ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ltletrd GIF version

Theorem ltletrd 7491
Description: Transitive law deduction for 'less than', 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 9-Jan-2006.)
Hypotheses
Ref Expression
ltadd2d.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
ltadd2d.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
ltadd2d.3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
ltletrd.4 (𝜑𝐴 < 𝐵)
ltletrd.5 (𝜑𝐵𝐶)
Assertion
Ref Expression
ltletrd (𝜑𝐴 < 𝐶)

Proof of Theorem ltletrd
StepHypRef Expression
1 ltletrd.4 . 2 (𝜑𝐴 < 𝐵)
2 ltletrd.5 . 2 (𝜑𝐵𝐶)
3 ltadd2d.1 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
4 ltadd2d.2 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
5 ltadd2d.3 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
6 ltletr 7165 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐵𝐵𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
73, 4, 5, 6syl3anc 1146 . 2 (𝜑 → ((𝐴 < 𝐵𝐵𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
81, 2, 7mp2and 417 1 (𝜑𝐴 < 𝐶)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 101  wcel 1409   class class class wbr 3791  cr 6945   < clt 7118  cle 7119
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-sep 3902  ax-pow 3954  ax-pr 3971  ax-un 4197  ax-setind 4289  ax-cnex 7032  ax-resscn 7033  ax-pre-ltwlin 7054
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-nel 2315  df-ral 2328  df-rex 2329  df-rab 2332  df-v 2576  df-dif 2947  df-un 2949  df-in 2951  df-ss 2958  df-pw 3388  df-sn 3408  df-pr 3409  df-op 3411  df-uni 3608  df-br 3792  df-opab 3846  df-xp 4378  df-cnv 4380  df-pnf 7120  df-mnf 7121  df-xr 7122  df-ltxr 7123  df-le 7124
This theorem is referenced by:  lelttrdi  7494  lediv12a  7934  rpgecl  8708  fznatpl1  9039  elfz1b  9053  qbtwnzlemstep  9204  ceiqle  9262  modqabs  9306  mulp1mod1  9314  expgt1  9457  leexp2a  9472  bernneq3  9538  expnbnd  9539  nn0opthlem2d  9588  cvg1nlemres  9811  resqrexlemlo  9839  resqrexlemnmsq  9843  resqrexlemga  9849  abssubap0  9916  icodiamlt  10006  dvdslelemd  10154
  Copyright terms: Public domain W3C validator