Theorem reccn2ap 11082

Description: The reciprocal function is continuous. The class 𝑇 is just for convenience in writing the proof and typically would be passed in as an instance of eqid 2139. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Feb-2014.) Using apart, infimum of pair. (Revised by Jim Kingdon, 26-May-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
reccn2ap.t	⊢ 𝑇 = (inf({1, ((abs‘𝐴) · 𝐵)}, ℝ, < ) · ((abs‘𝐴) / 2))

Assertion

Ref	Expression
reccn2ap	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((1 / 𝑧) − (1 / 𝐴))) < 𝐵))

Distinct variable groups:   𝑦,𝑤,𝑧,𝐴   𝑤,𝐵,𝑦,𝑧   𝑦,𝑇,𝑧

Allowed substitution hint:   𝑇(𝑤)

Proof of Theorem reccn2ap

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reccn2ap.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = (inf({1, ((abs‘𝐴) · 𝐵)}, ℝ, < ) · ((abs‘𝐴) / 2))
2		1red 7781	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 1 ∈ ℝ)
3		simp1 981	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℂ)
4		simp2 982	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐴 # 0)
5	3, 4	absrpclapd 10960	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ+)
6		simp3 983	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ+)
7	5, 6	rpmulcld 9500	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((abs‘𝐴) · 𝐵) ∈ ℝ+)
8	7	rpred 9483	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((abs‘𝐴) · 𝐵) ∈ ℝ)
9		mincl 11002	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ ((abs‘𝐴) · 𝐵) ∈ ℝ) → inf({1, ((abs‘𝐴) · 𝐵)}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
10	2, 8, 9	syl2anc 408	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → inf({1, ((abs‘𝐴) · 𝐵)}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
11	7	rpgt0d 9486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 0 < ((abs‘𝐴) · 𝐵))
12		0lt1 7889	. . . . . . 7 ⊢ 0 < 1
13	11, 12	jctil 310	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (0 < 1 ∧ 0 < ((abs‘𝐴) · 𝐵)))
14		0red 7767	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 0 ∈ ℝ)
15		ltmininf 11006	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ ((abs‘𝐴) · 𝐵) ∈ ℝ) → (0 < inf({1, ((abs‘𝐴) · 𝐵)}, ℝ, < ) ↔ (0 < 1 ∧ 0 < ((abs‘𝐴) · 𝐵))))
16	14, 2, 8, 15	syl3anc 1216	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (0 < inf({1, ((abs‘𝐴) · 𝐵)}, ℝ, < ) ↔ (0 < 1 ∧ 0 < ((abs‘𝐴) · 𝐵))))
17	13, 16	mpbird 166	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 0 < inf({1, ((abs‘𝐴) · 𝐵)}, ℝ, < ))
18	10, 17	elrpd 9481	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → inf({1, ((abs‘𝐴) · 𝐵)}, ℝ, < ) ∈ ℝ+)
19	5	rphalfcld 9496	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((abs‘𝐴) / 2) ∈ ℝ+)
20	18, 19	rpmulcld 9500	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (inf({1, ((abs‘𝐴) · 𝐵)}, ℝ, < ) · ((abs‘𝐴) / 2)) ∈ ℝ+)
21	1, 20	eqeltrid 2226	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝑇 ∈ ℝ+)
22	3	adantr 274	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → 𝐴 ∈ ℂ)
23		simprl 520	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0})
24		breq1 3932	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → (𝑤 # 0 ↔ 𝑧 # 0))
25	24	elrab 2840	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ↔ (𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑧 # 0))
26	23, 25	sylib 121	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑧 # 0))
27	26	simpld 111	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → 𝑧 ∈ ℂ)
28	22, 27	mulcld 7786	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (𝐴 · 𝑧) ∈ ℂ)
29	4	adantr 274	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → 𝐴 # 0)
30	26	simprd 113	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → 𝑧 # 0)
