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Theorem resqrexlemcalc2 9805
Description: Lemma for resqrex 9816. Some of the calculations involved in showing that the sequence converges. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 29-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
resqrexlemex.seq 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}), ℝ+)
resqrexlemex.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
resqrexlemex.agt0 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
Assertion
Ref Expression
resqrexlemcalc2 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐹‘(𝑁 + 1))↑2) − 𝐴) ≤ ((((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴) / 4))
Distinct variable groups:   𝑦,𝐴,𝑧   𝜑,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑦,𝑧)   𝑁(𝑦,𝑧)

Proof of Theorem resqrexlemcalc2
StepHypRef Expression
1 resqrexlemex.seq . . 3 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}), ℝ+)
2 resqrexlemex.a . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
3 resqrexlemex.agt0 . . 3 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
41, 2, 3resqrexlemcalc1 9804 . 2 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐹‘(𝑁 + 1))↑2) − 𝐴) = (((((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴)↑2) / (4 · ((𝐹𝑁)↑2))))
51, 2, 3resqrexlemf 9797 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹:ℕ⟶ℝ+)
65ffvelrnda 5327 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (𝐹𝑁) ∈ ℝ+)
76rpred 8690 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (𝐹𝑁) ∈ ℝ)
87resqcld 9539 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑁)↑2) ∈ ℝ)
92adantr 265 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ)
108, 9resubcld 7421 . . . . . 6 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴) ∈ ℝ)
116rpap0d 8696 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (𝐹𝑁) # 0)
127, 11sqgt0apd 9541 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → 0 < ((𝐹𝑁)↑2))
138, 12elrpd 8688 . . . . . 6 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑁)↑2) ∈ ℝ+)
148, 9readdcld 7084 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐹𝑁)↑2) + 𝐴) ∈ ℝ)
153adantr 265 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → 0 ≤ 𝐴)
168, 9addge01d 7568 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (0 ≤ 𝐴 ↔ ((𝐹𝑁)↑2) ≤ (((𝐹𝑁)↑2) + 𝐴)))
1715, 16mpbid 139 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑁)↑2) ≤ (((𝐹𝑁)↑2) + 𝐴))
188, 14, 9, 17lesub1dd 7596 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴) ≤ ((((𝐹𝑁)↑2) + 𝐴) − 𝐴))
198recnd 7083 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑁)↑2) ∈ ℂ)
209recnd 7083 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℂ)
2119, 20pncand 7356 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝐹𝑁)↑2) + 𝐴) − 𝐴) = ((𝐹𝑁)↑2))
2218, 21breqtrd 3813 . . . . . 6 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴) ≤ ((𝐹𝑁)↑2))
2310, 8, 13, 22lediv1dd 8749 . . . . 5 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴) / ((𝐹𝑁)↑2)) ≤ (((𝐹𝑁)↑2) / ((𝐹𝑁)↑2)))
248, 12gt0ap0d 7663 . . . . . 6 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑁)↑2) # 0)
2519, 24dividapd 7807 . . . . 5 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐹𝑁)↑2) / ((𝐹𝑁)↑2)) = 1)
2623, 25breqtrd 3813 . . . 4 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴) / ((𝐹𝑁)↑2)) ≤ 1)
2710, 8, 24redivclapd 7853 . . . . 5 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴) / ((𝐹𝑁)↑2)) ∈ ℝ)
28 1red 7070 . . . . 5 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℝ)
291, 2, 3resqrexlemover 9800 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → 𝐴 < ((𝐹𝑁)↑2))
30 difrp 8687 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝐹𝑁)↑2) ∈ ℝ) → (𝐴 < ((𝐹𝑁)↑2) ↔ (((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴) ∈ ℝ+))
319, 8, 30syl2anc 397 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 < ((𝐹𝑁)↑2) ↔ (((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴) ∈ ℝ+))
3229, 31mpbid 139 . . . . . 6 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴) ∈ ℝ+)
33 4re 8037 . . . . . . . 8 4 ∈ ℝ
3433a1i 9 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → 4 ∈ ℝ)
35 4pos 8057 . . . . . . . 8 0 < 4
3635a1i 9 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → 0 < 4)
3734, 36elrpd 8688 . . . . . 6 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → 4 ∈ ℝ+)
3832, 37rpdivcld 8708 . . . . 5 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴) / 4) ∈ ℝ+)
3927, 28, 38lemul1d 8734 . . . 4 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (((((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴) / ((𝐹𝑁)↑2)) ≤ 1 ↔ (((((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴) / ((𝐹𝑁)↑2)) · ((((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴) / 4)) ≤ (1 · ((((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴) / 4))))
4026, 39mpbid 139 . . 3 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (((((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴) / ((𝐹𝑁)↑2)) · ((((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴) / 4)) ≤ (1 · ((((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴) / 4)))
4110recnd 7083 . . . . 5 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴) ∈ ℂ)
