MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  btwncolg1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem btwncolg1 25350
Description: Betweenness implies colinearity. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Mar-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
tglngval.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
tglngval.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
tglngval.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tglngval.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
tglngval.x (𝜑𝑋𝑃)
tglngval.y (𝜑𝑌𝑃)
tgcolg.z (𝜑𝑍𝑃)
btwncolg1.z (𝜑𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌))
Assertion
Ref Expression
btwncolg1 (𝜑 → (𝑍 ∈ (𝑋𝐿𝑌) ∨ 𝑋 = 𝑌))

Proof of Theorem btwncolg1
StepHypRef Expression
1 btwncolg1.z . . 3 (𝜑𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌))
213mix1d 1234 . 2 (𝜑 → (𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌) ∨ 𝑋 ∈ (𝑍𝐼𝑌) ∨ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)))
3 tglngval.p . . 3 𝑃 = (Base‘𝐺)
4 tglngval.l . . 3 𝐿 = (LineG‘𝐺)
5 tglngval.i . . 3 𝐼 = (Itv‘𝐺)
6 tglngval.g . . 3 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
7 tglngval.x . . 3 (𝜑𝑋𝑃)
8 tglngval.y . . 3 (𝜑𝑌𝑃)
9 tgcolg.z . . 3 (𝜑𝑍𝑃)
103, 4, 5, 6, 7, 8, 9tgcolg 25349 . 2 (𝜑 → ((𝑍 ∈ (𝑋𝐿𝑌) ∨ 𝑋 = 𝑌) ↔ (𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌) ∨ 𝑋 ∈ (𝑍𝐼𝑌) ∨ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍))))
112, 10mpbird 247 1 (𝜑 → (𝑍 ∈ (𝑋𝐿𝑌) ∨ 𝑋 = 𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wo 383  w3o 1035   = wceq 1480  wcel 1987  cfv 5847  (class class class)co 6604  Basecbs 15781  TarskiGcstrkg 25229  Itvcitv 25235  LineGclng 25236
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pr 4867
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-br 4614  df-opab 4674  df-id 4989  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fv 5855  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-trkgc 25247  df-trkgcb 25249  df-trkg 25252
This theorem is referenced by:  tgdim01ln  25359  lnxfr  25361  tgbtwnconn1lem3  25369  tgbtwnconnln3  25373  legov2  25381  ncolne1  25420  tglineeltr  25426  mirtrcgr  25478  symquadlem  25484  midexlem  25487  ragflat  25499  colperpexlem1  25522  opphllem  25527
  Copyright terms: Public domain W3C validator