Theorem 0pthon 27906

Description: A path of length 0 from a vertex to itself. (Contributed by Alexander van der Vekens, 3-Dec-2017.) (Revised by AV, 20-Jan-2021.) (Revised by AV, 30-Oct-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
0pthon.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
0pthon	⊢ ((𝑃:(0...0)⟶𝑉 ∧ (𝑃‘0) = 𝑁) → ∅(𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑁)𝑃)

Proof of Theorem 0pthon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0pthon.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2	1	0trlon 27903	. 2 ⊢ ((𝑃:(0...0)⟶𝑉 ∧ (𝑃‘0) = 𝑁) → ∅(𝑁(TrailsOn‘𝐺)𝑁)𝑃)
3		simpl 485	. . 3 ⊢ ((𝑃:(0...0)⟶𝑉 ∧ (𝑃‘0) = 𝑁) → 𝑃:(0...0)⟶𝑉)
4		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃:(0...0)⟶𝑉 → 𝑃:(0...0)⟶𝑉)
5		0z 11993	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℤ
6		elfz3 12918	. . . . . . . 8 ⊢ (0 ∈ ℤ → 0 ∈ (0...0))
7	5, 6	mp1i 13	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃:(0...0)⟶𝑉 → 0 ∈ (0...0))
8	4, 7	ffvelrnd 6852	. . . . . 6 ⊢ (𝑃:(0...0)⟶𝑉 → (𝑃‘0) ∈ 𝑉)
9	8	adantr 483	. . . . 5 ⊢ ((𝑃:(0...0)⟶𝑉 ∧ (𝑃‘0) = 𝑁) → (𝑃‘0) ∈ 𝑉)
10		eleq1 2900	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃‘0) = 𝑁 → ((𝑃‘0) ∈ 𝑉 ↔ 𝑁 ∈ 𝑉))
11	10	adantl 484	. . . . 5 ⊢ ((𝑃:(0...0)⟶𝑉 ∧ (𝑃‘0) = 𝑁) → ((𝑃‘0) ∈ 𝑉 ↔ 𝑁 ∈ 𝑉))
12	9, 11	mpbid 234	. . . 4 ⊢ ((𝑃:(0...0)⟶𝑉 ∧ (𝑃‘0) = 𝑁) → 𝑁 ∈ 𝑉)
13	1	1vgrex 26787	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → 𝐺 ∈ V)
14	1	0pth 27904	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ V → (∅(Paths‘𝐺)𝑃 ↔ 𝑃:(0...0)⟶𝑉))
15	12, 13, 14	3syl 18	. . 3 ⊢ ((𝑃:(0...0)⟶𝑉 ∧ (𝑃‘0) = 𝑁) → (∅(Paths‘𝐺)𝑃 ↔ 𝑃:(0...0)⟶𝑉))
16	3, 15	mpbird 259	. 2 ⊢ ((𝑃:(0...0)⟶𝑉 ∧ (𝑃‘0) = 𝑁) → ∅(Paths‘𝐺)𝑃)
17	1	0wlkonlem1 27897	. . 3 ⊢ ((𝑃:(0...0)⟶𝑉 ∧ (𝑃‘0) = 𝑁) → (𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉))
18	1	0wlkonlem2 27898	. . . 4 ⊢ ((𝑃:(0...0)⟶𝑉 ∧ (𝑃‘0) = 𝑁) → 𝑃 ∈ (𝑉 ↑pm (0...0)))
19		0ex 5211	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ V
20	18, 19	jctil 522	. . 3 ⊢ ((𝑃:(0...0)⟶𝑉 ∧ (𝑃‘0) = 𝑁) → (∅ ∈ V ∧ 𝑃 ∈ (𝑉 ↑pm (0...0))))
21	1	ispthson 27523	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (∅ ∈ V ∧ 𝑃 ∈ (𝑉 ↑pm (0...0)))) → (∅(𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑁)𝑃 ↔ (∅(𝑁(TrailsOn‘𝐺)𝑁)𝑃 ∧ ∅(Paths‘𝐺)𝑃)))
22	17, 20, 21	syl2anc 586	. 2 ⊢ ((𝑃:(0...0)⟶𝑉 ∧ (𝑃‘0) = 𝑁) → (∅(𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑁)𝑃 ↔ (∅(𝑁(TrailsOn‘𝐺)𝑁)𝑃 ∧ ∅(Paths‘𝐺)𝑃)))
23	2, 16, 22	mpbir2and 711	1 ⊢ ((𝑃:(0...0)⟶𝑉 ∧ (𝑃‘0) = 𝑁) → ∅(𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑁)𝑃)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  Vcvv 3494  ∅c0 4291   class class class wbr 5066  ⟶wf 6351  ‘cfv 6355  (class class class)co 7156   ↑_pm cpm 8407  0cc0 10537  ℤcz 11982  ...cfz 12893  Vtxcvtx 26781  TrailsOnctrlson 27473  Pathscpths 27493  PathsOncpthson 27495

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5190  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-ifp 1058  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-int 4877  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-1st 7689  df-2nd 7690  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-1o 8102  df-er 8289  df-map 8408  df-pm 8409  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-fin 8513  df-card 9368  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-nn 11639  df-n0 11899  df-z 11983  df-uz 12245  df-fz 12894  df-fzo 13035  df-hash 13692  df-word 13863  df-wlks 27381  df-wlkson 27382  df-trls 27474  df-trlson 27475  df-pths 27497  df-pthson 27499

This theorem is referenced by:  0pthon1  27907