4234recnd 7083 . . . . 5 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → 4 ∈ ℂ)
4334, 36gt0ap0d 7663 . . . . 5 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → 4 # 0)
4441, 19, 41, 42, 24, 43divmuldivapd 7851 . . . 4 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (((((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴) / ((𝐹𝑁)↑2)) · ((((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴) / 4)) = (((((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴) · (((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴)) / (((𝐹𝑁)↑2) · 4)))
4541sqvald 9510 . . . . 5 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴)↑2) = ((((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴) · (((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴)))
4642, 19mulcomd 7076 . . . . 5 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (4 · ((𝐹𝑁)↑2)) = (((𝐹𝑁)↑2) · 4))
4745, 46oveq12d 5555 . . . 4 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (((((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴)↑2) / (4 · ((𝐹𝑁)↑2))) = (((((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴) · (((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴)) / (((𝐹𝑁)↑2) · 4)))
4844, 47eqtr4d 2089 . . 3 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (((((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴) / ((𝐹𝑁)↑2)) · ((((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴) / 4)) = (((((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴)↑2) / (4 · ((𝐹𝑁)↑2))))
4938rpcnd 8692 . . . 4 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴) / 4) ∈ ℂ)
5049mulid2d 7073 . . 3 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (1 · ((((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴) / 4)) = ((((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴) / 4))
5140, 48, 503brtr3d 3818 . 2 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (((((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴)↑2) / (4 · ((𝐹𝑁)↑2))) ≤ ((((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴) / 4))
524, 51eqbrtrd 3809 1 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐹‘(𝑁 + 1))↑2) − 𝐴) ≤ ((((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴) / 4))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 101  wb 102   = wceq 1257  wcel 1407  {csn 3400   class class class wbr 3789   × cxp 4368  cfv 4927  (class class class)co 5537  cmpt2 5539  cr 6916  0cc0 6917  1c1 6918   + caddc 6920   · cmul 6922   < clt 7089  cle 7090  cmin 7215   / cdiv 7695  cn 7960  2c2 8010  4c4 8012  +crp 8651  seqcseq 9340  cexp 9384
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 552  ax-in2 553  ax-io 638  ax-5 1350  ax-7 1351  ax-gen 1352  ax-ie1 1396  ax-ie2 1397  ax-8 1409  ax-10 1410  ax-11 1411  ax-i12 1412  ax-bndl 1413  ax-4 1414  ax-13 1418  ax-14 1419  ax-17 1433  ax-i9 1437  ax-ial 1441  ax-i5r 1442  ax-ext 2036  ax-coll 3897  ax-sep 3900  ax-nul 3908  ax-pow 3952  ax-pr 3969  ax-un 4195  ax-setind 4287  ax-iinf 4336  ax-cnex 7003  ax-resscn 7004  ax-1cn 7005  ax-1re 7006  ax-icn 7007  ax-addcl 7008  ax-addrcl 7009  ax-mulcl 7010  ax-mulrcl 7011  ax-addcom 7012  ax-mulcom 7013  ax-addass 7014  ax-mulass 7015  ax-distr 7016  ax-i2m1 7017  ax-1rid 7019  ax-0id 7020  ax-rnegex 7021  ax-precex 7022  ax-cnre 7023  ax-pre-ltirr 7024  ax-pre-ltwlin 7025  ax-pre-lttrn 7026  ax-pre-apti 7027  ax-pre-ltadd 7028  ax-pre-mulgt0 7029  ax-pre-mulext 7030
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-dc 752  df-3or 895  df-3an 896  df-tru 1260  df-fal 1263  df-nf 1364  df-sb 1660  df-eu 1917  df-mo 1918  df-clab 2041  df-cleq 2047  df-clel 2050  df-nfc 2181  df-ne 2219  df-nel 2313  df-ral 2326  df-rex 2327  df-reu 2328  df-rmo 2329  df-rab 2330  df-v 2574  df-sbc 2785  df-csb 2878  df-dif 2945  df-un 2947  df-in 2949  df-ss 2956  df-nul 3250  df-if 3357  df-pw 3386  df-sn 3406  df-pr 3407  df-op 3409  df-uni 3606  df-int 3641  df-iun 3684  df-br 3790  df-opab 3844  df-mpt 3845  df-tr 3880  df-eprel 4051  df-id 4055  df-po 4058  df-iso 4059  df-iord 4128  df-on 4130  df-suc 4133  df-iom 4339  df-xp 4376  df-rel 4377  df-cnv 4378  df-co 4379  df-dm 4380  df-rn 4381  df-res 4382  df-ima 4383  df-iota 4892  df-fun 4929  df-fn 4930  df-f 4931  df-f1 4932  df-fo 4933  df-f1o 4934  df-fv 4935  df-riota 5493  df-ov 5540  df-oprab 5541  df-mpt2 5542  df-1st 5792  df-2nd 5793  df-recs 5948  df-irdg 5985  df-frec 6006  df-1o 6029  df-2o 6030  df-oadd 6033  df-omul 6034  df-er 6134  df-ec 6136  df-qs 6140  df-ni 6430  df-pli 6431  df-mi 6432  df-lti 6433  df-plpq 6470  df-mpq 6471  df-enq 6473  df-nqqs 6474  df-plqqs 6475  df-mqqs 6476  df-1nqqs 6477  df-rq 6478  df-ltnqqs 6479  df-enq0 6550  df-nq0 6551  df-0nq0 6552  df-plq0 6553  df-mq0 6554  df-inp 6592  df-i1p 6593  df-iplp 6594  df-iltp 6596  df-enr 6839  df-nr 6840  df-ltr 6843  df-0r 6844  df-1r 6845  df-0 6924  df-1 6925  df-r 6927  df-lt 6930  df-pnf 7091  df-mnf 7092  df-xr 7093  df-ltxr 7094  df-le 7095  df-sub 7217  df-neg 7218  df-reap 7610  df-ap 7617  df-div 7696  df-inn 7961  df-2 8019  df-3 8020  df-4 8021  df-n0 8210  df-z 8273  df-uz 8540  df-rp 8652  df-iseq 9341  df-iexp 9385
This theorem is referenced by:  resqrexlemcalc3  9806
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