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Theorem fununi 5160
Description: The union of a chain (with respect to inclusion) of functions is a function. (Contributed by set.mm contributors, 10-Aug-2004.)
Assertion
Ref Expression
fununi (f A (Fun f g A (f g g f)) → Fun A)
Distinct variable group:   f,g,A

Proof of Theorem fununi
Dummy variables x y z w v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 r19.28av 2753 . . . 4 ((Fun f g A (f g g f)) → g A (Fun f (f g g f)))
21ralimi 2689 . . 3 (f A (Fun f g A (f g g f)) → f A g A (Fun f (f g g f)))
3 ssel 3267 . . . . . . . . . . . . 13 (w v → (x, y wx, y v))
43anim1d 547 . . . . . . . . . . . 12 (w v → ((x, y w x, z v) → (x, y v x, z v)))
5 dffun4 5121 . . . . . . . . . . . . 13 (Fun vxyz((x, y v x, z v) → y = z))
6 sp 1747 . . . . . . . . . . . . . . 15 (z((x, y v x, z v) → y = z) → ((x, y v x, z v) → y = z))
76sps 1754 . . . . . . . . . . . . . 14 (yz((x, y v x, z v) → y = z) → ((x, y v x, z v) → y = z))
87sps 1754 . . . . . . . . . . . . 13 (xyz((x, y v x, z v) → y = z) → ((x, y v x, z v) → y = z))
95, 8sylbi 187 . . . . . . . . . . . 12 (Fun v → ((x, y v x, z v) → y = z))
104, 9syl9r 67 . . . . . . . . . . 11 (Fun v → (w v → ((x, y w x, z v) → y = z)))
1110adantl 452 . . . . . . . . . 10 ((Fun w Fun v) → (w v → ((x, y w x, z v) → y = z)))
12 ssel 3267 . . . . . . . . . . . . 13 (v w → (x, z vx, z w))
1312anim2d 548 . . . . . . . . . . . 12 (v w → ((x, y w x, z v) → (x, y w x, z w)))
14 dffun4 5121 . . . . . . . . . . . . 13 (Fun wxyz((x, y w x, z w) → y = z))
15 sp 1747 . . . . . . . . . . . . . . 15 (z((x, y w x, z w) → y = z) → ((x, y w x, z w) → y = z))
1615sps 1754 . . . . . . . . . . . . . 14 (yz((x, y w x, z w) → y = z) → ((x, y w x, z w) → y = z))
1716sps 1754 . . . . . . . . . . . . 13 (xyz((x, y w x, z w) → y = z) → ((x, y w x, z w) → y = z))
1814, 17sylbi 187 . . . . . . . . . . . 12 (Fun w → ((x, y w x, z w) → y = z))
1913, 18syl9r 67 . . . . . . . . . . 11 (Fun w → (v w → ((x, y w x, z v) → y = z)))
2019adantr 451 . . . . . . . . . 10 ((Fun w Fun v) → (v w → ((x, y w x, z v) → y = z)))
2111, 20jaod 369 . . . . . . . . 9 ((Fun w Fun v) → ((w v v w) → ((x, y w x, z v) → y = z)))
2221imp 418 . . . . . . . 8 (((Fun w Fun v) (w v v w)) → ((x, y w x, z v) → y = z))
2322ralimi 2689 . . . . . . 7 (v A ((Fun w Fun v) (w v v w)) → v A ((x, y w x, z v) → y = z))
2423ralimi 2689 . . . . . 6 (w A v A ((Fun w Fun v) (w v v w)) → w A v A ((x, y w x, z v) → y = z))
25 funeq 5127 . . . . . . . . . 10 (f = w → (Fun f ↔ Fun w))
26 sseq1 3292 . . . . . . . . . . 11 (f = w → (f gw g))
27 sseq2 3293 . . . . . . . . . . 11 (f = w → (g fg w))
2826, 27orbi12d 690 . . . . . . . . . 10 (f = w → ((f g g f) ↔ (w g g w)))
2925, 28anbi12d 691 . . . . . . . . 9 (f = w → ((Fun f (f g g f)) ↔ (Fun w (w g g w))))
30 sseq2 3293 . . . . . . . . . . 11 (g = v → (w gw v))
31 sseq1 3292 . . . . . . . . . . 11 (g = v → (g wv w))
