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Theorem ltexprlemrl 6584
 Description: Lemma for ltexpri 6587. Reverse directon of our result for lower cuts. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Dec-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
ltexprlem.1 𝐶 = ⟨{x Qy(y (2ndA) (y +Q x) (1stB))}, {x Qy(y (1stA) (y +Q x) (2ndB))}⟩
Assertion
Ref Expression
ltexprlemrl (A<P B → (1stB) ⊆ (1st ‘(A +P 𝐶)))
Distinct variable groups:   x,y,A   x,B,y   x,𝐶,y

Proof of Theorem ltexprlemrl
Dummy variables z w u v f g 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ltrelpr 6488 . . . . . . . 8 <P ⊆ (P × P)
21brel 4335 . . . . . . 7 (A<P B → (A P B P))
32simprd 107 . . . . . 6 (A<P BB P)
4 prop 6458 . . . . . 6 (B P → ⟨(1stB), (2ndB)⟩ P)
53, 4syl 14 . . . . 5 (A<P B → ⟨(1stB), (2ndB)⟩ P)
6 prnmaddl 6473 . . . . 5 ((⟨(1stB), (2ndB)⟩ P w (1stB)) → v Q (w +Q v) (1stB))
75, 6sylan 267 . . . 4 ((A<P B w (1stB)) → v Q (w +Q v) (1stB))
82simpld 105 . . . . . . . 8 (A<P BA P)
9 prop 6458 . . . . . . . 8 (A P → ⟨(1stA), (2ndA)⟩ P)
108, 9syl 14 . . . . . . 7 (A<P B → ⟨(1stA), (2ndA)⟩ P)
11 prarloc 6486 . . . . . . 7 ((⟨(1stA), (2ndA)⟩ P v Q) → z (1stA)u (2ndA)u <Q (z +Q v))
1210, 11sylan 267 . . . . . 6 ((A<P B v Q) → z (1stA)u (2ndA)u <Q (z +Q v))
1312ad2ant2r 478 . . . . 5 (((A<P B w (1stB)) (v Q (w +Q v) (1stB))) → z (1stA)u (2ndA)u <Q (z +Q v))
14 simplll 485 . . . . . . . . . . 11 ((((A<P B w (1stB)) (v Q (w +Q v) (1stB))) (z (1stA) u (2ndA))) → A<P B)
1514adantr 261 . . . . . . . . . 10 (((((A<P B w (1stB)) (v Q (w +Q v) (1stB))) (z (1stA) u (2ndA))) u <Q (z +Q v)) → A<P B)
16 simplrl 487 . . . . . . . . . 10 (((((A<P B w (1stB)) (v Q (w +Q v) (1stB))) (z (1stA) u (2ndA))) u <Q (z +Q v)) → z (1stA))
17 elprnql 6464 . . . . . . . . . . 11 ((⟨(1stA), (2ndA)⟩ P z (1stA)) → z Q)
1810, 17sylan 267 . . . . . . . . . 10 ((A<P B z (1stA)) → z Q)
1915, 16, 18syl2anc 391 . . . . . . . . 9 (((((A<P B w (1stB)) (v Q (w +Q v) (1stB))) (z (1stA) u (2ndA))) u <Q (z +Q v)) → z Q)
20 elprnql 6464 . . . . . . . . . . 11 ((⟨(1stB), (2ndB)⟩ P w (1stB)) → w Q)
215, 20sylan 267 . . . . . . . . . 10 ((A<P B w (1stB)) → w Q)
2221ad3antrrr 461 . . . . . . . . 9 (((((A<P B w (1stB)) (v Q (w +Q v) (1stB))) (z (1stA) u (2ndA))) u <Q (z +Q v)) → w Q)
23 nqtri3or 6380 . . . . . . . . 9 ((z Q w Q) → (z <Q w z = w w <Q z))
2419, 22, 23syl2anc 391 . . . . . . . 8 (((((A<P B w (1stB)) (v Q (w +Q v) (1stB))) (z (1stA) u (2ndA))) u <Q (z +Q v)) → (z <Q w z = w w <Q z))
25 ltexnqq 6391 . . . . . . . . . . . . 13 ((z Q w Q) → (z <Q w𝑠 Q (z +Q 𝑠) = w))
2619, 22, 25syl2anc 391 . . . . . . . . . . . 12 (((((A<P B w (1stB)) (v Q (w +Q v) (1stB))) (z (1stA) u (2ndA))) u <Q (z +Q v)) → (z <Q w𝑠 Q (z +Q 𝑠) = w))
