NFE Home New Foundations Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  NFE Home  >  Th. List  >  nnpw1ex Unicode version
Theorem nnpw1ex 4485
Description: For any nonempty finite cardinal, there is a unique natural containing a unit power class of one of its elements. Theorem X.1.27 of [Rosser] p. 528. (Contributed by SF, 22-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
nnpw1ex Nn Nn 1
Distinct variable group:   ,,
Proof of Theorem nnpw1ex
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ncfinraise 4482 . . . . . . . . 9 Nn Nn 1 1
2 anidm 625 . . . . . . . . . 10 1 1 1
32rexbii 2640 . . . . . . . . 9 Nn 1 1 Nn 1
41, 3sylib 188 . . . . . . . 8 Nn Nn 1
543anidm23 1241 . . . . . . 7 Nn Nn 1
65ex 423 . . . . . 6 Nn Nn 1
76ancld 536 . . . . 5 Nn Nn 1
87eximdv 1622 . . . 4 Nn Nn 1
98imp 418 . . 3 Nn Nn 1
10 n0 3560 . . . 4
1110anbi2i 675 . . 3 Nn Nn
12 rexcom 2773 . . . 4 Nn 1 Nn 1
13 df-rex 2621 . . . 4 Nn 1 Nn 1
1412, 13bitri 240 . . 3 Nn 1 Nn 1
159, 11, 143imtr4i 257 . 2 Nn Nn 1
16 pw1eq 4144 . . . . . . . 8 1 1
1716eleq1d 2419 . . . . . . 7 1 1
1817cbvrexv 2837 . . . . . 6 1 1
1918anbi2i 675 . . . . 5 1 1 1 1
20 reeanv 2779 . . . . 5 1 1 1 1
2119, 20bitr4i 243 . . . 4 1 1 1 1
22 simplll 734 . . . . . . . 8 Nn Nn Nn 1 1 Nn
23 simprll 738 . . . . . . . 8 Nn Nn Nn 1 1
24 simprlr 739 . . . . . . . 8 Nn Nn Nn 1 1
25 ncfinraise 4482 . . . . . . . 8 Nn Nn 1 1
2622, 23, 24, 25syl3anc 1182 . . . . . . 7 Nn Nn Nn 1 1 Nn 1 1
27 simp1rl 1020 . . . . . . . . . . . 12 Nn Nn Nn 1 1 Nn 1 1 Nn
28 simp3l 983 . . . . . . . . . . . 12 Nn Nn Nn 1 1 Nn 1 1 Nn
29 simp2rl 1024 . . . . . . . . . . . 12 Nn Nn Nn 1 1 Nn 1 1 1
30 simp3rl 1028 . . . . . . . . . . . 12 Nn Nn Nn 1 1 Nn 1 1 1
31 nnceleq 4431 . . . . . . . . . . . 12 Nn Nn 1 1
3227, 28, 29, 30, 31syl22anc 1183 . . . . . . . . . . 11 Nn Nn Nn 1 1 Nn 1 1
33 simp1rr 1021 . . . . . . . . . . . 12 Nn Nn Nn 1 1 Nn 1 1 Nn
34 simp2rr 1025 . . . . . . . . . . . 12 Nn Nn Nn 1 1 Nn 1 1 1
35 simp3rr 1029 . . . . . . . . . . . 12 Nn Nn Nn 1 1 Nn 1 1 1
36 nnceleq 4431 . . . . . . . . . . . 12 Nn Nn 1 1
3733, 28, 34, 35, 36syl22anc 1183 . . . . . . . . . . 11 Nn Nn Nn 1 1 Nn 1 1
3832, 37eqtr4d 2388 . . . . . . . . . 10 Nn Nn Nn 1 1 Nn 1 1
39383expa 1151 . . . . . . . . 9 Nn Nn Nn 1 1 Nn 1 1
4039exp32 588 . . . . . . . 8 Nn Nn Nn 1 1 Nn 1 1
4140rexlimdv 2738 . . . . . . 7 Nn Nn Nn 1 1 Nn 1 1
4226, 41mpd 14 . . . . . 6 Nn Nn Nn 1 1
4342exp32 588 . . . . 5 Nn Nn Nn 1 1
4443rexlimdvv 2745 . . . 4 Nn Nn Nn 1 1
4521, 44syl5bi 208 . . 3 Nn Nn Nn 1 1
4645ralrimivva 2707 . 2 Nn Nn Nn 1 1
47 eleq2 2414 . . . 4 1 1
4847rexbidv 2636 . . 3 1 1
4948reu4 3031 . 2 Nn 1 Nn 1 Nn Nn 1 1
5015, 46, 49sylanbrc 645 1 Nn Nn 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   wi 4   wa 358   w3a 934  wex 1541   wcel 1710   wne 2517  wral 2615  wrex 2616  wreu 2617  c0 3551  1 cpw1 4136   Nn cnnc 4374
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4079  ax-xp 4080  ax-cnv 4081  ax-1c 4082  ax-sset 4083  ax-si 4084  ax-ins2 4085  ax-ins3 4086  ax-typlower 4087  ax-sn 4088
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2479  df-ne 2519  df-ral 2620  df-rex 2621  df-reu 2622  df-rmo 2623  df-v 2862  df-sbc 3048  df-nin 3212  df-compl 3213  df-in 3214  df-un 3215  df-dif 3216  df-symdif 3217  df-ss 3260  df-nul 3552  df-if 3664  df-pw 3725  df-sn 3742  df-pr 3743  df-uni 3893  df-int 3928  df-opk 4059  df-1c 4137  df-pw1 4138  df-uni1 4139  df-xpk 4186  df-cnvk 4187  df-ins2k 4188  df-ins3k 4189  df-imak 4190  df-cok 4191  df-p6 4192  df-sik 4193  df-ssetk 4194  df-imagek 4195  df-idk 4196  df-0c 4378  df-addc 4379  df-nnc 4380
This theorem is referenced by:  tfinprop  4490
  Copyright terms: Public domain W3C validator