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Theorem 2ralor 2780
Description: Distribute quantification over "or". (Contributed by Jeff Madsen, 19-Jun-2010.)
Assertion
Ref Expression
2ralor (x A y B (φ ψ) ↔ (x A φ y B ψ))
Distinct variable groups:   φ,y   ψ,x   y,A   x,B   x,y
Allowed substitution hints:   φ(x)   ψ(y)   A(x)   B(y)

Proof of Theorem 2ralor
StepHypRef Expression
1 rexnal 2625 . . . 4 (x A ¬ φ ↔ ¬ x A φ)
2 rexnal 2625 . . . 4 (y B ¬ ψ ↔ ¬ y B ψ)
31, 2anbi12i 678 . . 3 ((x A ¬ φ y B ¬ ψ) ↔ (¬ x A φ ¬ y B ψ))
4 ioran 476 . . . . . . 7 (¬ (φ ψ) ↔ (¬ φ ¬ ψ))
54rexbii 2639 . . . . . 6 (y B ¬ (φ ψ) ↔ y Bφ ¬ ψ))
6 rexnal 2625 . . . . . 6 (y B ¬ (φ ψ) ↔ ¬ y B (φ ψ))
75, 6bitr3i 242 . . . . 5 (y Bφ ¬ ψ) ↔ ¬ y B (φ ψ))
87rexbii 2639 . . . 4 (x A y Bφ ¬ ψ) ↔ x A ¬ y B (φ ψ))
9 reeanv 2778 . . . 4 (x A y Bφ ¬ ψ) ↔ (x A ¬ φ y B ¬ ψ))
10 rexnal 2625 . . . 4 (x A ¬ y B (φ ψ) ↔ ¬ x A y B (φ ψ))
118, 9, 103bitr3ri 267 . . 3 x A y B (φ ψ) ↔ (x A ¬ φ y B ¬ ψ))
12 ioran 476 . . 3 (¬ (x A φ y B ψ) ↔ (¬ x A φ ¬ y B ψ))
133, 11, 123bitr4i 268 . 2 x A y B (φ ψ) ↔ ¬ (x A φ y B ψ))
1413con4bii 288 1 (x A y B (φ ψ) ↔ (x A φ y B ψ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 176   wo 357   wa 358  wral 2614  wrex 2615
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ral 2619  df-rex 2620
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