2726biimpa 280 . . . . . . . . . . 11 ((((((A<P B w (1stB)) (v Q (w +Q v) (1stB))) (z (1stA) u (2ndA))) u <Q (z +Q v)) z <Q w) → 𝑠 Q (z +Q 𝑠) = w)
28 simprr 484 . . . . . . . . . . . 12 (((((((A<P B w (1stB)) (v Q (w +Q v) (1stB))) (z (1stA) u (2ndA))) u <Q (z +Q v)) z <Q w) (𝑠 Q (z +Q 𝑠) = w)) → (z +Q 𝑠) = w)
2916ad2antrr 457 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((A<P B w (1stB)) (v Q (w +Q v) (1stB))) (z (1stA) u (2ndA))) u <Q (z +Q v)) z <Q w) (𝑠 Q (z +Q 𝑠) = w)) → z (1stA))
30 simprl 483 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((A<P B w (1stB)) (v Q (w +Q v) (1stB))) (z (1stA) u (2ndA))) u <Q (z +Q v)) z <Q w) (𝑠 Q (z +Q 𝑠) = w)) → 𝑠 Q)
31 simpr 103 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((A<P B w (1stB)) (v Q (w +Q v) (1stB))) (z (1stA) u (2ndA))) u <Q (z +Q v)) → u <Q (z +Q v))
32 simplrr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((A<P B w (1stB)) (v Q (w +Q v) (1stB))) (z (1stA) u (2ndA))) u <Q (z +Q v)) → u (2ndA))
33 prcunqu 6468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((⟨(1stA), (2ndA)⟩ P u (2ndA)) → (u <Q (z +Q v) → (z +Q v) (2ndA)))
3410, 33sylan 267 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((A<P B u (2ndA)) → (u <Q (z +Q v) → (z +Q v) (2ndA)))
3515, 32, 34syl2anc 391 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((A<P B w (1stB)) (v Q (w +Q v) (1stB))) (z (1stA) u (2ndA))) u <Q (z +Q v)) → (u <Q (z +Q v) → (z +Q v) (2ndA)))
3631, 35mpd 13 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((A<P B w (1stB)) (v Q (w +Q v) (1stB))) (z (1stA) u (2ndA))) u <Q (z +Q v)) → (z +Q v) (2ndA))
3736ad2antrr 457 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((A<P B w (1stB)) (v Q (w +Q v) (1stB))) (z (1stA) u (2ndA))) u <Q (z +Q v)) z <Q w) (𝑠 Q (z +Q 𝑠) = w)) → (z +Q v) (2ndA))
3819ad2antrr 457 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((A<P B w (1stB)) (v Q (w +Q v) (1stB))) (z (1stA) u (2ndA))) u <Q (z +Q v)) z <Q w) (𝑠 Q (z +Q 𝑠) = w)) → z Q)
39 simplrl 487 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((A<P B w (1stB)) (v Q (w +Q v) (1stB))) (z (1stA) u (2ndA))) → v Q)
4039ad3antrrr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((A<P B w (1stB)) (v Q (w +Q v) (1stB))) (z (1stA) u (2ndA))) u <Q (z +Q v)) z <Q w) (𝑠 Q (z +Q 𝑠) = w)) → v Q)
41 addcomnqg 6365 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((f Q g Q) → (f +Q g) = (g +Q f))
4241adantl 262 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((A<P B w (1stB)) (v Q (w +Q v) (1stB))) (z (1stA) u (2ndA))) u <Q (z +Q v)) z <Q w) (𝑠 Q (z +Q 𝑠) = w)) (f Q g Q)) → (f +Q g) = (g +Q f))
