MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tgdim01ln Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tgdim01ln 26278
Description: In geometries of dimension less than two, then any three points are colinear. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
tglngval.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
tglngval.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
tglngval.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tglngval.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
tglngval.x (𝜑𝑋𝑃)
tglngval.y (𝜑𝑌𝑃)
tgcolg.z (𝜑𝑍𝑃)
tgdim01ln.1 (𝜑 → ¬ 𝐺DimTarskiG≥2)
Assertion
Ref Expression
tgdim01ln (𝜑 → (𝑍 ∈ (𝑋𝐿𝑌) ∨ 𝑋 = 𝑌))

Proof of Theorem tgdim01ln
StepHypRef Expression
1 tglngval.p . . 3 𝑃 = (Base‘𝐺)
2 tglngval.l . . 3 𝐿 = (LineG‘𝐺)
3 tglngval.i . . 3 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4 tglngval.g . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
54adantr 481 . . 3 ((𝜑𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
6 tglngval.x . . . 4 (𝜑𝑋𝑃)
76adantr 481 . . 3 ((𝜑𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → 𝑋𝑃)
8 tglngval.y . . . 4 (𝜑𝑌𝑃)
98adantr 481 . . 3 ((𝜑𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → 𝑌𝑃)
10 tgcolg.z . . . 4 (𝜑𝑍𝑃)
1110adantr 481 . . 3 ((𝜑𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → 𝑍𝑃)
12 simpr 485 . . 3 ((𝜑𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → 𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌))
131, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 12btwncolg1 26269 . 2 ((𝜑𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → (𝑍 ∈ (𝑋𝐿𝑌) ∨ 𝑋 = 𝑌))
144adantr 481 . . 3 ((𝜑𝑋 ∈ (𝑍𝐼𝑌)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
156adantr 481 . . 3 ((𝜑𝑋 ∈ (𝑍𝐼𝑌)) → 𝑋𝑃)
168adantr 481 . . 3 ((𝜑𝑋 ∈ (𝑍𝐼𝑌)) → 𝑌𝑃)
1710adantr 481 . . 3 ((𝜑𝑋 ∈ (𝑍𝐼𝑌)) → 𝑍𝑃)
18 simpr 485 . . 3 ((𝜑𝑋 ∈ (𝑍𝐼𝑌)) → 𝑋 ∈ (𝑍𝐼𝑌))
191, 2, 3, 14, 15, 16, 17, 18btwncolg2 26270 . 2 ((𝜑𝑋 ∈ (𝑍𝐼𝑌)) → (𝑍 ∈ (𝑋𝐿𝑌) ∨ 𝑋 = 𝑌))
204adantr 481 . . 3 ((𝜑𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
216adantr 481 . . 3 ((𝜑𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) → 𝑋𝑃)
228adantr 481 . . 3 ((𝜑𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) → 𝑌𝑃)
2310adantr 481 . . 3 ((𝜑𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) → 𝑍𝑃)
24 simpr 485 . . 3 ((𝜑𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) → 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍))
251, 2, 3, 20, 21, 22, 23, 24btwncolg3 26271 . 2 ((𝜑𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) → (𝑍 ∈ (𝑋𝐿𝑌) ∨ 𝑋 = 𝑌))
26 tgdim01ln.1 . . 3 (𝜑 → ¬ 𝐺DimTarskiG≥2)
271, 3, 4, 26, 6, 8, 10tgdim01 26221 . 2 (𝜑 → (𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌) ∨ 𝑋 ∈ (𝑍𝐼𝑌) ∨ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)))
2813, 19, 25, 27mpjao3dan 1423 1 (𝜑 → (𝑍 ∈ (𝑋𝐿𝑌) ∨ 𝑋 = 𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396  wo 841   = wceq 1528  wcel 2105   class class class wbr 5058  cfv 6349  (class class class)co 7145  2c2 11681  Basecbs 16473  TarskiGcstrkg 26144  DimTarskiGcstrkgld 26148  Itvcitv 26150  LineGclng 26151
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2793  ax-rep 5182  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7450  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4833  df-iun 4914  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7569  df-1st 7680  df-2nd 7681  df-wrecs 7938  df-recs 7999  df-rdg 8037  df-er 8279  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11628  df-2 11689  df-n0 11887  df-z 11971  df-uz 12233  df-fz 12883  df-fzo 13024  df-trkgc 26162  df-trkgcb 26164  df-trkgld 26166  df-trkg 26167
This theorem is referenced by:  ncoltgdim2  26279
  Copyright terms: Public domain W3C validator