Theorem 3reeanv 2780

Description: Rearrange three existential quantifiers. (Contributed by Jeff Madsen, 11-Jun-2010.)

Assertion

Ref	Expression
3reeanv	⊢ (∃x ∈ A ∃y ∈ B ∃z ∈ C (φ ∧ ψ ∧ χ) ↔ (∃x ∈ A φ ∧ ∃y ∈ B ψ ∧ ∃z ∈ C χ))

Distinct variable groups:   φ,y,z   ψ,x,z   χ,x,y   y,A   x,B,z   x,C,y

Allowed substitution hints:   φ(x)   ψ(y)   χ(z)   A(x,z)   B(y)   C(z)

Proof of Theorem 3reeanv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		r19.41v 2765	. . 3 ⊢ (∃x ∈ A (∃y ∈ B (φ ∧ ψ) ∧ ∃z ∈ C χ) ↔ (∃x ∈ A ∃y ∈ B (φ ∧ ψ) ∧ ∃z ∈ C χ))
2		reeanv 2779	. . . 4 ⊢ (∃x ∈ A ∃y ∈ B (φ ∧ ψ) ↔ (∃x ∈ A φ ∧ ∃y ∈ B ψ))
3	2	anbi1i 676	. . 3 ⊢ ((∃x ∈ A ∃y ∈ B (φ ∧ ψ) ∧ ∃z ∈ C χ) ↔ ((∃x ∈ A φ ∧ ∃y ∈ B ψ) ∧ ∃z ∈ C χ))
4	1, 3	bitri 240	. 2 ⊢ (∃x ∈ A (∃y ∈ B (φ ∧ ψ) ∧ ∃z ∈ C χ) ↔ ((∃x ∈ A φ ∧ ∃y ∈ B ψ) ∧ ∃z ∈ C χ))
5		df-3an 936	. . . . 5 ⊢ ((φ ∧ ψ ∧ χ) ↔ ((φ ∧ ψ) ∧ χ))
6	5	2rexbii 2642	. . . 4 ⊢ (∃y ∈ B ∃z ∈ C (φ ∧ ψ ∧ χ) ↔ ∃y ∈ B ∃z ∈ C ((φ ∧ ψ) ∧ χ))
7		reeanv 2779	. . . 4 ⊢ (∃y ∈ B ∃z ∈ C ((φ ∧ ψ) ∧ χ) ↔ (∃y ∈ B (φ ∧ ψ) ∧ ∃z ∈ C χ))
8	6, 7	bitri 240	. . 3 ⊢ (∃y ∈ B ∃z ∈ C (φ ∧ ψ ∧ χ) ↔ (∃y ∈ B (φ ∧ ψ) ∧ ∃z ∈ C χ))
9	8	rexbii 2640	. 2 ⊢ (∃x ∈ A ∃y ∈ B ∃z ∈ C (φ ∧ ψ ∧ χ) ↔ ∃x ∈ A (∃y ∈ B (φ ∧ ψ) ∧ ∃z ∈ C χ))
10		df-3an 936	. 2 ⊢ ((∃x ∈ A φ ∧ ∃y ∈ B ψ ∧ ∃z ∈ C χ) ↔ ((∃x ∈ A φ ∧ ∃y ∈ B ψ) ∧ ∃z ∈ C χ))
11	4, 9, 10	3bitr4i 268	1 ⊢ (∃x ∈ A ∃y ∈ B ∃z ∈ C (φ ∧ ψ ∧ χ) ↔ (∃x ∈ A φ ∧ ∃y ∈ B ψ ∧ ∃z ∈ C χ))

Syntax hints:   ↔ wb 176   ∧ wa 358   ∧ w3a 934  ∃wrex 2616

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2479  df-rex 2621

This theorem is referenced by:  xpassen  6058