31	22, 27, 29, 30	mulap0d 8419	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (𝐴 · 𝑧) # 0)
32	22, 27, 28, 31	divsubdirapd 8590	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → ((𝐴 − 𝑧) / (𝐴 · 𝑧)) = ((𝐴 / (𝐴 · 𝑧)) − (𝑧 / (𝐴 · 𝑧))))
33	22	mulid1d 7783	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (𝐴 · 1) = 𝐴)
34	33	oveq1d 5789	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → ((𝐴 · 1) / (𝐴 · 𝑧)) = (𝐴 / (𝐴 · 𝑧)))
35		1cnd 7782	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → 1 ∈ ℂ)
36	35, 27, 22, 30, 29	divcanap5d 8577	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → ((𝐴 · 1) / (𝐴 · 𝑧)) = (1 / 𝑧))
37	34, 36	eqtr3d 2174	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (𝐴 / (𝐴 · 𝑧)) = (1 / 𝑧))
38	27	mulid1d 7783	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (𝑧 · 1) = 𝑧)
39	27, 22	mulcomd 7787	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (𝑧 · 𝐴) = (𝐴 · 𝑧))
40	38, 39	oveq12d 5792	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → ((𝑧 · 1) / (𝑧 · 𝐴)) = (𝑧 / (𝐴 · 𝑧)))
41	35, 22, 27, 29, 30	divcanap5d 8577	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → ((𝑧 · 1) / (𝑧 · 𝐴)) = (1 / 𝐴))
42	40, 41	eqtr3d 2174	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (𝑧 / (𝐴 · 𝑧)) = (1 / 𝐴))
43	37, 42	oveq12d 5792	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → ((𝐴 / (𝐴 · 𝑧)) − (𝑧 / (𝐴 · 𝑧))) = ((1 / 𝑧) − (1 / 𝐴)))
44	32, 43	eqtrd 2172	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → ((𝐴 − 𝑧) / (𝐴 · 𝑧)) = ((1 / 𝑧) − (1 / 𝐴)))
45	44	fveq2d 5425	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (abs‘((𝐴 − 𝑧) / (𝐴 · 𝑧))) = (abs‘((1 / 𝑧) − (1 / 𝐴))))
46	22, 27	subcld 8073	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (𝐴 − 𝑧) ∈ ℂ)
47	46, 28, 31	absdivapd 10967	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (abs‘((𝐴 − 𝑧) / (𝐴 · 𝑧))) = ((abs‘(𝐴 − 𝑧)) / (abs‘(𝐴 · 𝑧))))
48	45, 47	eqtr3d 2174	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (abs‘((1 / 𝑧) − (1 / 𝐴))) = ((abs‘(𝐴 − 𝑧)) / (abs‘(𝐴 · 𝑧))))
49	46	abscld 10953	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (abs‘(𝐴 − 𝑧)) ∈ ℝ)
50	21	adantr 274	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → 𝑇 ∈ ℝ+)
51	50	rpred 9483	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → 𝑇 ∈ ℝ)
52	28	abscld 10953	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (abs‘(𝐴 · 𝑧)) ∈ ℝ)
53	6	rpred 9483	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ)
54	53	adantr 274	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → 𝐵 ∈ ℝ)
55	52, 54	remulcld 7796	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → ((abs‘(𝐴 · 𝑧)) · 𝐵) ∈ ℝ)
56	22, 27	abssubd 10965	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (abs‘(𝐴 − 𝑧)) = (abs‘(𝑧 − 𝐴)))
57		simprr 521	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)
58	56, 57	eqbrtrd 3950	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (abs‘(𝐴 − 𝑧)) < 𝑇)
59	7	adantr 274	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → ((abs‘𝐴) · 𝐵) ∈ ℝ+)
60	59	rpred 9483	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → ((abs‘𝐴) · 𝐵) ∈ ℝ)
61	19	adantr 274	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → ((abs‘𝐴) / 2) ∈ ℝ+)
62	61	rpred 9483	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → ((abs‘𝐴) / 2) ∈ ℝ)
63	60, 62	remulcld 7796	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (((abs‘𝐴) · 𝐵) · ((abs‘𝐴) / 2)) ∈ ℝ)
64		1re 7765	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℝ
65		min2inf 11004	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ ((abs‘𝐴) · 𝐵) ∈ ℝ) → inf({1, ((abs‘𝐴) · 𝐵)}, ℝ, < ) ≤ ((abs‘𝐴) · 𝐵))
66	64, 60, 65	sylancr 410	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → inf({1, ((abs‘𝐴) · 𝐵)}, ℝ, < ) ≤ ((abs‘𝐴) · 𝐵))
