Theorem cdlemf1 37712

Description: Part of Lemma F in [Crawley] p. 116. TODO: should this or part of it become a stand-alone theorem? (Contributed by NM, 12-Apr-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
cdlemf1.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
cdlemf1.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
cdlemf1.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemf1.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
cdlemf1	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑃 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ 𝑈 ≤ (𝑃 ∨ 𝑞)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑞   𝐻,𝑞   𝐾,𝑞   ≤ ,𝑞   𝑃,𝑞   𝑈,𝑞   𝑊,𝑞

Allowed substitution hint:   ∨ (𝑞)

Proof of Theorem cdlemf1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1l 1193	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → 𝐾 ∈ HL)
2		simp3l 1197	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → 𝑃 ∈ 𝐴)
3		simp2l 1195	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → 𝑈 ∈ 𝐴)
4		simp2r 1196	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → 𝑈 ≤ 𝑊)
5		simp3r 1198	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)
6		nbrne2 5086	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ≤ 𝑊 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) → 𝑈 ≠ 𝑃)
7	6	necomd 3071	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ≤ 𝑊 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) → 𝑃 ≠ 𝑈)
8	4, 5, 7	syl2anc 586	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → 𝑃 ≠ 𝑈)
9		cdlemf1.l	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
10		cdlemf1.j	. . . 4 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
11		cdlemf1.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
12	9, 10, 11	hlsupr 36537	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≠ 𝑈) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑞 ≠ 𝑃 ∧ 𝑞 ≠ 𝑈 ∧ 𝑞 ≤ (𝑃 ∨ 𝑈)))
13	1, 2, 3, 8, 12	syl31anc 1369	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑞 ≠ 𝑃 ∧ 𝑞 ≠ 𝑈 ∧ 𝑞 ≤ (𝑃 ∨ 𝑈)))
14		simp31 1205	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (𝑞 ≠ 𝑃 ∧ 𝑞 ≠ 𝑈 ∧ 𝑞 ≤ (𝑃 ∨ 𝑈))) → 𝑞 ≠ 𝑃)
15	14	necomd 3071	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (𝑞 ≠ 𝑃 ∧ 𝑞 ≠ 𝑈 ∧ 𝑞 ≤ (𝑃 ∨ 𝑈))) → 𝑃 ≠ 𝑞)
16		simp13r 1285	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (𝑞 ≠ 𝑃 ∧ 𝑞 ≠ 𝑈 ∧ 𝑞 ≤ (𝑃 ∨ 𝑈))) → ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)
17		simp12r 1283	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (𝑞 ≠ 𝑃 ∧ 𝑞 ≠ 𝑈 ∧ 𝑞 ≤ (𝑃 ∨ 𝑈))) → 𝑈 ≤ 𝑊)
18		simp11l 1280	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (𝑞 ≠ 𝑃 ∧ 𝑞 ≠ 𝑈 ∧ 𝑞 ≤ (𝑃 ∨ 𝑈))) → 𝐾 ∈ HL)
19	18	hllatd 36515	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (𝑞 ≠ 𝑃 ∧ 𝑞 ≠ 𝑈 ∧ 𝑞 ≤ (𝑃 ∨ 𝑈))) → 𝐾 ∈ Lat)
20		eqid 2821	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
21	20, 11	atbase 36440	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑞 ∈ 𝐴 → 𝑞 ∈ (Base‘𝐾))
