Theorem resqrexlemnmsq 9836

Description: Lemma for resqrex 9845. The difference between the squares of two terms of the sequence. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 30-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
resqrexlemex.seq	⊢ 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}), ℝ+)
resqrexlemex.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
resqrexlemex.agt0	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
resqrexlemnmsq.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
resqrexlemnmsq.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
resqrexlemnmsq.nm	⊢ (𝜑 → 𝑁 ≤ 𝑀)

Assertion

Ref	Expression
resqrexlemnmsq	⊢ (𝜑 → (((𝐹‘𝑁)↑2) − ((𝐹‘𝑀)↑2)) < (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑁 − 1))))

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴,𝑧   𝜑,𝑦,𝑧   𝑦,𝑀,𝑧   𝑦,𝑁,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑦,𝑧)

Proof of Theorem resqrexlemnmsq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resqrexlemex.seq	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}), ℝ+)
2		resqrexlemex.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		resqrexlemex.agt0	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
4	1, 2, 3	resqrexlemf 9826	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶ℝ+)
5		resqrexlemnmsq.n	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
6	4, 5	ffvelrnd 5330	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑁) ∈ ℝ+)
7	6	rpred 8719	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑁) ∈ ℝ)
8	7	resqcld 9568	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑁)↑2) ∈ ℝ)
9	8	recnd 7112	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑁)↑2) ∈ ℂ)
10		resqrexlemnmsq.m	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
11	4, 10	ffvelrnd 5330	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑀) ∈ ℝ+)
12	11	rpred 8719	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑀) ∈ ℝ)
13	12	resqcld 9568	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑀)↑2) ∈ ℝ)
14	13	recnd 7112	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑀)↑2) ∈ ℂ)
15	2	recnd 7112	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
16	9, 14, 15	nnncan2d 7419	. 2 ⊢ (𝜑 → ((((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴) − (((𝐹‘𝑀)↑2) − 𝐴)) = (((𝐹‘𝑁)↑2) − ((𝐹‘𝑀)↑2)))
17	8, 2	resubcld 7450	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴) ∈ ℝ)
18	13, 2	resubcld 7450	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐹‘𝑀)↑2) − 𝐴) ∈ ℝ)
19	17, 18	resubcld 7450	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴) − (((𝐹‘𝑀)↑2) − 𝐴)) ∈ ℝ)
20		1nn 8000	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℕ
21	20	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℕ)
22	4, 21	ffvelrnd 5330	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘1) ∈ ℝ+)
23		2z 8329	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℤ
24	23	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
25	22, 24	rpexpcld 9566	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘1)↑2) ∈ ℝ+)
26		4nn 8145	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℕ
27	26	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 4 ∈ ℕ)
28	27	nnrpd 8718	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 4 ∈ ℝ+)
29	5	nnzd 8417	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
30		1zzd 8328	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
31	29, 30	zsubcld 8423	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
32	28, 31	rpexpcld 9566	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (4↑(𝑁 − 1)) ∈ ℝ+)
33	25, 32	rpdivcld 8737	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑁 − 1))) ∈ ℝ+)
34	33	rpred 8719	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑁 − 1))) ∈ ℝ)
35	1, 2, 3	resqrexlemover 9829	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝐴 < ((𝐹‘𝑀)↑2))
36	10, 35	mpdan 406	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < ((𝐹‘𝑀)↑2))
37		difrp 8716	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝐹‘𝑀)↑2) ∈ ℝ) → (𝐴 < ((𝐹‘𝑀)↑2) ↔ (((𝐹‘𝑀)↑2) − 𝐴) ∈ ℝ+))
38	2, 13, 37	syl2anc 397	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < ((𝐹‘𝑀)↑2) ↔ (((𝐹‘𝑀)↑2) − 𝐴) ∈ ℝ+))
39	36, 38	mpbid 139	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐹‘𝑀)↑2) − 𝐴) ∈ ℝ+)
40	17, 39	ltsubrpd 8752	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴) − (((𝐹‘𝑀)↑2) − 𝐴)) < (((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴))
41	1, 2, 3	resqrexlemcalc3 9835	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑁 − 1))))
42	5, 41	mpdan 406	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑁 − 1))))
43	19, 17, 34, 40, 42	ltletrd 7491	. 2 ⊢ (𝜑 → ((((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴) − (((𝐹‘𝑀)↑2) − 𝐴)) < (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑁 − 1))))
44	16, 43	eqbrtrrd 3813	1 ⊢ (𝜑 → (((𝐹‘𝑁)↑2) − ((𝐹‘𝑀)↑2)) < (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑁 − 1))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 102   = wceq 1259   ∈ wcel 1409  {csn 3402   class class class wbr 3791   × cxp 4370  ‘cfv 4929  (class class class)co 5539   ↦ cmpt2 5541  ℝcr 6945  0cc0 6946  1c1 6947   + caddc 6949   < clt 7118   ≤ cle 7119   − cmin 7244   / cdiv 7724  ℕcn 7989  2c2 8039  4c4 8041  ℤcz 8301  ℝ⁺crp 8680  seqcseq 9369  ↑cexp 9413