67	10	adantr 274	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → inf({1, ((abs‘𝐴) · 𝐵)}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
68	67, 60, 61	lemul1d 9527	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (inf({1, ((abs‘𝐴) · 𝐵)}, ℝ, < ) ≤ ((abs‘𝐴) · 𝐵) ↔ (inf({1, ((abs‘𝐴) · 𝐵)}, ℝ, < ) · ((abs‘𝐴) / 2)) ≤ (((abs‘𝐴) · 𝐵) · ((abs‘𝐴) / 2))))
69	66, 68	mpbid 146	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (inf({1, ((abs‘𝐴) · 𝐵)}, ℝ, < ) · ((abs‘𝐴) / 2)) ≤ (((abs‘𝐴) · 𝐵) · ((abs‘𝐴) / 2)))
70	1, 69	eqbrtrid 3963	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → 𝑇 ≤ (((abs‘𝐴) · 𝐵) · ((abs‘𝐴) / 2)))
71	27	abscld 10953	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (abs‘𝑧) ∈ ℝ)
72	22	abscld 10953	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
73	72	recnd 7794	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
74	73	2halvesd 8965	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (((abs‘𝐴) / 2) + ((abs‘𝐴) / 2)) = (abs‘𝐴))
75	72, 71	resubcld 8143	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → ((abs‘𝐴) − (abs‘𝑧)) ∈ ℝ)
76	27, 22	subcld 8073	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (𝑧 − 𝐴) ∈ ℂ)
77	76	abscld 10953	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (abs‘(𝑧 − 𝐴)) ∈ ℝ)
78	56, 77	eqeltrd 2216	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (abs‘(𝐴 − 𝑧)) ∈ ℝ)
79	22, 27	abs2difd 10969	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → ((abs‘𝐴) − (abs‘𝑧)) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝑧)))
80		min1inf 11003	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ ((abs‘𝐴) · 𝐵) ∈ ℝ) → inf({1, ((abs‘𝐴) · 𝐵)}, ℝ, < ) ≤ 1)
81	64, 60, 80	sylancr 410	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → inf({1, ((abs‘𝐴) · 𝐵)}, ℝ, < ) ≤ 1)
82		1red 7781	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → 1 ∈ ℝ)
83	67, 82, 61	lemul1d 9527	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (inf({1, ((abs‘𝐴) · 𝐵)}, ℝ, < ) ≤ 1 ↔ (inf({1, ((abs‘𝐴) · 𝐵)}, ℝ, < ) · ((abs‘𝐴) / 2)) ≤ (1 · ((abs‘𝐴) / 2))))
84	81, 83	mpbid 146	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (inf({1, ((abs‘𝐴) · 𝐵)}, ℝ, < ) · ((abs‘𝐴) / 2)) ≤ (1 · ((abs‘𝐴) / 2)))
85	1, 84	eqbrtrid 3963	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → 𝑇 ≤ (1 · ((abs‘𝐴) / 2)))
86	62	recnd 7794	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → ((abs‘𝐴) / 2) ∈ ℂ)
87	86	mulid2d 7784	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (1 · ((abs‘𝐴) / 2)) = ((abs‘𝐴) / 2))
88	85, 87	breqtrd 3954	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → 𝑇 ≤ ((abs‘𝐴) / 2))
89	78, 51, 62, 58, 88	ltletrd 8185	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (abs‘(𝐴 − 𝑧)) < ((abs‘𝐴) / 2))
90	75, 78, 62, 79, 89	lelttrd 7887	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → ((abs‘𝐴) − (abs‘𝑧)) < ((abs‘𝐴) / 2))
91	72, 71, 62	ltsubadd2d 8305	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (((abs‘𝐴) − (abs‘𝑧)) < ((abs‘𝐴) / 2) ↔ (abs‘𝐴) < ((abs‘𝑧) + ((abs‘𝐴) / 2))))
92	90, 91	mpbid 146	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (abs‘𝐴) < ((abs‘𝑧) + ((abs‘𝐴) / 2)))
93	74, 92	eqbrtrd 3950	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (((abs‘𝐴) / 2) + ((abs‘𝐴) / 2)) < ((abs‘𝑧) + ((abs‘𝐴) / 2)))
94	62, 71, 62	ltadd1d 8300	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (((abs‘𝐴) / 2) < (abs‘𝑧) ↔ (((abs‘𝐴) / 2) + ((abs‘𝐴) / 2)) < ((abs‘𝑧) + ((abs‘𝐴) / 2))))
95	93, 94	mpbird 166	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → ((abs‘𝐴) / 2) < (abs‘𝑧))
96	62, 71, 59, 95	ltmul2dd 9540	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (((abs‘𝐴) · 𝐵) · ((abs‘𝐴) / 2)) < (((abs‘𝐴) · 𝐵) · (abs‘𝑧)))
