Theorem faclbnd6 10490

Description: Geometric lower bound for the factorial function, where N is usually held constant. (Contributed by Paul Chapman, 28-Dec-2007.)

Assertion

Ref	Expression
faclbnd6	|- ( ( N e. NN0 /\ M e. NN0 ) -> ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ M ) ) <_ ( ! ` ( N + M ) ) )

Proof of Theorem faclbnd6

Dummy variables m k are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 5782	. . . . . 6 |- ( m = 0 -> ( ( N + 1 ) ^ m ) = ( ( N + 1 ) ^ 0 ) )
2	1	oveq2d 5790	. . . . 5 |- ( m = 0 -> ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ m ) ) = ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ 0 ) ) )
3		oveq2 5782	. . . . . 6 |- ( m = 0 -> ( N + m ) = ( N + 0 ) )
4	3	fveq2d 5425	. . . . 5 |- ( m = 0 -> ( ! ` ( N + m ) ) = ( ! ` ( N + 0 ) ) )
5	2, 4	breq12d 3942	. . . 4 |- ( m = 0 -> ( ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ m ) ) <_ ( ! ` ( N + m ) ) <-> ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ 0 ) ) <_ ( ! ` ( N + 0 ) ) ) )
6	5	imbi2d 229	. . 3 |- ( m = 0 -> ( ( N e. NN0 -> ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ m ) ) <_ ( ! ` ( N + m ) ) ) <-> ( N e. NN0 -> ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ 0 ) ) <_ ( ! ` ( N + 0 ) ) ) ) )
7		oveq2 5782	. . . . . 6 |- ( m = k -> ( ( N + 1 ) ^ m ) = ( ( N + 1 ) ^ k ) )
8	7	oveq2d 5790	. . . . 5 |- ( m = k -> ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ m ) ) = ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ k ) ) )
9		oveq2 5782	. . . . . 6 |- ( m = k -> ( N + m ) = ( N + k ) )
10	9	fveq2d 5425	. . . . 5 |- ( m = k -> ( ! ` ( N + m ) ) = ( ! ` ( N + k ) ) )
11	8, 10	breq12d 3942	. . . 4 |- ( m = k -> ( ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ m ) ) <_ ( ! ` ( N + m ) ) <-> ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ k ) ) <_ ( ! ` ( N + k ) ) ) )
12	11	imbi2d 229	. . 3 |- ( m = k -> ( ( N e. NN0 -> ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ m ) ) <_ ( ! ` ( N + m ) ) ) <-> ( N e. NN0 -> ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ k ) ) <_ ( ! ` ( N + k ) ) ) ) )
13		oveq2 5782	. . . . . 6 |- ( m = ( k + 1 ) -> ( ( N + 1 ) ^ m ) = ( ( N + 1 ) ^ ( k + 1 ) ) )
14	13	oveq2d 5790	. . . . 5 |- ( m = ( k + 1 ) -> ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ m ) ) = ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ ( k + 1 ) ) ) )
15		oveq2 5782	. . . . . 6 |- ( m = ( k + 1 ) -> ( N + m ) = ( N + ( k + 1 ) ) )
16	15	fveq2d 5425	. . . . 5 |- ( m = ( k + 1 ) -> ( ! ` ( N + m ) ) = ( ! ` ( N + ( k + 1 ) ) ) )
17	14, 16	breq12d 3942	. . . 4 |- ( m = ( k + 1 ) -> ( ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ m ) ) <_ ( ! ` ( N + m ) ) <-> ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ ( k + 1 ) ) ) <_ ( ! ` ( N + ( k + 1 ) ) ) ) )
18	17	imbi2d 229	. . 3 |- ( m = ( k + 1 ) -> ( ( N e. NN0 -> ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ m ) ) <_ ( ! ` ( N + m ) ) ) <-> ( N e. NN0 -> ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ ( k + 1 ) ) ) <_ ( ! ` ( N + ( k + 1 ) ) ) ) ) )
19		oveq2 5782	. . . . . 6 |- ( m = M -> ( ( N + 1 ) ^ m ) = ( ( N + 1 ) ^ M ) )
20	19	oveq2d 5790	. . . . 5 |- ( m = M -> ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ m ) ) = ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ M ) ) )
21		oveq2 5782	. . . . . 6 |- ( m = M -> ( N + m ) = ( N + M ) )
22	21	fveq2d 5425	. . . . 5 |- ( m = M -> ( ! ` ( N + m ) ) = ( ! ` ( N + M ) ) )
23	20, 22	breq12d 3942	. . . 4 |- ( m = M -> ( ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ m ) ) <_ ( ! ` ( N + m ) ) <-> ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ M ) ) <_ ( ! ` ( N + M ) ) ) )
24	23	imbi2d 229	. . 3 |- ( m = M -> ( ( N e. NN0 -> ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ m ) ) <_ ( ! ` ( N + m ) ) ) <-> ( N e. NN0 -> ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ M ) ) <_ ( ! ` ( N + M ) ) ) ) )
25		faccl 10481	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> ( ! ` N ) e. NN )
26	25	nnred 8733	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> ( ! ` N ) e. RR )
27	26	leidd 8276	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> ( ! ` N ) <_ ( ! ` N ) )
28		nn0cn 8987	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN0 -> N e. CC )
29		peano2cn 7897	. . . . . . . 8 |- ( N e. CC -> ( N + 1 ) e. CC )
30	28, 29	syl 14	. . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> ( N + 1 ) e. CC )
31	30	exp0d 10418	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> ( ( N + 1 ) ^ 0 ) = 1 )
32	31	oveq2d 5790	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ 0 ) ) = ( ( ! ` N ) x. 1 ) )
33	25	nncnd 8734	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> ( ! ` N ) e. CC )
34	33	mulid1d 7783	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> ( ( ! ` N ) x. 1 ) = ( ! ` N ) )
35	32, 34	eqtrd 2172	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ 0 ) ) = ( ! ` N ) )
36	28	addid1d 7911	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> ( N + 0 ) = N )
37	36	fveq2d 5425	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> ( ! ` ( N + 0 ) ) = ( ! ` N ) )
38	27, 35, 37	3brtr4d 3960	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ 0 ) ) <_ ( ! ` ( N + 0 ) ) )
39	26	adantr 274	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( ! ` N ) e. RR )
40		peano2nn0 9017	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. NN0 -> ( N + 1 ) e. NN0 )
41	40	nn0red 9031	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. NN0 -> ( N + 1 ) e. RR )
42		reexpcl 10310	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( N + 1 ) e. RR /\ k e. NN0 ) -> ( ( N + 1 ) ^ k ) e. RR )
43	41, 42	sylan 281	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( ( N + 1 ) ^ k ) e. RR )
44	39, 43	remulcld 7796	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ k ) ) e. RR )
45		nnnn0 8984	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ! ` N ) e. NN -> ( ! ` N ) e. NN0 )
46	45	nn0ge0d 9033	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ! ` N ) e. NN -> 0 <_ ( ! ` N ) )
47	25, 46	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. NN0 -> 0 <_ ( ! ` N ) )
48	47	adantr 274	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> 0 <_ ( ! ` N ) )
49	41	adantr 274	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( N + 1 ) e. RR )
50		simpr 109	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> k e. NN0 )
51	40	nn0ge0d 9033	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. NN0 -> 0 <_ ( N + 1 ) )
52	51	adantr 274	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> 0 <_ ( N + 1 ) )
53	49, 50, 52	expge0d 10442	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> 0 <_ ( ( N + 1 ) ^ k ) )
54	39, 43, 48, 53	mulge0d 8383	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> 0 <_ ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ k ) ) )
55	44, 54	jca 304	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ k ) ) e. RR /\ 0 <_ ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ k ) ) ) )
56		nn0addcl 9012	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( N + k ) e. NN0 )
57		faccl 10481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N + k ) e. NN0 -> ( ! ` ( N + k ) ) e. NN )
58	56, 57	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( ! ` ( N + k ) ) e. NN )
59	58	nnred 8733	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( ! ` ( N + k ) ) e. RR )
60		nn0re 8986	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. NN0 -> N e. RR )
61		peano2nn0 9017	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. NN0 -> ( k + 1 ) e. NN0 )
62	61	nn0red 9031	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. NN0 -> ( k + 1 ) e. RR )
63		readdcl 7746	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. RR /\ ( k + 1 ) e. RR ) -> ( N + ( k + 1 ) ) e. RR )
64	60, 62, 63	syl2an 287	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( N + ( k + 1 ) ) e. RR )
65	49, 52, 64	jca31 307	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( N + 1 ) e. RR /\ 0 <_ ( N + 1 ) ) /\ ( N + ( k + 1 ) ) e. RR ) )
66	55, 59, 65	jca31 307	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ k ) ) e. RR /\ 0 <_ ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ k ) ) ) /\ ( ! ` ( N + k ) ) e. RR ) /\ ( ( ( N + 1 ) e. RR /\ 0 <_ ( N + 1 ) ) /\ ( N + ( k + 1 ) ) e. RR ) ) )
67	66	adantr 274	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) /\ ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ k ) ) <_ ( ! ` ( N + k ) ) ) -> ( ( ( ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ k ) ) e. RR /\ 0 <_ ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ k ) ) ) /\ ( ! ` ( N + k ) ) e. RR ) /\ ( ( ( N + 1 ) e. RR /\ 0 <_ ( N + 1 ) ) /\ ( N + ( k + 1 ) ) e. RR ) ) )
68		simpr 109	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) /\ ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ k ) ) <_ ( ! ` ( N + k ) ) ) -> ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ k ) ) <_ ( ! ` ( N + k ) ) )
69	36	adantr 274	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( N + 0 ) = N )
70		nn0ge0 9002	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. NN0 -> 0 <_ k )
71	70	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> 0 <_ k )
72		nn0re 8986	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k e. NN0 -> k e. RR )
73	72	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> k e. RR )
74	60	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> N e. RR )
75		0re 7766	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 0 e. RR
76		leadd2 8193	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 0 e. RR /\ k e. RR /\ N e. RR ) -> ( 0 <_ k <-> ( N + 0 ) <_ ( N + k ) ) )
77	75, 76	mp3an1 1302	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( k e. RR /\ N e. RR ) -> ( 0 <_ k <-> ( N + 0 ) <_ ( N + k ) ) )
78	73, 74, 77	syl2anc 408	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( 0 <_ k <-> ( N + 0 ) <_ ( N + k ) ) )
79	71, 78	mpbid 146	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( N + 0 ) <_ ( N + k ) )
80	69, 79	eqbrtrrd 3952	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> N <_ ( N + k ) )
81	56	nn0red 9031	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( N + k ) e. RR )
82		1re 7765	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 1 e. RR
83		leadd1 8192	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. RR /\ ( N + k ) e. RR /\ 1 e. RR ) -> ( N <_ ( N + k ) <-> ( N + 1 ) <_ ( ( N + k ) + 1 ) ) )
84	82, 83	mp3an3 1304	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. RR /\ ( N + k ) e. RR ) -> ( N <_ ( N + k ) <-> ( N + 1 ) <_ ( ( N + k ) + 1 ) ) )
85	74, 81, 84	syl2anc 408	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( N <_ ( N + k ) <-> ( N + 1 ) <_ ( ( N + k ) + 1 ) ) )
86	80, 85	mpbid 146	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( N + 1 ) <_ ( ( N + k ) + 1 ) )
87		nn0cn 8987	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. NN0 -> k e. CC )
88		ax-1cn 7713	. . . . . . . . . . . . 13 |- 1 e. CC
89		addass 7750	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. CC /\ k e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( N + k ) + 1 ) = ( N + ( k + 1 ) ) )
90	88, 89	mp3an3 1304	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. CC /\ k e. CC ) -> ( ( N + k ) + 1 ) = ( N + ( k + 1 ) ) )
91	28, 87, 90	syl2an 287	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( ( N + k ) + 1 ) = ( N + ( k + 1 ) ) )
92	86, 91	breqtrd 3954	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( N + 1 ) <_ ( N + ( k + 1 ) ) )
93	92	adantr 274	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) /\ ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ k ) ) <_ ( ! ` ( N + k ) ) ) -> ( N + 1 ) <_ ( N + ( k + 1 ) ) )
94	68, 93	jca 304	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) /\ ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ k ) ) <_ ( ! ` ( N + k ) ) ) -> ( ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ k ) ) <_ ( ! ` ( N + k ) ) /\ ( N + 1 ) <_ ( N + ( k + 1 ) ) ) )
95		lemul12a 8620	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ k ) ) e. RR /\ 0 <_ ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ k ) ) ) /\ ( ! ` ( N + k ) ) e. RR ) /\ ( ( ( N + 1 ) e. RR /\ 0 <_ ( N + 1 ) ) /\ ( N + ( k + 1 ) ) e. RR ) ) -> ( ( ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ k ) ) <_ ( ! ` ( N + k ) ) /\ ( N + 1 ) <_ ( N + ( k + 1 ) ) ) -> ( ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ k ) ) x. ( N + 1 ) ) <_ ( ( ! ` ( N + k ) ) x. ( N + ( k + 1 ) ) ) ) )
96	67, 94, 95	sylc 62	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) /\ ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ k ) ) <_ ( ! ` ( N + k ) ) ) -> ( ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ k ) ) x. ( N + 1 ) ) <_ ( ( ! ` ( N + k ) ) x. ( N + ( k + 1 ) ) ) )
97		expp1 10300	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N + 1 ) e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( ( N + 1 ) ^ ( k + 1 ) ) = ( ( ( N + 1 ) ^ k ) x. ( N + 1 ) ) )
98	30, 97	sylan 281	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( ( N + 1 ) ^ ( k + 1 ) ) = ( ( ( N + 1 ) ^ k ) x. ( N + 1 ) ) )
99	98	oveq2d 5790	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ ( k + 1 ) ) ) = ( ( ! ` N ) x. ( ( ( N + 1 ) ^ k ) x. ( N + 1 ) ) ) )
100	33	adantr 274	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( ! ` N ) e. CC )
101		expcl 10311	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N + 1 ) e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( ( N + 1 ) ^ k ) e. CC )
102	30, 101	sylan 281	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( ( N + 1 ) ^ k ) e. CC )
103	30	adantr 274	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( N + 1 ) e. CC )
104	100, 102, 103	mulassd 7789	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ k ) ) x. ( N + 1 ) ) = ( ( ! ` N ) x. ( ( ( N + 1 ) ^ k ) x. ( N + 1 ) ) ) )
105	99, 104	eqtr4d 2175	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ ( k + 1 ) ) ) = ( ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ k ) ) x. ( N + 1 ) ) )
106	105	adantr 274	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) /\ ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ k ) ) <_ ( ! ` ( N + k ) ) ) -> ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ ( k + 1 ) ) ) = ( ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ k ) ) x. ( N + 1 ) ) )
107		facp1 10476	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N + k ) e. NN0 -> ( ! ` ( ( N + k ) + 1 ) ) = ( ( ! ` ( N + k ) ) x. ( ( N + k ) + 1 ) ) )
108	56, 107	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( ! ` ( ( N + k ) + 1 ) ) = ( ( ! ` ( N + k ) ) x. ( ( N + k ) + 1 ) ) )
109	91	fveq2d 5425	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( ! ` ( ( N + k ) + 1 ) ) = ( ! ` ( N + ( k + 1 ) ) ) )
110	91	oveq2d 5790	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( ( ! ` ( N + k ) ) x. ( ( N + k ) + 1 ) ) = ( ( ! ` ( N + k ) ) x. ( N + ( k + 1 ) ) ) )
111	108, 109, 110	3eqtr3d 2180	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( ! ` ( N + ( k + 1 ) ) ) = ( ( ! ` ( N + k ) ) x. ( N + ( k + 1 ) ) ) )
112	111	adantr 274	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) /\ ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ k ) ) <_ ( ! ` ( N + k ) ) ) -> ( ! ` ( N + ( k + 1 ) ) ) = ( ( ! ` ( N + k ) ) x. ( N + ( k + 1 ) ) ) )
113	96, 106, 112	3brtr4d 3960	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) /\ ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ k ) ) <_ ( ! ` ( N + k ) ) ) -> ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ ( k + 1 ) ) ) <_ ( ! ` ( N + ( k + 1 ) ) ) )
114	113	ex 114	. . . . 5 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ k ) ) <_ ( ! ` ( N + k ) ) -> ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ ( k + 1 ) ) ) <_ ( ! ` ( N + ( k + 1 ) ) ) ) )
115	114	expcom 115	. . . 4 |- ( k e. NN0 -> ( N e. NN0 -> ( ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ k ) ) <_ ( ! ` ( N + k ) ) -> ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ ( k + 1 ) ) ) <_ ( ! ` ( N + ( k + 1 ) ) ) ) ) )
116	115	a2d 26	. . 3 |- ( k e. NN0 -> ( ( N e. NN0 -> ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ k ) ) <_ ( ! ` ( N + k ) ) ) -> ( N e. NN0 -> ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ ( k + 1 ) ) ) <_ ( ! ` ( N + ( k + 1 ) ) ) ) ) )
117	6, 12, 18, 24, 38, 116	nn0ind 9165	. 2 |- ( M e. NN0 -> ( N e. NN0 -> ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ M ) ) <_ ( ! ` ( N + M ) ) ) )
118	117	impcom 124	1 |- ( ( N e. NN0 /\ M e. NN0 ) -> ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ M ) ) <_ ( ! ` ( N + M ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1331   e. wcel 1480   class class class wbr 3929   ` cfv 5123  (class class class)co 5774   CCcc 7618   RRcr 7619   0cc0 7620   1c1 7621   + caddc 7623   x. cmul 7625   <_ cle 7801   NNcn 8720   NN0cn0 8977   ^cexp 10292   !cfa 10471

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-mulrcl 7719  ax-addcom 7720  ax-mulcom 7721  ax-addass 7722  ax-mulass 7723  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-1rid 7727  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-precex 7730  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-apti 7735  ax-pre-ltadd 7736  ax-pre-mulgt0 7737  ax-pre-mulext 7738

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-frec 6288  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-reap 8337  df-ap 8344  df-div 8433  df-inn 8721  df-n0 8978  df-z 9055  df-uz 9327  df-seqfrec 10219  df-exp 10293  df-fac 10472

This theorem is referenced by:  eftlub  11396