Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdleme10 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdleme10 35859
Description: Part of proof of Lemma E in [Crawley] p. 113, 2nd paragraph on p. 114. 𝐷 represents s2. In their notation, we prove s s2 = s r. (Contributed by NM, 9-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
cdleme10.l = (le‘𝐾)
cdleme10.j = (join‘𝐾)
cdleme10.m = (meet‘𝐾)
cdleme10.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdleme10.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdleme10.d 𝐷 = ((𝑅 𝑆) 𝑊)
Assertion
Ref Expression
cdleme10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑅𝐴 ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) → (𝑆 𝐷) = (𝑆 𝑅))

Proof of Theorem cdleme10
StepHypRef Expression
1 cdleme10.d . . 3 𝐷 = ((𝑅 𝑆) 𝑊)
21oveq2i 6701 . 2 (𝑆 𝐷) = (𝑆 ((𝑅 𝑆) 𝑊))
3 simp1l 1105 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑅𝐴 ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) → 𝐾 ∈ HL)
4 simp3l 1109 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑅𝐴 ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) → 𝑆𝐴)
5 simp2 1082 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑅𝐴 ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) → 𝑅𝐴)
6 eqid 2651 . . . . . 6 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
7 cdleme10.j . . . . . 6 = (join‘𝐾)
8 cdleme10.a . . . . . 6 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
96, 7, 8hlatjcl 34971 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑅𝐴𝑆𝐴) → (𝑅 𝑆) ∈ (Base‘𝐾))
103, 5, 4, 9syl3anc 1366 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑅𝐴 ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) → (𝑅 𝑆) ∈ (Base‘𝐾))
11 simp1r 1106 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑅𝐴 ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) → 𝑊𝐻)
12 cdleme10.h . . . . . 6 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
136, 12lhpbase 35602 . . . . 5 (𝑊𝐻𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
1411, 13syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑅𝐴 ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
15 hllat 34968 . . . . . 6 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
163, 15syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑅𝐴 ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) → 𝐾 ∈ Lat)
176, 8atbase 34894 . . . . . 6 (𝑅𝐴𝑅 ∈ (Base‘𝐾))
18173ad2ant2 1103 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑅𝐴 ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) → 𝑅 ∈ (Base‘𝐾))
196, 8atbase 34894 . . . . . 6 (𝑆𝐴𝑆 ∈ (Base‘𝐾))
204, 19syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑅𝐴 ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) → 𝑆 ∈ (Base‘𝐾))
21 cdleme10.l . . . . . 6 = (le‘𝐾)
226, 21, 7latlej2 17108 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑅 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑆 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝑆 (𝑅 𝑆))
2316, 18, 20, 22syl3anc 1366 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑅𝐴 ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) → 𝑆 (𝑅 𝑆))
24 cdleme10.m . . . . 5 = (meet‘𝐾)
256, 21, 7, 24, 8atmod3i1 35468 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑅 𝑆) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑆 (𝑅 𝑆)) → (𝑆 ((𝑅 𝑆) 𝑊)) = ((𝑅 𝑆) (𝑆 𝑊)))
263, 4, 10, 14, 23, 25syl131anc 1379 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑅𝐴 ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) → (𝑆 ((𝑅 𝑆) 𝑊)) = ((𝑅 𝑆) (𝑆 𝑊)))
276, 7latjcom 17106 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑅 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑆 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑅 𝑆) = (𝑆 𝑅))
2816, 18, 20, 27syl3anc 1366 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑅𝐴 ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) → (𝑅 𝑆) = (𝑆 𝑅))
29 eqid 2651 . . . . . 6 (1.‘𝐾) = (1.‘𝐾)
3021, 7, 29, 8, 12lhpjat2 35625 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) → (𝑆 𝑊) = (1.‘𝐾))
31303adant2 1100 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑅𝐴 ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) → (𝑆 𝑊) = (1.‘𝐾))
3228, 31oveq12d 6708 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑅𝐴 ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) → ((𝑅 𝑆) (𝑆 𝑊)) = ((𝑆 𝑅) (1.‘𝐾)))
33 hlol 34966 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OL)
343, 33syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑅𝐴 ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) → 𝐾 ∈ OL)
356, 7latjcl 17098 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑆 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑅 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑆 𝑅) ∈ (Base‘𝐾))
3616, 20, 18, 35syl3anc 1366 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑅𝐴 ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) → (𝑆 𝑅) ∈ (Base‘𝐾))
376, 24, 29olm11 34832 . . . 4 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑆 𝑅) ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑆 𝑅) (1.‘𝐾)) = (𝑆 𝑅))
3834, 36, 37syl2anc 694 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑅𝐴 ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) → ((𝑆 𝑅) (1.‘𝐾)) = (𝑆 𝑅))
3926, 32, 383eqtrd 2689 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑅𝐴 ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) → (𝑆 ((𝑅 𝑆) 𝑊)) = (𝑆 𝑅))
402, 39syl5eq 2697 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑅𝐴 ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) → (𝑆 𝐷) = (𝑆 𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030   class class class wbr 4685  cfv 5926  (class class class)co 6690  Basecbs 15904  lecple 15995  joincjn 16991  meetcmee 16992  1.cp1 17085  Latclat 17092  OLcol 34779  Atomscatm 34868  HLchlt 34955  LHypclh 35588
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-preset 16975  df-poset 16993  df-plt 17005  df-lub 17021  df-glb 17022  df-join 17023  df-meet 17024  df-p0 17086  df-p1 17087  df-lat 17093  df-clat 17155  df-oposet 34781  df-ol 34783  df-oml 34784  df-covers 34871  df-ats 34872  df-atl 34903  df-cvlat 34927  df-hlat 34956  df-psubsp 35107  df-pmap 35108  df-padd 35400  df-lhyp 35592
This theorem is referenced by:  cdleme10tN  35863  cdleme20aN  35914  cdleme20g  35920
  Copyright terms: Public domain W3C validator