43 addassnqg 6366 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((f Q g Q Q) → ((f +Q g) +Q ) = (f +Q (g +Q )))
4443adantl 262 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((A<P B w (1stB)) (v Q (w +Q v) (1stB))) (z (1stA) u (2ndA))) u <Q (z +Q v)) z <Q w) (𝑠 Q (z +Q 𝑠) = w)) (f Q g Q Q)) → ((f +Q g) +Q ) = (f +Q (g +Q )))
4538, 40, 30, 42, 44caov32d 5623 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((A<P B w (1stB)) (v Q (w +Q v) (1stB))) (z (1stA) u (2ndA))) u <Q (z +Q v)) z <Q w) (𝑠 Q (z +Q 𝑠) = w)) → ((z +Q v) +Q 𝑠) = ((z +Q 𝑠) +Q v))
46 simplrr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((A<P B w (1stB)) (v Q (w +Q v) (1stB))) (z (1stA) u (2ndA))) → (w +Q v) (1stB))
4746ad3antrrr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((A<P B w (1stB)) (v Q (w +Q v) (1stB))) (z (1stA) u (2ndA))) u <Q (z +Q v)) z <Q w) (𝑠 Q (z +Q 𝑠) = w)) → (w +Q v) (1stB))
48 oveq1 5462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((z +Q 𝑠) = w → ((z +Q 𝑠) +Q v) = (w +Q v))
4948eleq1d 2103 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((z +Q 𝑠) = w → (((z +Q 𝑠) +Q v) (1stB) ↔ (w +Q v) (1stB)))
5028, 49syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((A<P B w (1stB)) (v Q (w +Q v) (1stB))) (z (1stA) u (2ndA))) u <Q (z +Q v)) z <Q w) (𝑠 Q (z +Q 𝑠) = w)) → (((z +Q 𝑠) +Q v) (1stB) ↔ (w +Q v) (1stB)))
5147, 50mpbird 156 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((A<P B w (1stB)) (v Q (w +Q v) (1stB))) (z (1stA) u (2ndA))) u <Q (z +Q v)) z <Q w) (𝑠 Q (z +Q 𝑠) = w)) → ((z +Q 𝑠) +Q v) (1stB))
5245, 51eqeltrd 2111 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((A<P B w (1stB)) (v Q (w +Q v) (1stB))) (z (1stA) u (2ndA))) u <Q (z +Q v)) z <Q w) (𝑠 Q (z +Q 𝑠) = w)) → ((z +Q v) +Q 𝑠) (1stB))
53 eleq1 2097 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (y = (z +Q v) → (y (2ndA) ↔ (z +Q v) (2ndA)))
54 oveq1 5462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (y = (z +Q v) → (y +Q 𝑠) = ((z +Q v) +Q 𝑠))
5554eleq1d 2103 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (y = (z +Q v) → ((y +Q 𝑠) (1stB) ↔ ((z +Q v) +Q 𝑠) (1stB)))
5653, 55anbi12d 442 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (y = (z +Q v) → ((y (2ndA) (y +Q 𝑠) (1stB)) ↔ ((z +Q v) (2ndA) ((z +Q v) +Q 𝑠) (1stB))))
5756spcegv 2635 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((z +Q v) (2ndA) → (((z +Q v) (2ndA) ((z +Q v) +Q 𝑠) (1stB)) → y(y (2ndA) (y +Q 𝑠) (1stB))))
5857anabsi5 513 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((z +Q v) (2ndA) ((z +Q v) +Q 𝑠) (1stB)) → y(y (2ndA) (y +Q 𝑠) (1stB)))
5937, 52, 58syl2anc 391 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((A<P B w (1stB)) (v Q (w +Q v) (1stB))) (z (1stA) u (2ndA))) u <Q (z +Q v)) z <Q w) (𝑠 Q (z +Q 𝑠) = w)) → y(y (2ndA) (y +Q 𝑠) (1stB)))