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-coll 3899  ax-sep 3902  ax-nul 3910  ax-pow 3954  ax-pr 3971  ax-un 4197  ax-setind 4289  ax-iinf 4338  ax-cnex 7032  ax-resscn 7033  ax-1cn 7034  ax-1re 7035  ax-icn 7036  ax-addcl 7037  ax-addrcl 7038  ax-mulcl 7039  ax-mulrcl 7040  ax-addcom 7041  ax-mulcom 7042  ax-addass 7043  ax-mulass 7044  ax-distr 7045  ax-i2m1 7046  ax-1rid 7048  ax-0id 7049  ax-rnegex 7050  ax-precex 7051  ax-cnre 7052  ax-pre-ltirr 7053  ax-pre-ltwlin 7054  ax-pre-lttrn 7055  ax-pre-apti 7056  ax-pre-ltadd 7057  ax-pre-mulgt0 7058  ax-pre-mulext 7059

This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-dc 754  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-nel 2315  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rmo 2331  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2787  df-csb 2880  df-dif 2947  df-un 2949  df-in 2951  df-ss 2958  df-nul 3252  df-if 3359  df-pw 3388  df-sn 3408  df-pr 3409  df-op 3411  df-uni 3608  df-int 3643  df-iun 3686  df-br 3792  df-opab 3846  df-mpt 3847  df-tr 3882  df-eprel 4053  df-id 4057  df-po 4060  df-iso 4061  df-iord 4130  df-on 4132  df-suc 4135  df-iom 4341  df-xp 4378  df-rel 4379  df-cnv 4380  df-co 4381  df-dm 4382  df-rn 4383  df-res 4384  df-ima 4385  df-iota 4894  df-fun 4931  df-fn 4932  df-f 4933  df-f1 4934  df-fo 4935  df-f1o 4936  df-fv 4937  df-riota 5495  df-ov 5542  df-oprab 5543  df-mpt2 5544  df-1st 5794  df-2nd 5795  df-recs 5950  df-irdg 5987  df-frec 6008  df-1o 6031  df-2o 6032  df-oadd 6035  df-omul 6036  df-er 6136  df-ec 6138  df-qs 6142  df-ni 6459  df-pli 6460  df-mi 6461  df-lti 6462  df-plpq 6499  df-mpq 6500  df-enq 6502  df-nqqs 6503  df-plqqs 6504  df-mqqs 6505  df-1nqqs 6506  df-rq 6507  df-ltnqqs 6508  df-enq0 6579  df-nq0 6580  df-0nq0 6581  df-plq0 6582  df-mq0 6583  df-inp 6621  df-i1p 6622  df-iplp 6623  df-iltp 6625  df-enr 6868  df-nr 6869  df-ltr 6872  df-0r 6873  df-1r 6874  df-0 6953  df-1 6954  df-r 6956  df-lt 6959  df-pnf 7120  df-mnf 7121  df-xr 7122  df-ltxr 7123  df-le 7124  df-sub 7246  df-neg 7247  df-reap 7639  df-ap 7646  df-div 7725  df-inn 7990  df-2 8048  df-3 8049  df-4 8050  df-n0 8239  df-z 8302  df-uz 8569  df-rp 8681  df-iseq 9370  df-iexp 9414

This theorem is referenced by:  resqrexlemnm  9837