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Theorem tfin11 4493
 Description: The finite T operator is one-to-one over the naturals. Theorem X.1.30 of [Rosser] p. 528. (Contributed by SF, 24-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
tfin11 Nn Nn Tfin Tfin

Proof of Theorem tfin11
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tfinnnul 4490 . . . . . . . 8 Nn Tfin
21ex 423 . . . . . . 7 Nn Tfin
32necon4d 2579 . . . . . 6 Nn Tfin
433ad2ant1 976 . . . . 5 Nn Nn Tfin Tfin Tfin
54impcom 419 . . . 4 Tfin Nn Nn Tfin Tfin
6 eqeq1 2359 . . . . . . . 8 Tfin Tfin Tfin Tfin
76adantl 452 . . . . . . 7 Nn Tfin Tfin Tfin Tfin
8 tfinnnul 4490 . . . . . . . . . 10 Nn Tfin
98ex 423 . . . . . . . . 9 Nn Tfin
109necon4d 2579 . . . . . . . 8 Nn Tfin
1110adantr 451 . . . . . . 7 Nn Tfin Tfin Tfin
127, 11sylbid 206 . . . . . 6 Nn Tfin Tfin Tfin
13123adant1 973 . . . . 5 Nn Nn Tfin Tfin Tfin
1413impcom 419 . . . 4 Tfin Nn Nn Tfin Tfin
155, 14eqtr4d 2388 . . 3 Tfin Nn Nn Tfin Tfin
1615ex 423 . 2 Tfin Nn Nn Tfin Tfin
17 neeq1 2524 . . . . . . . 8 Tfin Tfin Tfin Tfin
1817biimpd 198 . . . . . . 7 Tfin Tfin Tfin Tfin
1918ancld 536 . . . . . 6 Tfin Tfin Tfin Tfin Tfin
20 tfineq 4488 . . . . . . . . 9 Tfin Tfin
21 tfinnul 4491 . . . . . . . . 9 Tfin
2220, 21syl6eq 2401 . . . . . . . 8 Tfin
2322necon3i 2555 . . . . . . 7 Tfin
24 tfineq 4488 . . . . . . . . 9 Tfin Tfin
2524, 21syl6eq 2401 . . . . . . . 8 Tfin
2625necon3i 2555 . . . . . . 7 Tfin
2723, 26anim12i 549 . . . . . 6 Tfin Tfin
2819, 27syl6 29 . . . . 5 Tfin Tfin Tfin
29283ad2ant3 978 . . . 4 Nn Nn Tfin Tfin Tfin
30 tfinprop 4489 . . . . . . 7 Nn Tfin Nn 1 Tfin
3130ex 423 . . . . . 6 Nn Tfin Nn 1 Tfin
32313ad2ant1 976 . . . . 5 Nn Nn Tfin Tfin Tfin Nn 1 Tfin
33 tfinprop 4489 . . . . . . 7 Nn Tfin Nn 1 Tfin
3433ex 423 . . . . . 6 Nn Tfin Nn 1 Tfin
35343ad2ant2 977 . . . . 5 Nn Nn Tfin Tfin Tfin Nn 1 Tfin
36 reeanv 2778 . . . . . . . 8 1 Tfin 1 Tfin 1 Tfin 1 Tfin
37 simp31 991 . . . . . . . . . . . . 13 1 Tfin 1 Tfin Nn Nn Tfin Tfin Nn
38 tfincl 4492 . . . . . . . . . . . . 13 Nn Tfin Nn
3937, 38syl 15 . . . . . . . . . . . 12 1 Tfin 1 Tfin Nn Nn Tfin Tfin Tfin Nn
40 simp2l 981 . . . . . . . . . . . 12 1 Tfin 1 Tfin Nn Nn Tfin Tfin 1 Tfin
41 simp2r 982 . . . . . . . . . . . . 13 1 Tfin 1 Tfin Nn Nn Tfin Tfin 1 Tfin
42 simp33 993 . . . . . . . . . . . . 13 1 Tfin 1 Tfin Nn Nn Tfin Tfin Tfin Tfin
4341, 42eleqtrrd 2430 . . . . . . . . . . . 12 1 Tfin 1 Tfin Nn Nn Tfin Tfin 1 Tfin
44 ncfinlower 4483 . . . . . . . . . . . 12 Tfin Nn 1 Tfin 1 Tfin Nn
4539, 40, 43, 44syl3anc 1182 . . . . . . . . . . 11 1 Tfin 1 Tfin Nn Nn Tfin Tfin Nn
46 simpl31 1036 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 Tfin 1 Tfin Nn Nn Tfin Tfin Nn Nn
