Theorem axmulcl 5256

Description: Closure law for multiplication of complex numbers. Axiom 7 of 25 for real and complex numbers, derived from ZF set theory.

Assertion

Ref	Expression
axmulcl	⊢ ((A ∈ ℂ ⋀ B ∈ ℂ) → (A · B) ∈ ℂ)

Proof of Theorem axmulcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axmulopr 5249	. 2 ⊢ · :(ℂ × ℂ)–→ℂ
2	1	foprcl 4010	1 ⊢ ((A ∈ ℂ ⋀ B ∈ ℂ) → (A · B) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 3   ⋀ wa 223   ∈ wcel 957  (class class class)co 3958  ℂcc 5215   · cmul 5222

This theorem is referenced by:  mulclt 5286  mulcl 5304  cnegextlem2 5329  cnegext 5331  mul4t 5403  muladdt 5404  subdit 5410  submul2t 5443  mulsubt 5460  recextlem1 5665  recext 5667  muleqaddt 5679  receu 5680  mulnzcnopr 5681  divasst 5714  divmuldivt 5746  divadddivt 5750  divdivdivt 5751  conjmult 5763  zneo 6157  zneoOLD 6158  qbtwnre 6228  expclt 6526  mulexpt 6539  sqclt 6556  subsqt 6587  subsq2t 6588  bernneq 6597  bernneq2 6598  cjclt 6711  crret 6717  crretOLD 6718  crimt 6719  crimtOLD 6720  imret 6725  reim0t 6726  recjt 6768  imcjt 6769  cjreimt 6778  cjreim2t 6779  cj11t 6780  sqabsaddt 6798  sqabssubt 6799  absreimsqt 6806  absreimt 6807  fsummulc1 6986  binomlem1 7019  binomlem2 7020  binomlem4 7022  binomlem5 7023  climmullem4 7076  climmullem5 7077  climmullem8 7080  climsub 7083  caucvg3a 7117  caucvg3lem 7119  fnsmnt 7178  geoser 7186  geolimilem 7187  fsum0diaglem2 7209  fsum0diag2 7211  mulc1cncf 7231  efaddlem3 7299  efaddlem5 7301  efaddlem6 7302  efaddlem13 7309  efaddlem17 7313  efaddlem19 7315  efaddlem27 7323  efexpt 7331  abspef01tlub 7353  sinclt 7390  cosclt 7391  resinvalt 7392  recosvalt 7393  efi4pt 7394  resin4pt 7395  recos4pt 7396  resinclt 7397  recosclt 7398  sinnegt 7401  cosnegt 7402  efivalt 7406  efmivalt 7407  efeult 7408  sinsubt 7414  cossubt 7415  addsint 7416  subsint 7417  addcost 7418  subcost 7419  sincossqt 7420  sin2tt 7421  sin01bndlem2 7427  sin01bndlem3 7428  cos01bndlem2 7429  cos01bndlem3 7430  abseft 7442  demoivre 7443  demoivreALT 7444  znnen 7462  mulcn 7950  ablmul 8095  ipval2 8319  4ipval2 8320  4ipval3 8324  ipid 8325  ipcl 8327  ipcj 8329  ip1cnilem4 8338  ip1cnilem6 8340  cnph 8437  ipasslem2 8450  ipasslem4 8452  ipasslem8 8456  ipasslem9 8457  ipasslem11 8459  ubthlem7 8494  ubthlem8 8495  ubthlem9 8496  ubthlem10 8497  minveclem18 8521  sincolem 8619  sinperlem2 8641  sinper 8644  cosper 8645  efimpi 8650  sincosq1eq 8661  efgh 8668  efghgrpilem 8669  efif 8671  efif1lem4 8683  efielcircOLD 8690  circcltOLD 8691  efielcirc 8694  shftefif1olem 8696  eff1lem 8698  eff1i 8699  effoi 8700  efper 8702  hhssnv 9089  pjthlem4 9177  pjthlem7 9180  spansncol 9447  homulasst 9685  lnfnmul 9929  riesz3 9951  mslb1 10545  2wsms 10546

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-9 964  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1209  ax-11o 1217  ax-ext 1458  ax-rep 2689  ax-sep 2699  ax-nul 2706  ax-pow 2738  ax-pr 2775  ax-un 2862  ax-inf2 4608

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 980  df-sb 1171  df-eu 1381  df-mo 1382  df-clab 1463  df-cleq 1468  df-clel 1471  df-ne 1585  df-ral 1647  df-rex 1648  df-reu 1649  df-rab 1650  df-v 1809  df-sbc 1939  df-csb 1999  df-dif 2046  df-un 2047  df-in 2048  df-ss 2050  df-pss 2052  df-nul 2278  df-if 2359  df-pw 2399  df-sn 2409  df-pr 2410  df-tp 2412  df-op 2413  df-uni 2500  df-int 2530  df-iun 2564  df-br 2616  df-opab 2663  df-tr 2677  df-eprel 2828  df-id 2831  df-po 2836  df-so 2846  df-fr 2913  df-we 2930  df-ord 2947  df-on 2948  df-lim 2949  df-suc 2950  df-om 3128  df-xp 3180  df-rel 3181  df-cnv 3182  df-co 3183  df-dm 3184  df-rn 3185  df-res 3186  df-ima 3187  df-fun 3188  df-fn 3189  df-f 3190  df-fv 3194  df-rdg 3927  df-opr 3960  df-oprab 3961  df-1st 4072  df-2nd 4073  df-1o 4126  df-oadd 4128  df-omul 4129  df-er 4254  df-ec 4256  df-qs 4259  df-ni 4983  df-pli 4984  df-mi 4985  df-lti 4986  df-plpq 5018  df-mpq 5019  df-enq 5020  df-nq 5021  df-plq 5022  df-mq 5023  df-rq 5024  df-ltq 5025  df-1q 5026  df-np 5069  df-1p 5070  df-plp 5071  df-mp 5072  df-ltp 5073  df-plpr 5147  df-mpr 5148  df-enr 5149  df-nr 5150  df-plr 5151  df-mr 5152  df-m1r 5156  df-c 5223  df-mul 5229

Copyright terms: Public domain