, y⟩ ∈ ∪A ∧ ⟨x, z⟩ ∈ ∪A) → y = z))
80	78, 79	sylibr 203	1 ⊢ (∀f ∈ A (Fun f ∧ ∀g ∈ A (f ⊆ g ∨ g ⊆ f)) → Fun ∪A)

Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 357   ∧ wa 358  ∀wal 1540  ∃wex 1541   ∈ wcel 1710  ∀wral 2615   ⊆ wss 3258  ∪cuni 3892  ⟨cop 4562  Fun wfun 4776

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4079  ax-xp 4080  ax-cnv 4081  ax-1c 4082  ax-sset 4083  ax-si 4084  ax-ins2 4085  ax-ins3 4086  ax-typlower 4087  ax-sn 4088

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2479  df-ne 2519  df-ral 2620  df-rex 2621  df-reu 2622  df-rmo 2623  df-rab 2624  df-v 2862  df-sbc 3048  df-nin 3212  df-compl 3213  df-in 3214  df-un 3215  df-dif 3216  df-symdif 3217  df-ss 3260  df-pss 3262  df-nul 3552  df-if 3664  df-pw 3725  df-sn 3742  df-pr 3743  df-uni 3893  df-int 3928  df-opk 4059  df-1c 4137  df-pw1 4138  df-uni1 4139  df-xpk 4186  df-cnvk 4187  df-ins2k 4188  df-ins3k 4189  df-imak 4190  df-cok 4191  df-p6 4192  df-sik 4193  df-ssetk 4194  df-imagek 4195  df-idk 4196  df-iota 4340  df-0c 4378  df-addc 4379  df-nnc 4380  df-fin 4381  df-lefin 4441  df-ltfin 4442  df-ncfin 4443  df-tfin 4444  df-evenfin 4445  df-oddfin 4446  df-sfin 4447  df-spfin 4448  df-phi 4566  df-op 4567  df-proj1 4568  df-proj2 4569  df-opab 4624  df-br 4641  df-co 4727  df-id 4768  df-cnv 4786  df-fun 4790

This theorem is referenced by:  funcnvuni  5162  fun11uni  5163