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Theorem brtpos2 5897
Description: Value of the transposition at a pair  <. A ,  B >.. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
brtpos2  |-  ( B  e.  V  ->  ( Atpos  F B  <->  ( A  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } )  /\  U. `' { A } F B ) ) )

Proof of Theorem brtpos2
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reltpos 5896 . . . 4  |-  Rel tpos  F
21brrelexi 4412 . . 3  |-  ( Atpos 
F B  ->  A  e.  _V )
32a1i 9 . 2  |-  ( B  e.  V  ->  ( Atpos  F B  ->  A  e.  _V ) )
4 elex 2583 . . . 4  |-  ( A  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } )  ->  A  e.  _V )
54adantr 265 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} )  /\  U. `' { A } F B )  ->  A  e.  _V )
65a1i 9 . 2  |-  ( B  e.  V  ->  (
( A  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} )  /\  U. `' { A } F B )  ->  A  e.  _V ) )
7 df-tpos 5891 . . . . . 6  |- tpos  F  =  ( F  o.  (
x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} )  |->  U. `' { x } ) )
87breqi 3798 . . . . 5  |-  ( Atpos 
F B  <->  A ( F  o.  ( x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } )  |->  U. `' { x } ) ) B )
9 brcog 4530 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  V )  ->  ( A ( F  o.  ( x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } )  |->  U. `' { x } ) ) B  <->  E. y
( A ( x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } ) 
|->  U. `' { x } ) y  /\  y F B ) ) )
108, 9syl5bb 185 . . . 4  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  V )  ->  ( Atpos  F B  <->  E. y ( A ( x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} )  |->  U. `' { x } ) y  /\  y F B ) ) )
11 funmpt 4966 . . . . . . . . . . 11  |-  Fun  (
x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} )  |->  U. `' { x } )
12 funbrfv2b 5246 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Fun  ( x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} )  |->  U. `' { x } )  ->  ( A ( x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} )  |->  U. `' { x } ) y  <->  ( A  e. 
dom  ( x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } )  |->  U. `' { x } )  /\  ( ( x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } ) 
|->  U. `' { x } ) `  A
)  =  y ) ) )
1311, 12ax-mp 7 . . . . . . . . . 10  |-  ( A ( x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} )  |->  U. `' { x } ) y  <->  ( A  e. 
dom  ( x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } )  |->  U. `' { x } )  /\  ( ( x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } ) 
|->  U. `' { x } ) `  A
)  =  y ) )
14 vex 2577 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  x  e. 
_V
15 snexg 3964 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  _V  ->  { x }  e.  _V )
1614, 15ax-mp 7 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  { x }  e.  _V
1716cnvex 4884 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  `' {
x }  e.  _V
1817uniex 4202 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  U. `' { x }  e.  _V
19 eqid 2056 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } ) 
|->  U. `' { x } )  =  ( x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} )  |->  U. `' { x } )
2018, 19dmmpti 5056 . . . . . . . . . . . . 13  |-  dom  (
x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} )  |->  U. `' { x } )  =  ( `' dom  F  u.  { (/) } )
2120eleq2i 2120 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  dom  ( x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } ) 
|->  U. `' { x } )  <->  A  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} ) )
22 eqcom 2058 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} )  |->  U. `' { x } ) `
 A )  =  y  <->  y  =  ( ( x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} )  |->  U. `' { x } ) `
 A ) )
2321, 22anbi12i 441 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  dom  (
x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} )  |->  U. `' { x } )  /\  ( ( x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } ) 
|->  U. `' { x } ) `  A
)  =  y )  <-> 
( A  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} )  /\  y  =  ( ( x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } ) 
|->  U. `' { x } ) `  A
) ) )
24 snexg 3964 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } )  ->  { A }  e.  _V )
25 cnvexg 4883 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( { A }  e.  _V  ->  `' { A }  e.  _V )
2624, 25syl 14 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } )  ->  `' { A }  e.  _V )
27 uniexg 4203 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( `' { A }  e.  _V  ->  U. `' { A }  e.  _V )
2826, 27syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } )  ->  U. `' { A }  e.  _V )
29 sneq 3414 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  A  ->  { x }  =  { A } )
3029cnveqd 4539 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  A  ->  `' { x }  =  `' { A } )
3130unieqd 3619 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  A  ->  U. `' { x }  =  U. `' { A } )
3231, 19fvmptg 5276 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} )  /\  U. `' { A }  e.  _V )  ->  ( ( x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} )  |->  U. `' { x } ) `
 A )  = 
U. `' { A } )
3328, 32mpdan 406 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } )  ->  ( ( x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } ) 
|->  U. `' { x } ) `  A
)  =  U. `' { A } )
3433eqeq2d 2067 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } )  ->  ( y  =  ( ( x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } )  |->  U. `' { x } ) `
 A )  <->  y  =  U. `' { A } ) )
3534pm5.32i 435 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} )  /\  y  =  ( ( x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } ) 
|->  U. `' { x } ) `  A
) )  <->  ( A  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } )  /\  y  =  U. `' { A } ) )
3623, 35bitri 177 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  dom  (