3230, 31orbi12d 690 . . . . . . . . . 10 (g = v → ((w g g w) ↔ (w v v w)))
3332anbi2d 684 . . . . . . . . 9 (g = v → ((Fun w (w g g w)) ↔ (Fun w (w v v w))))
3429, 33cbvral2v 2843 . . . . . . . 8 (f A g A (Fun f (f g g f)) ↔ w A v A (Fun w (w v v w)))
35 ralcom 2771 . . . . . . . . 9 (f A g A (Fun f (f g g f)) ↔ g A f A (Fun f (f g g f)))
36 orcom 376 . . . . . . . . . . . 12 ((f g g f) ↔ (g f f g))
37 sseq1 3292 . . . . . . . . . . . . 13 (g = w → (g fw f))
38 sseq2 3293 . . . . . . . . . . . . 13 (g = w → (f gf w))
3937, 38orbi12d 690 . . . . . . . . . . . 12 (g = w → ((g f f g) ↔ (w f f w)))
4036, 39syl5bb 248 . . . . . . . . . . 11 (g = w → ((f g g f) ↔ (w f f w)))
4140anbi2d 684 . . . . . . . . . 10 (g = w → ((Fun f (f g g f)) ↔ (Fun f (w f f w))))
42 funeq 5127 . . . . . . . . . . 11 (f = v → (Fun f ↔ Fun v))
43 sseq2 3293 . . . . . . . . . . . 12 (f = v → (w fw v))
44 sseq1 3292 . . . . . . . . . . . 12 (f = v → (f wv w))
4543, 44orbi12d 690 . . . . . . . . . . 11 (f = v → ((w f f w) ↔ (w v v w)))
4642, 45anbi12d 691 . . . . . . . . . 10 (f = v → ((Fun f (w f f w)) ↔ (Fun v (w v v w))))
4741, 46cbvral2v 2843 . . . . . . . . 9 (g A f A (Fun f (f g g f)) ↔ w A v A (Fun v (w v v w)))
4835, 47bitri 240 . . . . . . . 8 (f A g A (Fun f (f g g f)) ↔ w A v A (Fun v (w v v w)))
4934, 48anbi12i 678 . . . . . . 7 ((f A g A (Fun f (f g g f)) f A g A (Fun f (f g g f))) ↔ (w A v A (Fun w (w v v w)) w A v A (Fun v (w v v w))))
50 anidm 625 . . . . . . 7 ((f A g A (Fun f (f g g f)) f A g A (Fun f (f g g f))) ↔ f A g A (Fun f (f g g f)))
51 anandir 802 . . . . . . . . 9 (((Fun w Fun v) (w v v w)) ↔ ((Fun w (w v v w)) (Fun v (w v v w))))
52512ralbii 2640 . . . . . . . 8 (w A v A ((Fun w Fun v) (w v v w)) ↔ w A v A ((Fun w (w v v w)) (Fun v (w v v w))))
53 r19.26-2 2747 . . . . . . . 8 (w A v A ((Fun w (w v v w)) (Fun v (w v v w))) ↔ (w A v A (Fun w (w v v w)) w A v A (Fun v (w v v w))))
5452, 53bitr2i 241 . . . . . . 7 ((w A v A (Fun w (w v v w)) w A v A (Fun v (w v v w))) ↔ w A v A ((Fun w Fun v) (w v v w)))
5549, 50, 543bitr3i 266 . . . . . 6 (f A g A (Fun f (f g g f)) ↔ w A v A ((Fun w Fun v) (w v v w)))
56 eluni 3894 . . . . . . . . . 10 (x, y Aw(x, y w w A))
57 eluni 3894 . . . . . . . . . 10 (x, z Av(x, z v v A))
5856, 57anbi12i 678 . . . . . . . . 9 ((x, y A x, z A) ↔ (w(x, y w w A) v(x, z v v A)))
59 eeanv 1913 . . . . . . . . 9 (wv((x, y w w A) (x, z v v A)) ↔ (w(x, y w w A) v(x, z v v A)))
60 an4 797 . . . . . . . . . . 11 (((x, y w w A) (x, z v v A)) ↔ ((x, y w x, z v) (w A v A)))
61 ancom 437 . . . . . . . . . . 11 (((x, y w x, z v) (w A v A)) ↔ ((w A v A) (x, y w x, z v)))
6260, 61bitri 240 . . . . . . . . . 10 (((x, y w w A) (x, z v v A)) ↔ ((w A v A) (x, y w x, z v)))
63622exbii 1583 . . . . . . . . 9 (wv((x, y w w A) (x, z v v A)) ↔ wv((w A v A) (x, y w x, z v)))
6458, 59, 633bitr2i 264 . . . . . . . 8 ((x, y A x, z A) ↔ wv((w A v A) (x, y w x, z v)))
