MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ac5b Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ac5b 9244
Description: Equivalent of Axiom of Choice. (Contributed by NM, 31-Aug-1999.)
Hypothesis
Ref Expression
ac5b.1 𝐴 ∈ V
Assertion
Ref Expression
ac5b (∀𝑥𝐴 𝑥 ≠ ∅ → ∃𝑓(𝑓:𝐴 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) ∈ 𝑥))
Distinct variable group:   𝑥,𝑓,𝐴

Proof of Theorem ac5b
StepHypRef Expression
1 ac5b.1 . . . 4 𝐴 ∈ V
21uniex 6906 . . 3 𝐴 ∈ V
3 numth3 9236 . . 3 ( 𝐴 ∈ V → 𝐴 ∈ dom card)
42, 3mp1i 13 . 2 (∀𝑥𝐴 𝑥 ≠ ∅ → 𝐴 ∈ dom card)
5 neirr 2799 . . 3 ¬ ∅ ≠ ∅
6 neeq1 2852 . . . 4 (𝑥 = ∅ → (𝑥 ≠ ∅ ↔ ∅ ≠ ∅))
76rspccv 3292 . . 3 (∀𝑥𝐴 𝑥 ≠ ∅ → (∅ ∈ 𝐴 → ∅ ≠ ∅))
85, 7mtoi 190 . 2 (∀𝑥𝐴 𝑥 ≠ ∅ → ¬ ∅ ∈ 𝐴)
9 ac5num 8803 . 2 (( 𝐴 ∈ dom card ∧ ¬ ∅ ∈ 𝐴) → ∃𝑓(𝑓:𝐴 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) ∈ 𝑥))
104, 8, 9syl2anc 692 1 (∀𝑥𝐴 𝑥 ≠ ∅ → ∃𝑓(𝑓:𝐴 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) ∈ 𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 384  wex 1701  wcel 1987  wne 2790  wral 2907  Vcvv 3186  c0 3891   cuni 4402  dom cdm 5074  wf 5843  cfv 5847  cardccrd 8705
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-ac2 9229
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-en 7900  df-card 8709  df-ac 8883
This theorem is referenced by:  acunirnmpt  29301
  Copyright terms: Public domain W3C validator