47 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 Tfin 1 Tfin Nn Nn Tfin Tfin Nn Nn
48 simpl1l 1006 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 Tfin 1 Tfin Nn Nn Tfin Tfin Nn
49 simprrl 740 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 Tfin 1 Tfin Nn Nn Tfin Tfin Nn
50 nnceleq 4430 . . . . . . . . . . . . . . 15 Nn Nn
5146, 47, 48, 49, 50syl22anc 1183 . . . . . . . . . . . . . 14 1 Tfin 1 Tfin Nn Nn Tfin Tfin Nn
52 simpl32 1037 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 Tfin 1 Tfin Nn Nn Tfin Tfin Nn Nn
53 simpl1r 1007 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 Tfin 1 Tfin Nn Nn Tfin Tfin Nn
54 simprrr 741 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 Tfin 1 Tfin Nn Nn Tfin Tfin Nn
55 nnceleq 4430 . . . . . . . . . . . . . . 15 Nn Nn
5652, 47, 53, 54, 55syl22anc 1183 . . . . . . . . . . . . . 14 1 Tfin 1 Tfin Nn Nn Tfin Tfin Nn
5751, 56eqtr4d 2388 . . . . . . . . . . . . 13 1 Tfin 1 Tfin Nn Nn Tfin Tfin Nn
5857expr 598 . . . . . . . . . . . 12 1 Tfin 1 Tfin Nn Nn Tfin Tfin Nn
5958rexlimdva 2738 . . . . . . . . . . 11 1 Tfin 1 Tfin Nn Nn Tfin Tfin Nn
6045, 59mpd 14 . . . . . . . . . 10 1 Tfin 1 Tfin Nn Nn Tfin Tfin
61603exp 1150 . . . . . . . . 9 1 Tfin 1 Tfin Nn Nn Tfin Tfin
6261rexlimivv 2743 . . . . . . . 8 1 Tfin 1 Tfin Nn Nn Tfin Tfin
6336, 62sylbir 204 . . . . . . 7 1 Tfin 1 Tfin Nn Nn Tfin Tfin
6463ad2ant2l 726 . . . . . 6 Tfin Nn 1 Tfin Tfin Nn 1 Tfin Nn Nn Tfin Tfin
6564com12 27 . . . . 5 Nn Nn Tfin Tfin Tfin Nn 1 Tfin Tfin Nn 1 Tfin
6632, 35, 65syl2and 469 . . . 4 Nn Nn Tfin Tfin
6729, 66syld 40 . . 3 Nn Nn Tfin Tfin Tfin
6867com12 27 . 2 Tfin Nn Nn Tfin Tfin
6916, 68pm2.61ine 2592 1 Nn Nn Tfin Tfin
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 176   wa 358   w3a 934   wceq 1642   wcel 1710   wne 2516  wrex 2615  c0 3550  1 cpw1 4135   Nn cnnc 4373   Tfin ctfin 4435 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-cnv 4080  ax-1c 4081  ax-sset 4082  ax-si 4083  ax-ins2 4084  ax-ins3 4085  ax-typlower 4086  ax-sn 4087 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-reu 2621  df-rmo 2622  df-rab 2623  df-v 2861  df-sbc 3047  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-symdif 3216  df-ss 3259  df-nul 3551  df-if 3663  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-uni 3892  df-int 3927  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-uni1 4138  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-ins2k 4187  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-cok 4190  df-p6 4191  df-sik 4192  df-ssetk 4193  df-imagek 4194  df-idk 4195  df-iota 4339  df-0c 4377  df-addc 4378  df-nnc 4379  df-tfin 4443 This theorem is referenced by:  tfinnn  4534  vfinspsslem1  4550
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