Theorem ac5b 9900

Description: Equivalent of Axiom of Choice. (Contributed by NM, 31-Aug-1999.)

Hypothesis

Ref	Expression
ac5b.1	⊢ 𝐴 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
ac5b	⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≠ ∅ → ∃𝑓(𝑓:𝐴⟶∪ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥))

Distinct variable group:   𝑥,𝑓,𝐴

Proof of Theorem ac5b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ac5b.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ V
2	1	uniex 7467	. . 3 ⊢ ∪ 𝐴 ∈ V
3		numth3 9892	. . 3 ⊢ (∪ 𝐴 ∈ V → ∪ 𝐴 ∈ dom card)
4	2, 3	mp1i 13	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≠ ∅ → ∪ 𝐴 ∈ dom card)
5		neirr 3025	. . 3 ⊢ ¬ ∅ ≠ ∅
6		neeq1 3078	. . . 4 ⊢ (𝑥 = ∅ → (𝑥 ≠ ∅ ↔ ∅ ≠ ∅))
7	6	rspccv 3620	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≠ ∅ → (∅ ∈ 𝐴 → ∅ ≠ ∅))
8	5, 7	mtoi 201	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≠ ∅ → ¬ ∅ ∈ 𝐴)
9		ac5num 9462	. 2 ⊢ ((∪ 𝐴 ∈ dom card ∧ ¬ ∅ ∈ 𝐴) → ∃𝑓(𝑓:𝐴⟶∪ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥))
10	4, 8, 9	syl2anc 586	1 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≠ ∅ → ∃𝑓(𝑓:𝐴⟶∪ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 398  ∃wex 1780   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3016  ∀wral 3138  Vcvv 3494  ∅c0 4291  ∪ cuni 4838  dom cdm 5555  ⟶wf 6351  ‘cfv 6355  cardccrd 9364

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5190  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-ac2 9885

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-int 4877  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-se 5515  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-isom 6364  df-riota 7114  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-en 8510  df-card 9368  df-ac 9542

This theorem is referenced by:  acunirnmpt  30404  fnpreimac  30416