x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} )  |->  U. `' { x } )  /\  ( ( x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } ) 
|->  U. `' { x } ) `  A
)  =  y )  <-> 
( A  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} )  /\  y  =  U. `' { A } ) )
3713, 36bitri 177 . . . . . . . . 9  |-  ( A ( x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} )  |->  U. `' { x } ) y  <->  ( A  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } )  /\  y  =  U. `' { A } ) )
38 ancom 257 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} )  /\  y  =  U. `' { A } )  <->  ( y  =  U. `' { A }  /\  A  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} ) ) )
3937, 38bitri 177 . . . . . . . 8  |-  ( A ( x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} )  |->  U. `' { x } ) y  <->  ( y  = 
U. `' { A }  /\  A  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} ) ) )
4039anbi1i 439 . . . . . . 7  |-  ( ( A ( x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } )  |->  U. `' { x } ) y  /\  y F B )  <->  ( (
y  =  U. `' { A }  /\  A  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } ) )  /\  y F B ) )
41 anass 387 . . . . . . 7  |-  ( ( ( y  =  U. `' { A }  /\  A  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } ) )  /\  y F B )  <->  ( y  =  U. `' { A }  /\  ( A  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } )  /\  y F B ) ) )
4240, 41bitri 177 . . . . . 6  |-  ( ( A ( x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } )  |->  U. `' { x } ) y  /\  y F B )  <->  ( y  =  U. `' { A }  /\  ( A  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } )  /\  y F B ) ) )
4342exbii 1512 . . . . 5  |-  ( E. y ( A ( x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} )  |->  U. `' { x } ) y  /\  y F B )  <->  E. y
( y  =  U. `' { A }  /\  ( A  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} )  /\  y F B ) ) )
44 exsimpr 1525 . . . . . . 7  |-  ( E. y ( y  = 
U. `' { A }  /\  ( A  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } )  /\  y F B ) )  ->  E. y ( A  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } )  /\  y F B ) )
45 exsimpl 1524 . . . . . . . 8  |-  ( E. y ( A  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } )  /\  y F B )  ->  E. y  A  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} ) )
46 19.9v 1767 . . . . . . . 8  |-  ( E. y  A  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} )  <->  A  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} ) )
4745, 46sylib 131 . . . . . . 7  |-  ( E. y ( A  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } )  /\  y F B )  ->  A  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } ) )
4844, 47syl 14 . . . . . 6  |-  ( E. y ( y  = 
U. `' { A }  /\  ( A  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } )  /\  y F B ) )  ->  A  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} ) )
49 simpl 106 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} )  /\  U. `' { A } F B )  ->  A  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } ) )
50 breq1 3795 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  U. `' { A }  ->  ( y F B  <->  U. `' { A } F B ) )
5150anbi2d 445 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  U. `' { A }  ->  ( ( A  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} )  /\  y F B )  <->  ( A  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } )  /\  U. `' { A } F B ) ) )
5251ceqsexgv 2696 . . . . . . 7  |-  ( U. `' { A }  e.  _V  ->  ( E. y
( y  =  U. `' { A }  /\  ( A  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} )  /\  y F B ) )  <->  ( A  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } )  /\  U. `' { A } F B ) ) )
5328, 52syl 14 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } )  ->  ( E. y
( y  =  U. `' { A }  /\  ( A  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} )  /\  y F B ) )  <->  ( A  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } )  /\  U. `' { A } F B ) ) )
5448, 49, 53pm5.21nii 630 . . . . 5  |-  ( E. y ( y  = 
U. `' { A }  /\  ( A  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } )  /\  y F B ) )  <-> 
( A  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} )  /\  U. `' { A } F B ) )
5543, 54bitri 177 . . . 4  |-  ( E. y ( A ( x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} )  |->  U. `' { x } ) y  /\  y F B )  <->  ( A  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } )  /\  U. `' { A } F B ) )
5610, 55syl6bb 189 . . 3  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  V )  ->  ( Atpos  F B  <-> 
( A  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} )  /\  U. `' { A } F B ) ) )
5756expcom 113 . 2  |-  ( B  e.  V  ->  ( A  e.  _V  ->  ( Atpos  F B  <->  ( A  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } )  /\  U. `' { A } F B ) ) ) )
583, 6, 57pm5.21ndd 631 1  |-  ( B  e.  V  ->  ( Atpos  F B  <->  ( A  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } )  /\  U. `' { A } F B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 101    <-> wb 102    = wceq 1259   E.wex 1397    e. wcel 1409   _Vcvv 2574    u. cun 2943   (/)c0 3252   {csn 3403   U.cuni 3608   class class class wbr 3792    |-> cmpt 3846   `'ccnv 4372   dom cdm 4373    o. ccom 4377   Fun wfun 4924   ` cfv 4930  tpos ctpos 5890
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-sep 3903  ax-pow 3955  ax-pr 3972  ax-un 4198
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-3an 898  df-tru 1262  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ral 2328  df-rex 2329  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2788  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-pw 3389  df-sn 3409  df-pr 3410  df-op 3412  df-uni 3609  df-br 3793  df-opab 3847  df-mpt 3848  df-id 4058  df-xp 4379  df-rel 4380  df-cnv 4381  df-co 4382  df-dm 4383  df-rn 4384  df-res 4385  df-ima 4386  df-iota 4895  df-fun 4932  df-fn 4933  df-fv 4938  df-tpos 5891
This theorem is referenced by:  brtpos0  5898  reldmtpos  5899  brtposg  5900  dftpos4  5909  tpostpos  5910
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