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Theorem ncfinraise 4481
 Description: If two sets are in a particular finite cardinal, then their unit power sets are in the same natural. Theorem X.1.25 of [Rosser] p. 527. (Contributed by SF, 21-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
ncfinraise Nn Nn 1 1
Distinct variable groups:   ,   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem ncfinraise
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ncfinraiselem2 4480 . . . 4 Nn 1 1
2 raleq 2807 . . . . 5 0c Nn 1 1 0c Nn 1 1
32raleqbi1dv 2815 . . . 4 0c Nn 1 1 0c 0c Nn 1 1
4 raleq 2807 . . . . 5 Nn 1 1 Nn 1 1
54raleqbi1dv 2815 . . . 4 Nn 1 1 Nn 1 1
6 raleq 2807 . . . . 5 1c Nn 1 1 1c Nn 1 1
76raleqbi1dv 2815 . . . 4 1c Nn 1 1 1c 1c Nn 1 1
8 raleq 2807 . . . . 5 Nn 1 1 Nn 1 1
98raleqbi1dv 2815 . . . 4 Nn 1 1 Nn 1 1
10 el0c 4421 . . . . . 6 0c
11 el0c 4421 . . . . . 6 0c
12 peano1 4402 . . . . . . . 8 0c Nn
13 nulel0c 4422 . . . . . . . . 9 0c
1413, 13pm3.2i 441 . . . . . . . 8 0c 0c
15 eleq2 2414 . . . . . . . . . 10 0c 0c
1615, 15anbi12d 691 . . . . . . . . 9 0c 0c 0c
1716rspcev 2955 . . . . . . . 8 0c Nn 0c 0c Nn
1812, 14, 17mp2an 653 . . . . . . 7 Nn
19 pw1eq 4143 . . . . . . . . . . 11 1 1
20 pw10 4161 . . . . . . . . . . 11 1
2119, 20syl6eq 2401 . . . . . . . . . 10 1
2221eleq1d 2419 . . . . . . . . 9 1
23 pw1eq 4143 . . . . . . . . . . 11 1 1
2423, 20syl6eq 2401 . . . . . . . . . 10 1
2524eleq1d 2419 . . . . . . . . 9 1
2622, 25bi2anan9 843 . . . . . . . 8 1 1
2726rexbidv 2635 . . . . . . 7 Nn 1 1 Nn
2818, 27mpbiri 224 . . . . . 6 Nn 1 1
2910, 11, 28syl2anb 465 . . . . 5 0c 0c Nn 1 1
3029rgen2a 2680 . . . 4 0c 0c Nn 1 1
31 nfv 1619 . . . . . . 7 Nn
32 nfra1 2664 . . . . . . 7 Nn 1 1
3331, 32nfan 1824 . . . . . 6 Nn Nn 1 1
34 nfv 1619 . . . . . . . 8 Nn
35 nfra2 2668 . . . . . . . 8 Nn 1 1
3634, 35nfan 1824 . . . . . . 7 Nn Nn 1 1
37 nfv 1619 . . . . . . 7 1c
38 reeanv 2778 . . . . . . . . . 10
39 reeanv 2778 . . . . . . . . . . 11
40392rexbii 2641 . . . . . . . . . 10
41 elsuc 4413 . . . . . . . . . . 11 1c
42 elsuc 4413 . . . . . . . . . . 11 1c
4341, 42anbi12i 678 . . . . . . . . . 10 1c 1c
4438, 40, 433bitr4ri 269 . . . . . . . . 9 1c 1c
45 pw1eq 4143 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 1
4645eleq1d 2419 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 1
4746anbi1d 685 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 1 1 1
4847rexbidv 2635 . . . . . . . . . . . . . 14 Nn 1 1 Nn 1 1
49 pw1eq 4143 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 1
5049eleq1d 2419 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 1
5150anbi2d 684 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 1 1 1
5251rexbidv 2635 . . . . . . . . . . . . . 14 Nn 1 1 Nn 1 1
5348, 52rspc2v 2961 . . . . . . . . . . . . 13 Nn 1 1 Nn 1 1
5453com12 27 . . . . . . . . . . . 12 Nn 1 1 Nn 1 1
55 vex 2862 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
5655elcompl 3225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
57 vex 2862 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
5857elcompl 3225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5956, 58anbi12i 678 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6059anbi2i 675 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
61 peano2 4403 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Nn 1c Nn
6261ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Nn 1 1 Nn 1c Nn
63 simplrl 736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 Nn 1 1 Nn 1
6463adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Nn 1 1 Nn 1
65 simprrl 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 Nn 1 1 Nn
66 snelpw1 4146 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1
6765, 66sylnibr 296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Nn 1 1 Nn 1
68 snex 4111 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
6968elsuci 4414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1 1 1 1c
7064, 67, 69syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Nn 1 1 Nn 1 1c
71 simplrr 737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 Nn 1 1 Nn 1
7271adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Nn 1 1 Nn 1
73 simprrr 741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 Nn 1 1 Nn
74 snelpw1 4146 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1
7573, 74sylnibr 296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Nn 1 1 Nn 1
76 snex 4111 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
7776elsuci 4414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1 1 1 1c
7872, 75, 77syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Nn 1 1 Nn 1 1c
79 eleq2 2414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1c 1 1 1c