60 ltexprlem.1 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐶 = ⟨{x Qy(y (2ndA) (y +Q x) (1stB))}, {x Qy(y (1stA) (y +Q x) (2ndB))}⟩
6160ltexprlemell 6572 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑠 (1st𝐶) ↔ (𝑠 Q y(y (2ndA) (y +Q 𝑠) (1stB))))
6230, 59, 61sylanbrc 394 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((A<P B w (1stB)) (v Q (w +Q v) (1stB))) (z (1stA) u (2ndA))) u <Q (z +Q v)) z <Q w) (𝑠 Q (z +Q 𝑠) = w)) → 𝑠 (1st𝐶))
6315, 8syl 14 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((A<P B w (1stB)) (v Q (w +Q v) (1stB))) (z (1stA) u (2ndA))) u <Q (z +Q v)) → A P)
6463ad2antrr 457 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((A<P B w (1stB)) (v Q (w +Q v) (1stB))) (z (1stA) u (2ndA))) u <Q (z +Q v)) z <Q w) (𝑠 Q (z +Q 𝑠) = w)) → A P)
6560ltexprlempr 6582 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (A<P B𝐶 P)
6615, 65syl 14 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((A<P B w (1stB)) (v Q (w +Q v) (1stB))) (z (1stA) u (2ndA))) u <Q (z +Q v)) → 𝐶 P)
6766ad2antrr 457 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((A<P B w (1stB)) (v Q (w +Q v) (1stB))) (z (1stA) u (2ndA))) u <Q (z +Q v)) z <Q w) (𝑠 Q (z +Q 𝑠) = w)) → 𝐶 P)
68 df-iplp 6451 . . . . . . . . . . . . . . 15 +P = (x P, w P ↦ ⟨{z Qf Q v Q (f (1stx) v (1stw) z = (f +Q v))}, {z Qf Q v Q (f (2ndx) v (2ndw) z = (f +Q v))}⟩)
69 addclnq 6359 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((f Q v Q) → (f +Q v) Q)
7068, 69genpprecll 6497 . . . . . . . . . . . . . 14 ((A P 𝐶 P) → ((z (1stA) 𝑠 (1st𝐶)) → (z +Q 𝑠) (1st ‘(A +P 𝐶))))
7164, 67, 70syl2anc 391 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((A<P B w (1stB)) (v Q (w +Q v) (1stB))) (z (1stA) u (2ndA))) u <Q (z +Q v)) z <Q w) (𝑠 Q (z +Q 𝑠) = w)) → ((z (1stA) 𝑠 (1st𝐶)) → (z +Q 𝑠) (1st ‘(A +P 𝐶))))
7229, 62, 71mp2and 409 . . . . . . . . . . . 12 (((((((A<P B w (1stB)) (v Q (w +Q v) (1stB))) (z (1stA) u (2ndA))) u <Q (z +Q v)) z <Q w) (𝑠 Q (z +Q 𝑠) = w)) → (z +Q 𝑠) (1st ‘(A +P 𝐶)))
7328, 72eqeltrrd 2112 . . . . . . . . . . 11 (((((((A<P B w (1stB)) (v Q (w +Q v) (1stB))) (z (1stA) u (2ndA))) u <Q (z +Q v)) z <Q w) (𝑠 Q (z +Q 𝑠) = w)) → w (1st ‘(A +P 𝐶)))
7427, 73rexlimddv 2431 . . . . . . . . . 10 ((((((A<P B w (1stB)) (v Q (w +Q v) (1stB))) (z (1stA) u (2ndA))) u <Q (z +Q v)) z <Q w) → w (1st ‘(A +P 𝐶)))
7574ex 108 . . . . . . . . 9 (((((A<P B w (1stB)) (v Q (w +Q v) (1stB))) (z (1stA) u (2ndA))) u <Q (z +Q v)) → (z <Q ww (1st ‘(A +P 𝐶))))
7614ad2antrr 457 . . . . . . . . . . 11 ((((((A<P B w (1stB)) (v Q (w +Q v) (1stB))) (z (1stA) u (2ndA))) u <Q (z +Q v)) z = w) → A<P B)
