MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fovcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fovcl 6637
Description: Closure law for an operation. (Contributed by NM, 19-Apr-2007.)
Hypothesis
Ref Expression
fovcl.1 𝐹:(𝑅 × 𝑆)⟶𝐶
Assertion
Ref Expression
fovcl ((𝐴𝑅𝐵𝑆) → (𝐴𝐹𝐵) ∈ 𝐶)

Proof of Theorem fovcl
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fovcl.1 . . 3 𝐹:(𝑅 × 𝑆)⟶𝐶
2 ffnov 6636 . . . 4 (𝐹:(𝑅 × 𝑆)⟶𝐶 ↔ (𝐹 Fn (𝑅 × 𝑆) ∧ ∀𝑥𝑅𝑦𝑆 (𝑥𝐹𝑦) ∈ 𝐶))
32simprbi 478 . . 3 (𝐹:(𝑅 × 𝑆)⟶𝐶 → ∀𝑥𝑅𝑦𝑆 (𝑥𝐹𝑦) ∈ 𝐶)
41, 3ax-mp 5 . 2 𝑥𝑅𝑦𝑆 (𝑥𝐹𝑦) ∈ 𝐶
5 oveq1 6530 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → (𝑥𝐹𝑦) = (𝐴𝐹𝑦))
65eleq1d 2667 . . 3 (𝑥 = 𝐴 → ((𝑥𝐹𝑦) ∈ 𝐶 ↔ (𝐴𝐹𝑦) ∈ 𝐶))
7 oveq2 6531 . . . 4 (𝑦 = 𝐵 → (𝐴𝐹𝑦) = (𝐴𝐹𝐵))
87eleq1d 2667 . . 3 (𝑦 = 𝐵 → ((𝐴𝐹𝑦) ∈ 𝐶 ↔ (𝐴𝐹𝐵) ∈ 𝐶))
96, 8rspc2v 3288 . 2 ((𝐴𝑅𝐵𝑆) → (∀𝑥𝑅𝑦𝑆 (𝑥𝐹𝑦) ∈ 𝐶 → (𝐴𝐹𝐵) ∈ 𝐶))
104, 9mpi 20 1 ((𝐴𝑅𝐵𝑆) → (𝐴𝐹𝐵) ∈ 𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1474  wcel 1975  wral 2891   × cxp 5022   Fn wfn 5781  wf 5782  (class class class)co 6523
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2228  ax-ext 2585  ax-sep 4699  ax-nul 4708  ax-pr 4824
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2457  df-mo 2458  df-clab 2592  df-cleq 2598  df-clel 2601  df-nfc 2735  df-ral 2896  df-rex 2897  df-rab 2900  df-v 3170  df-sbc 3398  df-csb 3495  df-dif 3538  df-un 3540  df-in 3542  df-ss 3549  df-nul 3870  df-if 4032  df-sn 4121  df-pr 4123  df-op 4127  df-uni 4363  df-iun 4447  df-br 4574  df-opab 4634  df-mpt 4635  df-id 4939  df-xp 5030  df-rel 5031  df-cnv 5032  df-co 5033  df-dm 5034  df-rn 5035  df-iota 5750  df-fun 5788  df-fn 5789  df-f 5790  df-fv 5794  df-ov 6526
This theorem is referenced by:  addclnq  9619  mulclnq  9621  adderpq  9630  mulerpq  9631  distrnq  9635  axaddcl  9824  axmulcl  9826  xaddcl  11898  xmulcl  11928  elfzoelz  12290  addcnlem  22402  sgmcl  24585  hvaddcl  27055  hvmulcl  27056  hicl  27123  hhssabloilem  27304  rmxynorm  36300  rmxyneg  36302  rmxy1  36304  rmxy0  36305  rmxp1  36314  rmyp1  36315  rmxm1  36316  rmym1  36317  rmxluc  36318  rmyluc  36319  rmyluc2  36320  rmxdbl  36321  rmydbl  36322  rmxypos  36331  ltrmynn0  36332  ltrmxnn0  36333  lermxnn0  36334  rmxnn  36335  ltrmy  36336  rmyeq0  36337  rmyeq  36338  lermy  36339  rmynn  36340  rmynn0  36341  rmyabs  36342  jm2.24nn  36343  jm2.17a  36344  jm2.17b  36345  jm2.17c  36346  jm2.24  36347  rmygeid  36348  jm2.18  36372  jm2.19lem1  36373  jm2.19lem2  36374  jm2.19  36377  jm2.22  36379  jm2.23  36380  jm2.20nn  36381  jm2.25  36383  jm2.26a  36384  jm2.26lem3  36385  jm2.26  36386  jm2.15nn0  36387  jm2.16nn0  36388  jm2.27a  36389  jm2.27c  36391  rmydioph  36398  rmxdiophlem  36399  jm3.1lem1  36401  jm3.1  36404  expdiophlem1  36405
  Copyright terms: Public domain W3C validator