ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nqtri3or GIF version

Theorem nqtri3or 6451
Description: Trichotomy for positive fractions. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Sep-2019.)
Assertion
Ref Expression
nqtri3or ((𝐴Q𝐵Q) → (𝐴 <Q 𝐵𝐴 = 𝐵𝐵 <Q 𝐴))

Proof of Theorem nqtri3or
Dummy variables 𝑢 𝑣 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-nqqs 6403 . 2 Q = ((N × N) / ~Q )
2 breq1 3764 . . 3 ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q = 𝐴 → ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q <Q [⟨𝑢, 𝑣⟩] ~Q𝐴 <Q [⟨𝑢, 𝑣⟩] ~Q ))
3 eqeq1 2046 . . 3 ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q = 𝐴 → ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q = [⟨𝑢, 𝑣⟩] ~Q𝐴 = [⟨𝑢, 𝑣⟩] ~Q ))
4 breq2 3765 . . 3 ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q = 𝐴 → ([⟨𝑢, 𝑣⟩] ~Q <Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ↔ [⟨𝑢, 𝑣⟩] ~Q <Q 𝐴))
52, 3, 43orbi123d 1206 . 2 ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q = 𝐴 → (([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q <Q [⟨𝑢, 𝑣⟩] ~Q ∨ [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q = [⟨𝑢, 𝑣⟩] ~Q ∨ [⟨𝑢, 𝑣⟩] ~Q <Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ) ↔ (𝐴 <Q [⟨𝑢, 𝑣⟩] ~Q𝐴 = [⟨𝑢, 𝑣⟩] ~Q ∨ [⟨𝑢, 𝑣⟩] ~Q <Q 𝐴)))
6 breq2 3765 . . 3 ([⟨𝑢, 𝑣⟩] ~Q = 𝐵 → (𝐴 <Q [⟨𝑢, 𝑣⟩] ~Q𝐴 <Q 𝐵))
7 eqeq2 2049 . . 3 ([⟨𝑢, 𝑣⟩] ~Q = 𝐵 → (𝐴 = [⟨𝑢, 𝑣⟩] ~Q𝐴 = 𝐵))
8 breq1 3764 . . 3 ([⟨𝑢, 𝑣⟩] ~Q = 𝐵 → ([⟨𝑢, 𝑣⟩] ~Q <Q 𝐴𝐵 <Q 𝐴))
96, 7, 83orbi123d 1206 . 2 ([⟨𝑢, 𝑣⟩] ~Q = 𝐵 → ((𝐴 <Q [⟨𝑢, 𝑣⟩] ~Q𝐴 = [⟨𝑢, 𝑣⟩] ~Q ∨ [⟨𝑢, 𝑣⟩] ~Q <Q 𝐴) ↔ (𝐴 <Q 𝐵𝐴 = 𝐵𝐵 <Q 𝐴)))
10 mulclpi 6383 . . . . 5 ((𝑧N𝑣N) → (𝑧 ·N 𝑣) ∈ N)
1110ad2ant2rl 480 . . . 4 (((𝑧N𝑤N) ∧ (𝑢N𝑣N)) → (𝑧 ·N 𝑣) ∈ N)
12 mulclpi 6383 . . . . 5 ((𝑤N𝑢N) → (𝑤 ·N 𝑢) ∈ N)
1312ad2ant2lr 479 . . . 4 (((𝑧N𝑤N) ∧ (𝑢N𝑣N)) → (𝑤 ·N 𝑢) ∈ N)
14 pitri3or 6377 . . . 4 (((𝑧 ·N 𝑣) ∈ N ∧ (𝑤 ·N 𝑢) ∈ N) → ((𝑧 ·N 𝑣) <N (𝑤 ·N 𝑢) ∨ (𝑧 ·N 𝑣) = (𝑤 ·N 𝑢) ∨ (𝑤 ·N 𝑢) <N (𝑧 ·N 𝑣)))
1511, 13, 14syl2anc 391 . . 3 (((𝑧N𝑤N) ∧ (𝑢N𝑣N)) → ((𝑧 ·N 𝑣) <N (𝑤 ·N 𝑢) ∨ (𝑧 ·N 𝑣) = (𝑤 ·N 𝑢) ∨ (𝑤 ·N 𝑢) <N (𝑧 ·N 𝑣)))
16 ordpipqqs 6429 . . . 4 (((𝑧N𝑤N) ∧ (𝑢N𝑣N)) → ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q <Q [⟨𝑢, 𝑣⟩] ~Q ↔ (𝑧 ·N 𝑣) <N (𝑤 ·N 𝑢)))
17 enqeceq 6414 . . . 4 (((𝑧N𝑤N) ∧ (𝑢N𝑣N)) → ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q = [⟨𝑢, 𝑣⟩] ~Q ↔ (𝑧 ·N 𝑣) = (𝑤 ·N 𝑢)))
18 ordpipqqs 6429 . . . . . 6 (((𝑢N𝑣N) ∧ (𝑧N𝑤N)) → ([⟨𝑢, 𝑣⟩] ~Q <Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ↔ (𝑢 ·N 𝑤) <N (𝑣 ·N 𝑧)))
1918ancoms 255 . . . . 5 (((𝑧N𝑤N) ∧ (𝑢N𝑣N)) → ([⟨𝑢, 𝑣⟩] ~Q <Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ↔ (𝑢 ·N 𝑤) <N (𝑣 ·N 𝑧)))
