New Foundations Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  NFE Home  >  Th. List  >  map0 Unicode version

Theorem map0 6025
 Description: Set exponentiation is empty iff the base is empty and the exponent is not empty. Theorem 97 of [Suppes] p. 89. (Contributed by set.mm contributors, 10-Dec-2003.) (Revised by set.mm contributors, 17-May-2007.)
Hypotheses
Ref Expression
map0.1
map0.2
Assertion
Ref Expression
map0

Proof of Theorem map0
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 map0.1 . . . . . 6
2 map0.2 . . . . . 6
31, 2mapval 6011 . . . . 5
43eqeq1i 2360 . . . 4
5 snssi 3852 . . . . . . . 8
6 vex 2862 . . . . . . . . . 10
76fconst 5250 . . . . . . . . 9
8 fss 5230 . . . . . . . . 9
97, 8mpan 651 . . . . . . . 8
10 snex 4111 . . . . . . . . . 10
112, 10xpex 5115 . . . . . . . . 9
12 feq1 5210 . . . . . . . . 9
1311, 12spcev 2946 . . . . . . . 8
145, 9, 133syl 18 . . . . . . 7
1514exlimiv 1634 . . . . . 6
16 n0 3559 . . . . . 6
17 abn0 3568 . . . . . 6
1815, 16, 173imtr4i 257 . . . . 5
1918necon4i 2576 . . . 4
204, 19sylbi 187 . . 3
211map0e 6023 . . . . . 6
22 0ex 4110 . . . . . . . 8
2322snid 3760 . . . . . . 7
24 ne0i 3556 . . . . . . 7
2523, 24ax-mp 5 . . . . . 6
2621, 25eqnetri 2533 . . . . 5
27 oveq2 5531 . . . . . 6
2827neeq1d 2529 . . . . 5
2926, 28mpbiri 224 . . . 4
3029necon2i 2563 . . 3
3120, 30jca 518 . 2
32 oveq1 5530 . . 3
332map0b 6024 . . 3
3432, 33sylan9eq 2405 . 2
3531, 34impbii 180 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wb 176   wa 358  wex 1541   wceq 1642   wcel 1710  cab 2339   wne 2516  cvv 2859   wss 3257  c0 3550  csn 3737   cxp 4770  wf 4777  (class class class)co 5525   cmap 5999 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-cnv 4080  ax-1c 4081  ax-sset 4082  ax-si 4083  ax-ins2 4084  ax-ins3 4085  ax-typlower 4086  ax-sn 4087 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-reu 2621  df-rmo 2622  df-rab 2623  df-v 2861  df-sbc 3047  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-symdif 3216  df-ss 3259  df-pss 3261  df-nul 3551  df-if 3663  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-uni 3892  df-int 3927  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-uni1 4138  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-ins2k 4187  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-cok 4190  df-p6 4191  df-sik 4192  df-ssetk 4193  df-imagek 4194  df-idk 4195  df-iota 4339  df-0c 4377  df-addc 4378  df-nnc 4379  df-fin 4380  df-lefin 4440  df-ltfin 4441  df-ncfin 4442  df-tfin 4443  df-evenfin 4444  df-oddfin 4445  df-sfin 4446  df-spfin 4447  df-phi 4565  df-op 4566  df-proj1 4567  df-proj2 4568  df-opab 4623  df-br 4640  df-1st 4723  df-swap 4724  df-sset 4725  df-co 4726  df-ima 4727  df-si 4728  df-id 4767  df-xp 4784  df-cnv 4785  df-rn 4786  df-dm 4787  df-res 4788  df-fun 4789  df-fn 4790  df-f 4791  df-fv 4795  df-2nd 4797  df-ov 5526  df-oprab 5528  df-mpt2 5654  df-txp 5736  df-ins2 5750  df-ins3 5752  df-image 5754  df-ins4 5756  df-si3 5758  df-funs 5760  df-map 6001 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator