Theorem nqtri3or 6380

Description: Trichotomy for positive fractions. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
nqtri3or	⊢ ((A ∈ Q ∧ B ∈ Q) → (A <Q B ∨ A = B ∨ B <Q A))

Proof of Theorem nqtri3or

Dummy variables u v w z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nqqs 6332	. 2 ⊢ Q = ((N × N) / ~Q )
2		breq1 3758	. . 3 ⊢ ([⟨z, w⟩] ~Q = A → ([⟨z, w⟩] ~Q <Q [⟨u, v⟩] ~Q ↔ A <Q [⟨u, v⟩] ~Q ))
3		eqeq1 2043	. . 3 ⊢ ([⟨z, w⟩] ~Q = A → ([⟨z, w⟩] ~Q = [⟨u, v⟩] ~Q ↔ A = [⟨u, v⟩] ~Q ))
4		breq2 3759	. . 3 ⊢ ([⟨z, w⟩] ~Q = A → ([⟨u, v⟩] ~Q <Q [⟨z, w⟩] ~Q ↔ [⟨u, v⟩] ~Q <Q A))
5	2, 3, 4	3orbi123d 1205	. 2 ⊢ ([⟨z, w⟩] ~Q = A → (([⟨z, w⟩] ~Q <Q [⟨u, v⟩] ~Q ∨ [⟨z, w⟩] ~Q = [⟨u, v⟩] ~Q ∨ [⟨u, v⟩] ~Q <Q [⟨z, w⟩] ~Q ) ↔ (A <Q [⟨u, v⟩] ~Q ∨ A = [⟨u, v⟩] ~Q ∨ [⟨u, v⟩] ~Q <Q A)))
6		breq2 3759	. . 3 ⊢ ([⟨u, v⟩] ~Q = B → (A <Q [⟨u, v⟩] ~Q ↔ A <Q B))
7		eqeq2 2046	. . 3 ⊢ ([⟨u, v⟩] ~Q = B → (A = [⟨u, v⟩] ~Q ↔ A = B))
8		breq1 3758	. . 3 ⊢ ([⟨u, v⟩] ~Q = B → ([⟨u, v⟩] ~Q <Q A ↔ B <Q A))
9	6, 7, 8	3orbi123d 1205	. 2 ⊢ ([⟨u, v⟩] ~Q = B → ((A <Q [⟨u, v⟩] ~Q ∨ A = [⟨u, v⟩] ~Q ∨ [⟨u, v⟩] ~Q <Q A) ↔ (A <Q B ∨ A = B ∨ B <Q A)))
10		mulclpi 6312	. . . . 5 ⊢ ((z ∈ N ∧ v ∈ N) → (z ·N v) ∈ N)
11	10	ad2ant2rl 480	. . . 4 ⊢ (((z ∈ N ∧ w ∈ N) ∧ (u ∈ N ∧ v ∈ N)) → (z ·N v) ∈ N)
12		mulclpi 6312	. . . . 5 ⊢ ((w ∈ N ∧ u ∈ N) → (w ·N u) ∈ N)
13	12	ad2ant2lr 479	. . . 4 ⊢ (((z ∈ N ∧ w ∈ N) ∧ (u ∈ N ∧ v ∈ N)) → (w ·N u) ∈ N)
14		pitri3or 6306	. . . 4 ⊢ (((z ·N v) ∈ N ∧ (w ·N u) ∈ N) → ((z ·N v) <N (w ·N u) ∨ (z ·N v) = (w ·N u) ∨ (w ·N u) <N (z ·N v)))
15	11, 13, 14	syl2anc 391	. . 3 ⊢ (((z ∈ N ∧ w ∈ N) ∧ (u ∈ N ∧ v ∈ N)) → ((z ·N v) <N (w ·N u) ∨ (z ·N v) = (w ·N u) ∨ (w ·N u) <N (z ·N v)))
16		ordpipqqs 6358	. . . 4 ⊢ (((z ∈ N ∧ w ∈ N) ∧ (u ∈ N ∧ v ∈ N)) → ([⟨z, w⟩] ~Q <Q [⟨u, v⟩] ~Q ↔ (z ·N v) <N (w ·N u)))
17		enqeceq 6343	. . . 4 ⊢ (((z ∈ N ∧ w ∈ N) ∧ (u ∈ N ∧ v ∈ N)) → ([⟨z, w⟩] ~Q = [⟨u, v⟩] ~Q ↔ (z ·N v) = (w ·N u)))
18		ordpipqqs 6358	. . . . . 6 ⊢ (((u ∈ N ∧ v ∈ N) ∧ (z ∈ N ∧ w ∈ N)) → ([⟨u, v⟩] ~Q <Q [⟨z, w⟩] ~Q ↔ (u ·N w) <N (v ·N z)))
19	18	ancoms 255	. . . . 5 ⊢ (((z ∈ N ∧ w ∈ N) ∧ (u ∈ N ∧ v ∈ N)) → ([⟨u, v⟩] ~Q <Q [⟨z, w⟩] ~Q ↔ (u ·N w) <N (v ·N z)))
20		mulcompig 6315	. . . . . . 7 ⊢ ((w ∈ N ∧ u ∈ N) → (w ·N u) = (u ·N w))
21	20	ad2ant2lr 479	. . . . . 6 ⊢ (((z ∈ N ∧ w ∈ N) ∧ (u ∈ N ∧ v ∈ N)) → (w ·N u) = (u ·N w))
22		mulcompig 6315	. . . . . . 7 ⊢ ((z ∈ N ∧ v ∈ N) → (z ·N v) = (v ·N z))
23	22	ad2ant2rl 480	. . . . . 6 ⊢ (((z ∈ N ∧ w ∈ N) ∧ (u ∈ N ∧ v ∈ N)) → (z ·N v) = (v ·N z))
24	21, 23	breq12d 3768	. . . . 5 ⊢ (((z ∈ N ∧ w ∈ N) ∧ (u ∈ N ∧ v ∈ N)) → ((w ·N u) <N (z ·N v) ↔ (u ·N w) <N (v ·N z)))
25	19, 24	bitr4d 180	. . . 4 ⊢ (((z ∈ N ∧ w ∈ N) ∧ (u ∈ N ∧ v ∈ N)) → ([⟨u, v⟩] ~Q <Q [⟨z, w⟩] ~Q ↔ (w ·N u) <N (z ·N v)))
26	16, 17, 25	3orbi123d 1205	. . 3 ⊢ (((z ∈ N ∧ w ∈ N) ∧ (u ∈ N ∧ v ∈ N)) → (([⟨z, w⟩] ~Q <Q [⟨u, v⟩] ~Q ∨ [⟨z, w⟩] ~Q = [⟨u, v⟩] ~Q ∨ [⟨u, v⟩] ~Q <Q [⟨z, w⟩] ~Q ) ↔ ((z ·N v) <N (w ·N u) ∨ (z ·N v) = (w ·N u) ∨ (w ·N u) <N (z ·N v))))
27	15, 26	mpbird 156	. 2 ⊢ (((z ∈ N ∧ w ∈ N) ∧ (u ∈ N ∧ v ∈ N)) → ([⟨z, w⟩] ~Q <Q [⟨u, v⟩] ~Q ∨ [⟨z, w⟩] ~Q = [⟨u, v⟩] ~Q ∨ [⟨u, v⟩] ~Q <Q [⟨z, w⟩] ~Q ))
28	1, 5, 9, 27	2ecoptocl 6130	1 ⊢ ((A ∈ Q ∧ B ∈ Q) → (A <Q B ∨ A = B ∨ B <Q A))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ↔ wb 98   ∨ w3o 883   = wceq 1242   ∈ wcel 1390  ⟨cop 3370   class class class wbr 3755  (class class class)co 5455  [cec 6040  Ncnpi 6256   ·_N cmi 6258   <_N clti 6259   ~_Q ceq 6263  Qcnq 6264   <_Q cltq 6269

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-mi 6290  df-lti 6291  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-ltnqqs 6337

This theorem is referenced by:  ltsonq  6382  nqtric  6383  addlocprlem  6518  nqprloc  6528  distrlem4prl  6560  distrlem4pru  6561  ltexprlemrl  6584  aptiprleml  6611  aptiprlemu  6612