6564imbi1i 315 . . . . . . 7 (((x, y A x, z A) → y = z) ↔ (wv((w A v A) (x, y w x, z v)) → y = z))
66 19.23v 1891 . . . . . . . . 9 (v(((w A v A) (x, y w x, z v)) → y = z) ↔ (v((w A v A) (x, y w x, z v)) → y = z))
6766albii 1566 . . . . . . . 8 (wv(((w A v A) (x, y w x, z v)) → y = z) ↔ w(v((w A v A) (x, y w x, z v)) → y = z))
68 impexp 433 . . . . . . . . . 10 ((((w A v A) (x, y w x, z v)) → y = z) ↔ ((w A v A) → ((x, y w x, z v) → y = z)))
69682albii 1567 . . . . . . . . 9 (wv(((w A v A) (x, y w x, z v)) → y = z) ↔ wv((w A v A) → ((x, y w x, z v) → y = z)))
70 r2al 2651 . . . . . . . . 9 (w A v A ((x, y w x, z v) → y = z) ↔ wv((w A v A) → ((x, y w x, z v) → y = z)))
7169, 70bitr4i 243 . . . . . . . 8 (wv(((w A v A) (x, y w x, z v)) → y = z) ↔ w A v A ((x, y w x, z v) → y = z))
72 19.23v 1891 . . . . . . . 8 (w(v((w A v A) (x, y w x, z v)) → y = z) ↔ (wv((w A v A) (x, y w x, z v)) → y = z))
7367, 71, 723bitr3ri 267 . . . . . . 7 ((wv((w A v A) (x, y w x, z v)) → y = z) ↔ w A v A ((x, y w x, z v) → y = z))
7465, 73bitri 240 . . . . . 6 (((x, y A x, z A) → y = z) ↔ w A v A ((x, y w x, z v) → y = z))
7524, 55, 743imtr4i 257 . . . . 5 (f A g A (Fun f (f g g f)) → ((x, y A x, z A) → y = z))
7675alrimiv 1631 . . . 4 (f A g A (Fun f (f g g f)) → z((x, y A x, z A) → y = z))
7776alrimivv 1632 . . 3 (f A g A (Fun f (f g g f)) → xyz((x, y A x, z A) → y = z))
782, 77syl 15 . 2 (f A (Fun f g A (f g g f)) → xyz((x, y A x, z A) → y = z))
79 dffun4 5121 . 2 (Fun Axyz((x, y A x, z A) → y = z))
8078, 79sylibr 203 1 (f A (Fun f g A (f g g f)) → Fun A)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   wo 357   wa 358  wal 1540  wex 1541   wcel 1710  wral 2614   wss 3257  cuni 3891  cop 4561  Fun wfun 4775
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-cnv 4080  ax-1c 4081  ax-sset 4082  ax-si 4083  ax-ins2 4084  ax-ins3 4085  ax-typlower 4086  ax-sn 4087
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-reu 2621  df-rmo 2622  df-rab 2623  df-v 2861  df-sbc 3047  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-symdif 3216  df-ss 3259  df-pss 3261  df-nul 3551  df-if 3663  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-uni 3892  df-int 3927  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-uni1 4138  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-ins2k 4187  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-cok 4190  df-p6 4191  df-sik 4192  df-ssetk 4193  df-imagek 4194  df-idk 4195  df-iota 4339  df-0c 4377  df-addc 4378  df-nnc 4379  df-fin 4380  df-lefin 4440  df-ltfin 4441  df-ncfin 4442  df-tfin 4443  df-evenfin 4444  df-oddfin 4445  df-sfin 4446  df-spfin 4447  df-phi 4565  df-op 4566  df-proj1 4567  df-proj2 4568  df-opab 4623  df-br 4640  df-co 4726  df-id 4767  df-cnv 4785  df-fun 4789
This theorem is referenced by:  funcnvuni  5161  fun11uni  5162
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