20 mulcompig 6386 . . . . . . 7 ((𝑤N𝑢N) → (𝑤 ·N 𝑢) = (𝑢 ·N 𝑤))
2120ad2ant2lr 479 . . . . . 6 (((𝑧N𝑤N) ∧ (𝑢N𝑣N)) → (𝑤 ·N 𝑢) = (𝑢 ·N 𝑤))
22 mulcompig 6386 . . . . . . 7 ((𝑧N𝑣N) → (𝑧 ·N 𝑣) = (𝑣 ·N 𝑧))
2322ad2ant2rl 480 . . . . . 6 (((𝑧N𝑤N) ∧ (𝑢N𝑣N)) → (𝑧 ·N 𝑣) = (𝑣 ·N 𝑧))
2421, 23breq12d 3774 . . . . 5 (((𝑧N𝑤N) ∧ (𝑢N𝑣N)) → ((𝑤 ·N 𝑢) <N (𝑧 ·N 𝑣) ↔ (𝑢 ·N 𝑤) <N (𝑣 ·N 𝑧)))
2519, 24bitr4d 180 . . . 4 (((𝑧N𝑤N) ∧ (𝑢N𝑣N)) → ([⟨𝑢, 𝑣⟩] ~Q <Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ↔ (𝑤 ·N 𝑢) <N (𝑧 ·N 𝑣)))
2616, 17, 253orbi123d 1206 . . 3 (((𝑧N𝑤N) ∧ (𝑢N𝑣N)) → (([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q <Q [⟨𝑢, 𝑣⟩] ~Q ∨ [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q = [⟨𝑢, 𝑣⟩] ~Q ∨ [⟨𝑢, 𝑣⟩] ~Q <Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ) ↔ ((𝑧 ·N 𝑣) <N (𝑤 ·N 𝑢) ∨ (𝑧 ·N 𝑣) = (𝑤 ·N 𝑢) ∨ (𝑤 ·N 𝑢) <N (𝑧 ·N 𝑣))))
2715, 26mpbird 156 . 2 (((𝑧N𝑤N) ∧ (𝑢N𝑣N)) → ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q <Q [⟨𝑢, 𝑣⟩] ~Q ∨ [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q = [⟨𝑢, 𝑣⟩] ~Q ∨ [⟨𝑢, 𝑣⟩] ~Q <Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ))
281, 5, 9, 272ecoptocl 6157 1 ((𝐴Q𝐵Q) → (𝐴 <Q 𝐵𝐴 = 𝐵𝐵 <Q 𝐴))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 97  wb 98  w3o 884   = wceq 1243  wcel 1393  cop 3375   class class class wbr 3761  (class class class)co 5475  [cec 6067  Ncnpi 6327   ·N cmi 6329   <N clti 6330   ~Q ceq 6334  Qcnq 6335   <Q cltq 6340
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3869  ax-sep 3872  ax-nul 3880  ax-pow 3924  ax-pr 3941  ax-un 4142  ax-setind 4232  ax-iinf 4274
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-ral 2308  df-rex 2309  df-reu 2310  df-rab 2312  df-v 2556  df-sbc 2762  df-csb 2850  df-dif 2917  df-un 2919  df-in 2921  df-ss 2928  df-nul 3222  df-pw 3358  df-sn 3378  df-pr 3379  df-op 3381  df-uni 3578  df-int 3613  df-iun 3656  df-br 3762  df-opab 3816  df-mpt 3817  df-tr 3852  df-eprel 4023  df-id 4027  df-iord 4075  df-on 4077  df-suc 4080  df-iom 4277  df-xp 4314  df-rel 4315  df-cnv 4316  df-co 4317  df-dm 4318  df-rn 4319  df-res 4320  df-ima 4321  df-iota 4830  df-fun 4867  df-fn 4868  df-f 4869  df-f1 4870  df-fo 4871  df-f1o 4872  df-fv 4873  df-ov 5478  df-oprab 5479  df-mpt2 5480  df-1st 5730  df-2nd 5731  df-recs 5883  df-irdg 5920  df-oadd 5968  df-omul 5969  df-er 6069  df-ec 6071  df-qs 6075  df-ni 6359  df-mi 6361  df-lti 6362  df-enq 6402  df-nqqs 6403  df-ltnqqs 6408
This theorem is referenced by:  ltsonq  6453  nqtric  6454  addlocprlem  6590  nqprloc  6600  distrlem4prl  6639  distrlem4pru  6640  ltexprlemrl  6665  aptiprleml  6694  aptiprlemu  6695
  Copyright terms: Public domain W3C validator