22	21	3ad2ant2 1130	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (𝑞 ≠ 𝑃 ∧ 𝑞 ≠ 𝑈 ∧ 𝑞 ≤ (𝑃 ∨ 𝑈))) → 𝑞 ∈ (Base‘𝐾))
23		simp12l 1282	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (𝑞 ≠ 𝑃 ∧ 𝑞 ≠ 𝑈 ∧ 𝑞 ≤ (𝑃 ∨ 𝑈))) → 𝑈 ∈ 𝐴)
24	20, 11	atbase 36440	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐴 → 𝑈 ∈ (Base‘𝐾))
25	23, 24	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (𝑞 ≠ 𝑃 ∧ 𝑞 ≠ 𝑈 ∧ 𝑞 ≤ (𝑃 ∨ 𝑈))) → 𝑈 ∈ (Base‘𝐾))
26		simp11r 1281	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (𝑞 ≠ 𝑃 ∧ 𝑞 ≠ 𝑈 ∧ 𝑞 ≤ (𝑃 ∨ 𝑈))) → 𝑊 ∈ 𝐻)
27		cdlemf1.h	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
28	20, 27	lhpbase 37149	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑊 ∈ 𝐻 → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
29	26, 28	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (𝑞 ≠ 𝑃 ∧ 𝑞 ≠ 𝑈 ∧ 𝑞 ≤ (𝑃 ∨ 𝑈))) → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
30	20, 9, 10	latjle12 17672	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑞 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑈 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))) → ((𝑞 ≤ 𝑊 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊) ↔ (𝑞 ∨ 𝑈) ≤ 𝑊))
31	19, 22, 25, 29, 30	syl13anc 1368	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (𝑞 ≠ 𝑃 ∧ 𝑞 ≠ 𝑈 ∧ 𝑞 ≤ (𝑃 ∨ 𝑈))) → ((𝑞 ≤ 𝑊 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊) ↔ (𝑞 ∨ 𝑈) ≤ 𝑊))
32	31	biimpd 231	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (𝑞 ≠ 𝑃 ∧ 𝑞 ≠ 𝑈 ∧ 𝑞 ≤ (𝑃 ∨ 𝑈))) → ((𝑞 ≤ 𝑊 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊) → (𝑞 ∨ 𝑈) ≤ 𝑊))
33	17, 32	mpan2d 692	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (𝑞 ≠ 𝑃 ∧ 𝑞 ≠ 𝑈 ∧ 𝑞 ≤ (𝑃 ∨ 𝑈))) → (𝑞 ≤ 𝑊 → (𝑞 ∨ 𝑈) ≤ 𝑊))
34		simp33 1207	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (𝑞 ≠ 𝑃 ∧ 𝑞 ≠ 𝑈 ∧ 𝑞 ≤ (𝑃 ∨ 𝑈))) → 𝑞 ≤ (𝑃 ∨ 𝑈))
35		hlcvl 36510	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ CvLat)
36	18, 35	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (𝑞 ≠ 𝑃 ∧ 𝑞 ≠ 𝑈 ∧ 𝑞 ≤ (𝑃 ∨ 𝑈))) → 𝐾 ∈ CvLat)
37		simp2 1133	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (𝑞 ≠ 𝑃 ∧ 𝑞 ≠ 𝑈 ∧ 𝑞 ≤ (𝑃 ∨ 𝑈))) → 𝑞 ∈ 𝐴)
38		simp13l 1284	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (𝑞 ≠ 𝑃 ∧ 𝑞 ≠ 𝑈 ∧ 𝑞 ≤ (𝑃 ∨ 𝑈))) → 𝑃 ∈ 𝐴)
39		simp32 1206	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (𝑞 ≠ 𝑃 ∧ 𝑞 ≠ 𝑈 ∧ 𝑞 ≤ (𝑃 ∨ 𝑈))) → 𝑞 ≠ 𝑈)
40	9, 10, 11	cvlatexch2 36488	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ≠ 𝑈) → (𝑞 ≤ (𝑃 ∨ 𝑈) → 𝑃 ≤ (𝑞 ∨ 𝑈)))
41	36, 37, 38, 23, 39, 40	syl131anc 1379	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (𝑞 ≠ 𝑃 ∧ 𝑞 ≠ 𝑈 ∧ 𝑞 ≤ (𝑃 ∨ 𝑈))) → (𝑞 ≤ (𝑃 ∨ 𝑈) → 𝑃 ≤ (𝑞 ∨ 𝑈)))
42	34, 41	mpd 15	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (𝑞 ≠ 𝑃 ∧ 𝑞 ≠ 𝑈 ∧ 𝑞 ≤ (𝑃 ∨ 𝑈))) → 𝑃 ≤ (𝑞 ∨ 𝑈))
43	20, 11	atbase 36440	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐴 → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
44	38, 43	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (𝑞 ≠ 𝑃 ∧ 𝑞 ≠ 𝑈 ∧ 𝑞 ≤ (𝑃 ∨ 𝑈))) → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