77 simpr 103 . . . . . . . . . . . 12 ((((((A<P B w (1stB)) (v Q (w +Q v) (1stB))) (z (1stA) u (2ndA))) u <Q (z +Q v)) z = w) → z = w)
7816adantr 261 . . . . . . . . . . . 12 ((((((A<P B w (1stB)) (v Q (w +Q v) (1stB))) (z (1stA) u (2ndA))) u <Q (z +Q v)) z = w) → z (1stA))
7977, 78eqeltrrd 2112 . . . . . . . . . . 11 ((((((A<P B w (1stB)) (v Q (w +Q v) (1stB))) (z (1stA) u (2ndA))) u <Q (z +Q v)) z = w) → w (1stA))
80 ltaddpr 6571 . . . . . . . . . . . . 13 ((A P 𝐶 P) → A<P (A +P 𝐶))
818, 65, 80syl2anc 391 . . . . . . . . . . . 12 (A<P BA<P (A +P 𝐶))
82 ltprordil 6565 . . . . . . . . . . . . 13 (A<P (A +P 𝐶) → (1stA) ⊆ (1st ‘(A +P 𝐶)))
8382sseld 2938 . . . . . . . . . . . 12 (A<P (A +P 𝐶) → (w (1stA) → w (1st ‘(A +P 𝐶))))
8481, 83syl 14 . . . . . . . . . . 11 (A<P B → (w (1stA) → w (1st ‘(A +P 𝐶))))
8576, 79, 84sylc 56 . . . . . . . . . 10 ((((((A<P B w (1stB)) (v Q (w +Q v) (1stB))) (z (1stA) u (2ndA))) u <Q (z +Q v)) z = w) → w (1st ‘(A +P 𝐶)))
8685ex 108 . . . . . . . . 9 (((((A<P B w (1stB)) (v Q (w +Q v) (1stB))) (z (1stA) u (2ndA))) u <Q (z +Q v)) → (z = ww (1st ‘(A +P 𝐶))))
87 prcdnql 6467 . . . . . . . . . . . 12 ((⟨(1stA), (2ndA)⟩ P z (1stA)) → (w <Q zw (1stA)))
8810, 87sylan 267 . . . . . . . . . . 11 ((A<P B z (1stA)) → (w <Q zw (1stA)))
8915, 16, 88syl2anc 391 . . . . . . . . . 10 (((((A<P B w (1stB)) (v Q (w +Q v) (1stB))) (z (1stA) u (2ndA))) u <Q (z +Q v)) → (w <Q zw (1stA)))
9015, 89, 84sylsyld 52 . . . . . . . . 9 (((((A<P B w (1stB)) (v Q (w +Q v) (1stB))) (z (1stA) u (2ndA))) u <Q (z +Q v)) → (w <Q zw (1st ‘(A +P 𝐶))))
9175, 86, 903jaod 1198 . . . . . . . 8 (((((A<P B w (1stB)) (v Q (w +Q v) (1stB))) (z (1stA) u (2ndA))) u <Q (z +Q v)) → ((z <Q w z = w w <Q z) → w (1st ‘(A +P 𝐶))))
9224, 91mpd 13 . . . . . . 7 (((((A<P B w (1stB)) (v Q (w +Q v) (1stB))) (z (1stA) u (2ndA))) u <Q (z +Q v)) → w (1st ‘(A +P 𝐶)))
9392ex 108 . . . . . 6 ((((A<P B w (1stB)) (v Q (w +Q v) (1stB))) (z (1stA) u (2ndA))) → (u <Q (z +Q v) → w (1st ‘(A +P 𝐶))))
9493rexlimdvva 2434 . . . . 5 (((A<P B w (1stB)) (v Q (w +Q v) (1stB))) → (z (1stA)u (2ndA)u <Q (z +Q v) → w (1st ‘(A +P 𝐶))))
9513, 94mpd 13 . . . 4 (((A<P B w (1stB)) (v Q (w +Q v) (1stB))) → w (1st ‘(A +P 𝐶)))
967, 95rexlimddv 2431 . . 3 ((A<P B w (1stB)) → w (1st ‘(A +P 𝐶)))
9796ex 108 . 2 (A<P B → (w (1stB) → w (1st ‘(A +P 𝐶))))
9897ssrdv 2945 1 (A<P B → (1stB) ⊆ (1st ‘(A +P 𝐶)))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ↔ wb 98   ∨ w3o 883   ∧ w3a 884   = wceq 1242  ∃wex 1378   ∈ wcel 1390  ∃wrex 2301  {crab 2304   ⊆ wss 2911  ⟨cop 3370   class class class wbr 3755  ‘cfv 4845  (class class class)co 5455  1st c1st 5707  2nd c2nd 5708  Qcnq 6264   +Q cplq 6266
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