80 eleq2 2414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1c 1 1 1c
8179, 80anbi12d 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1c 1 1 1 1c 1 1c
8281rspcev 2955 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1c Nn 1 1c 1 1c Nn 1 1
8362, 70, 78, 82syl12anc 1180 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Nn 1 1 Nn Nn 1 1
8483ex 423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Nn 1 1 Nn Nn 1 1
8584ex 423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Nn 1 1 Nn Nn 1 1
8685rexlimiva 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Nn 1 1 Nn Nn 1 1
87 eleq2 2414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1 1
88 eleq2 2414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1 1
8987, 88anbi12d 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1 1 1 1
9089cbvrexv 2836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Nn 1 1 Nn 1 1
9186, 90syl8ib 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Nn 1 1 Nn Nn 1 1
9291com12 27 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Nn Nn 1 1 Nn 1 1
9392imp31 421 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Nn Nn 1 1 Nn 1 1
94 pw1eq 4143 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1 1
95 pw1un 4163 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1 1 1
9655pw1sn 4165 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1
9796uneq2i 3415 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1 1 1
9895, 97eqtri 2373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1 1
9994, 98syl6eq 2401 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1 1
10099eleq1d 2419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1 1
101 pw1eq 4143 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1 1
102 pw1un 4163 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1 1 1
10357pw1sn 4165 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1
104103uneq2i 3415 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1 1 1
105102, 104eqtri 2373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1 1
106101, 105syl6eq 2401 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1 1
107106eleq1d 2419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1 1
108100, 107bi2anan9 843 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1 1 1 1
109108rexbidv 2635 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Nn 1 1 Nn 1 1
11093, 109syl5ibrcom 213 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Nn Nn 1 1 Nn 1 1
11160, 110sylan2b 461 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Nn Nn 1 1 Nn 1 1
112111expr 598 . . . . . . . . . . . . . . 15 Nn Nn 1 1 Nn 1 1
113112anasss 628 . . . . . . . . . . . . . 14 Nn Nn 1 1 Nn 1 1
114113rexlimdvv 2744 . . . . . . . . . . . . 13 Nn Nn 1 1 Nn 1 1
115114exp32 588 . . . . . . . . . . . 12 Nn Nn 1 1 Nn 1 1
11654, 115sylan9r 639 . . . . . . . . . . 11 Nn Nn 1 1 Nn 1 1
117116pm2.43d 44 . . . . . . . . . 10 Nn Nn 1 1 Nn 1 1
118117rexlimdvv 2744 . . . . . . . . 9 Nn Nn 1 1 Nn 1 1
11944, 118syl5bi 208 . . . . . . . 8 Nn Nn 1 1 1c 1c Nn 1 1
120119exp3a 425 . . . . . . 7 Nn Nn 1 1 1c 1c Nn 1 1
12136, 37, 120ralrimd 2702 . . . . . 6 Nn Nn 1 1 1c 1c Nn 1 1
12233, 121ralrimi 2695 . . . . 5 Nn Nn 1 1 1c 1c Nn 1 1
123122ex 423 . . . 4 Nn Nn 1 1 1c 1c Nn 1 1
1241, 3, 5, 7, 9, 30, 123finds 4411 . . 3 Nn Nn 1 1
125 pw1eq 4143 . . . . . . 7 1 1
126125eleq1d 2419 . . . . . 6 1 1
127126anbi1d 685 . . . . 5 1 1 1 1
128127rexbidv 2635 . . . 4 Nn 1 1 Nn 1 1
129 pw1eq 4143 . . . . . . 7 1 1
130129eleq1d 2419 . . . . . 6 1 1
131130anbi2d 684 . . . . 5 1 1 1 1
132131rexbidv 2635 . . . 4 Nn 1 1 Nn 1 1
133128, 132rspc2v 2961 . . 3 Nn 1 1 Nn 1 1
134124, 133syl5com 26 . 2 Nn Nn 1 1
1351343impib 1149 1 Nn Nn 1 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 358   w3a 934   wceq 1642   wcel 1710  wral 2614  wrex 2615   ∼ ccompl 3205   cun 3207  c0 3550  csn 3737  1cc1c 4134  1 cpw1 4135   Nn cnnc 4373  0cc0c 4374   cplc 4375 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-cnv 4080  ax-1c 4081  ax-sset 4082  ax-si 4083  ax-ins2 4084  ax-ins3 4085  ax-typlower 4086  ax-sn 4087 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-v 2861  df-sbc 3047  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-symdif 3216  df-ss 3259  df-nul 3551  df-if 3663  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-uni 3892  df-int 3927  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-uni1 4138  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-ins2k 4187  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-cok 4190  df-p6 4191  df-sik 4192  df-ssetk 4193  df-imagek 4194  df-0c 4377  df-addc 4378  df-nnc 4379 This theorem is referenced by:  nnpw1ex  4484  tfinpw1  4494  pw1fin  6169
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