97	22, 27	absmuld 10966	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (abs‘(𝐴 · 𝑧)) = ((abs‘𝐴) · (abs‘𝑧)))
98	97	oveq1d 5789	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → ((abs‘(𝐴 · 𝑧)) · 𝐵) = (((abs‘𝐴) · (abs‘𝑧)) · 𝐵))
99	71	recnd 7794	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (abs‘𝑧) ∈ ℂ)
100	54	recnd 7794	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → 𝐵 ∈ ℂ)
101	73, 99, 100	mul32d 7915	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (((abs‘𝐴) · (abs‘𝑧)) · 𝐵) = (((abs‘𝐴) · 𝐵) · (abs‘𝑧)))
102	98, 101	eqtrd 2172	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → ((abs‘(𝐴 · 𝑧)) · 𝐵) = (((abs‘𝐴) · 𝐵) · (abs‘𝑧)))
103	96, 102	breqtrrd 3956	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (((abs‘𝐴) · 𝐵) · ((abs‘𝐴) / 2)) < ((abs‘(𝐴 · 𝑧)) · 𝐵))
104	51, 63, 55, 70, 103	lelttrd 7887	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → 𝑇 < ((abs‘(𝐴 · 𝑧)) · 𝐵))
105	49, 51, 55, 58, 104	lttrd 7888	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (abs‘(𝐴 − 𝑧)) < ((abs‘(𝐴 · 𝑧)) · 𝐵))
106	28, 31	absrpclapd 10960	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (abs‘(𝐴 · 𝑧)) ∈ ℝ+)
107	49, 54, 106	ltdivmuld 9535	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (((abs‘(𝐴 − 𝑧)) / (abs‘(𝐴 · 𝑧))) < 𝐵 ↔ (abs‘(𝐴 − 𝑧)) < ((abs‘(𝐴 · 𝑧)) · 𝐵)))
108	105, 107	mpbird 166	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → ((abs‘(𝐴 − 𝑧)) / (abs‘(𝐴 · 𝑧))) < 𝐵)
109	48, 108	eqbrtrd 3950	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (abs‘((1 / 𝑧) − (1 / 𝐴))) < 𝐵)
110	109	expr 372	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0}) → ((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇 → (abs‘((1 / 𝑧) − (1 / 𝐴))) < 𝐵))
111	110	ralrimiva 2505	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ∀𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇 → (abs‘((1 / 𝑧) − (1 / 𝐴))) < 𝐵))
112		breq2 3933	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝑇 → ((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦 ↔ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇))
113	112	rspceaimv 2797	. 2 ⊢ ((𝑇 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇 → (abs‘((1 / 𝑧) − (1 / 𝐴))) < 𝐵)) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((1 / 𝑧) − (1 / 𝐴))) < 𝐵))
114	21, 111, 113	syl2anc 408	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((1 / 𝑧) − (1 / 𝐴))) < 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∧ w3a 962   = wceq 1331   ∈ wcel 1480  ∀wral 2416  ∃wrex 2417  {crab 2420  {cpr 3528   class class class wbr 3929  ‘cfv 5123  (class class class)co 5774  infcinf 6870  ℂcc 7618  ℝcr 7619  0cc0 7620  1c1 7621   + caddc 7623   · cmul 7625   < clt 7800   ≤ cle 7801   − cmin 7933   # cap 8343   / cdiv 8432  2c2 8771  ℝ⁺crp 9441  abscabs 10769

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-mulrcl 7719  ax-addcom 7720  ax-mulcom 7721  ax-addass 7722  ax-mulass 7723  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-1rid 7727  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-precex 7730  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-apti 7735  ax-pre-ltadd 7736  ax-pre-mulgt0 7737  ax-pre-mulext 7738  ax-arch 7739  ax-caucvg 7740

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-isom 5132  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-frec 6288  df-sup 6871  df-inf 6872  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-reap 8337  df-ap 8344  df-div 8433  df-inn 8721  df-2 8779  df-3 8780  df-4 8781  df-n0 8978  df-z 9055  df-uz 9327  df-rp 9442  df-seqfrec 10219  df-exp 10293  df-cj 10614  df-re 10615  df-im 10616  df-rsqrt 10770  df-abs 10771

This theorem is referenced by:  divcnap  12724  cdivcncfap  12756