45	20, 10, 11	hlatjcl 36518	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴) → (𝑞 ∨ 𝑈) ∈ (Base‘𝐾))
46	18, 37, 23, 45	syl3anc 1367	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (𝑞 ≠ 𝑃 ∧ 𝑞 ≠ 𝑈 ∧ 𝑞 ≤ (𝑃 ∨ 𝑈))) → (𝑞 ∨ 𝑈) ∈ (Base‘𝐾))
47	20, 9	lattr 17666	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑞 ∨ 𝑈) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))) → ((𝑃 ≤ (𝑞 ∨ 𝑈) ∧ (𝑞 ∨ 𝑈) ≤ 𝑊) → 𝑃 ≤ 𝑊))
48	19, 44, 46, 29, 47	syl13anc 1368	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (𝑞 ≠ 𝑃 ∧ 𝑞 ≠ 𝑈 ∧ 𝑞 ≤ (𝑃 ∨ 𝑈))) → ((𝑃 ≤ (𝑞 ∨ 𝑈) ∧ (𝑞 ∨ 𝑈) ≤ 𝑊) → 𝑃 ≤ 𝑊))
49	42, 48	mpand 693	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (𝑞 ≠ 𝑃 ∧ 𝑞 ≠ 𝑈 ∧ 𝑞 ≤ (𝑃 ∨ 𝑈))) → ((𝑞 ∨ 𝑈) ≤ 𝑊 → 𝑃 ≤ 𝑊))
50	33, 49	syld 47	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (𝑞 ≠ 𝑃 ∧ 𝑞 ≠ 𝑈 ∧ 𝑞 ≤ (𝑃 ∨ 𝑈))) → (𝑞 ≤ 𝑊 → 𝑃 ≤ 𝑊))
51	16, 50	mtod 200	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (𝑞 ≠ 𝑃 ∧ 𝑞 ≠ 𝑈 ∧ 𝑞 ≤ (𝑃 ∨ 𝑈))) → ¬ 𝑞 ≤ 𝑊)
52	9, 10, 11	cvlatexch1 36487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ≠ 𝑃) → (𝑞 ≤ (𝑃 ∨ 𝑈) → 𝑈 ≤ (𝑃 ∨ 𝑞)))
53	36, 37, 23, 38, 14, 52	syl131anc 1379	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (𝑞 ≠ 𝑃 ∧ 𝑞 ≠ 𝑈 ∧ 𝑞 ≤ (𝑃 ∨ 𝑈))) → (𝑞 ≤ (𝑃 ∨ 𝑈) → 𝑈 ≤ (𝑃 ∨ 𝑞)))
54	34, 53	mpd 15	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (𝑞 ≠ 𝑃 ∧ 𝑞 ≠ 𝑈 ∧ 𝑞 ≤ (𝑃 ∨ 𝑈))) → 𝑈 ≤ (𝑃 ∨ 𝑞))
55	15, 51, 54	3jca 1124	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (𝑞 ≠ 𝑃 ∧ 𝑞 ≠ 𝑈 ∧ 𝑞 ≤ (𝑃 ∨ 𝑈))) → (𝑃 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ 𝑈 ≤ (𝑃 ∨ 𝑞)))
56	55	3exp 1115	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (𝑞 ∈ 𝐴 → ((𝑞 ≠ 𝑃 ∧ 𝑞 ≠ 𝑈 ∧ 𝑞 ≤ (𝑃 ∨ 𝑈)) → (𝑃 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ 𝑈 ≤ (𝑃 ∨ 𝑞)))))
57	56	reximdvai 3272	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑞 ≠ 𝑃 ∧ 𝑞 ≠ 𝑈 ∧ 𝑞 ≤ (𝑃 ∨ 𝑈)) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑃 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ 𝑈 ≤ (𝑃 ∨ 𝑞))))
58	13, 57	mpd 15	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑃 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ 𝑈 ≤ (𝑃 ∨ 𝑞)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3016  ∃wrex 3139   class class class wbr 5066  ‘cfv 6355  (class class class)co 7156  Basecbs 16483  lecple 16572  joincjn 17554  Latclat 17655  Atomscatm 36414  CvLatclc 36416  HLchlt 36501  LHypclh 37135

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5190  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4839  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-id 5460  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-proset 17538  df-poset 17556  df-plt 17568  df-lub 17584  df-glb 17585  df-join 17586  df-meet 17587  df-p0 17649  df-lat 17656  df-covers 36417  df-ats 36418  df-atl 36449  df-cvlat 36473  df-hlat 36502  df-lhyp 37139

This theorem is referenced by:  cdlemf2  37713  cdlemg5  37756