MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fovcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fovcl 6730
Description: Closure law for an operation. (Contributed by NM, 19-Apr-2007.)
Hypothesis
Ref Expression
fovcl.1 𝐹:(𝑅 × 𝑆)⟶𝐶
Assertion
Ref Expression
fovcl ((𝐴𝑅𝐵𝑆) → (𝐴𝐹𝐵) ∈ 𝐶)

Proof of Theorem fovcl
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fovcl.1 . . 3 𝐹:(𝑅 × 𝑆)⟶𝐶
2 ffnov 6729 . . . 4 (𝐹:(𝑅 × 𝑆)⟶𝐶 ↔ (𝐹 Fn (𝑅 × 𝑆) ∧ ∀𝑥𝑅𝑦𝑆 (𝑥𝐹𝑦) ∈ 𝐶))
32simprbi 480 . . 3 (𝐹:(𝑅 × 𝑆)⟶𝐶 → ∀𝑥𝑅𝑦𝑆 (𝑥𝐹𝑦) ∈ 𝐶)
41, 3ax-mp 5 . 2 𝑥𝑅𝑦𝑆 (𝑥𝐹𝑦) ∈ 𝐶
5 oveq1 6622 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → (𝑥𝐹𝑦) = (𝐴𝐹𝑦))
65eleq1d 2683 . . 3 (𝑥 = 𝐴 → ((𝑥𝐹𝑦) ∈ 𝐶 ↔ (𝐴𝐹𝑦) ∈ 𝐶))
7 oveq2 6623 . . . 4 (𝑦 = 𝐵 → (𝐴𝐹𝑦) = (𝐴𝐹𝐵))
87eleq1d 2683 . . 3 (𝑦 = 𝐵 → ((𝐴𝐹𝑦) ∈ 𝐶 ↔ (𝐴𝐹𝐵) ∈ 𝐶))
96, 8rspc2v 3311 . 2 ((𝐴𝑅𝐵𝑆) → (∀𝑥𝑅𝑦𝑆 (𝑥𝐹𝑦) ∈ 𝐶 → (𝐴𝐹𝐵) ∈ 𝐶))
104, 9mpi 20 1 ((𝐴𝑅𝐵𝑆) → (𝐴𝐹𝐵) ∈ 𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wral 2908   × cxp 5082   Fn wfn 5852  wf 5853  (class class class)co 6615
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pr 4877
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ral 2913  df-rex 2914  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-nul 3898  df-if 4065  df-sn 4156  df-pr 4158  df-op 4162  df-uni 4410  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-id 4999  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-fv 5865  df-ov 6618
This theorem is referenced by:  addclnq  9727  mulclnq  9729  adderpq  9738  mulerpq  9739  distrnq  9743  axaddcl  9932  axmulcl  9934  xaddcl  12029  xmulcl  12062  elfzoelz  12427  addcnlem  22607  sgmcl  24806  hvaddcl  27757  hvmulcl  27758  hicl  27825  hhssabloilem  28006  rmxynorm  37002  rmxyneg  37004  rmxy1  37006  rmxy0  37007  rmxp1  37016  rmyp1  37017  rmxm1  37018  rmym1  37019  rmxluc  37020  rmyluc  37021  rmyluc2  37022  rmxdbl  37023  rmydbl  37024  rmxypos  37033  ltrmynn0  37034  ltrmxnn0  37035  lermxnn0  37036  rmxnn  37037  ltrmy  37038  rmyeq0  37039  rmyeq  37040  lermy  37041  rmynn  37042  rmynn0  37043  rmyabs  37044  jm2.24nn  37045  jm2.17a  37046  jm2.17b  37047  jm2.17c  37048  jm2.24  37049  rmygeid  37050  jm2.18  37074  jm2.19lem1  37075  jm2.19lem2  37076  jm2.19  37079  jm2.22  37081  jm2.23  37082  jm2.20nn  37083  jm2.25  37085  jm2.26a  37086  jm2.26lem3  37087  jm2.26  37088  jm2.15nn0  37089  jm2.16nn0  37090  jm2.27a  37091  jm2.27c  37093  rmydioph  37100  rmxdiophlem  37101  jm3.1lem1  37103  jm3.1  37106  expdiophlem1  37107
  Copyright terms: Public domain W3C validator