Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dia2dimlem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dia2dimlem4 35822
Description: Lemma for dia2dim 35832. Show that the composition (sum) of translations (vectors) 𝐺 and 𝐷 equals 𝐹. Part of proof of Lemma M in [Crawley] p. 121 line 5. (Contributed by NM, 8-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dia2dimlem4.l = (le‘𝐾)
dia2dimlem4.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
dia2dimlem4.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dia2dimlem4.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
dia2dimlem4.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
dia2dimlem4.p (𝜑 → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
dia2dimlem4.f (𝜑𝐹𝑇)
dia2dimlem4.g (𝜑𝐺𝑇)
dia2dimlem4.gv (𝜑 → (𝐺𝑃) = 𝑄)
dia2dimlem4.d (𝜑𝐷𝑇)
dia2dimlem4.dv (𝜑 → (𝐷𝑄) = (𝐹𝑃))
Assertion
Ref Expression
dia2dimlem4 (𝜑 → (𝐷𝐺) = 𝐹)

Proof of Theorem dia2dimlem4
StepHypRef Expression
1 dia2dimlem4.k . 2 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
2 dia2dimlem4.d . . 3 (𝜑𝐷𝑇)
3 dia2dimlem4.g . . 3 (𝜑𝐺𝑇)
4 dia2dimlem4.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
5 dia2dimlem4.t . . . 4 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
64, 5ltrnco 35473 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐷𝑇𝐺𝑇) → (𝐷𝐺) ∈ 𝑇)
71, 2, 3, 6syl3anc 1323 . 2 (𝜑 → (𝐷𝐺) ∈ 𝑇)
8 dia2dimlem4.f . 2 (𝜑𝐹𝑇)
9 dia2dimlem4.p . 2 (𝜑 → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
109simpld 475 . . . 4 (𝜑𝑃𝐴)
11 dia2dimlem4.l . . . . 5 = (le‘𝐾)
12 dia2dimlem4.a . . . . 5 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
1311, 12, 4, 5ltrncoval 34897 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐷𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝑃𝐴) → ((𝐷𝐺)‘𝑃) = (𝐷‘(𝐺𝑃)))
141, 2, 3, 10, 13syl121anc 1328 . . 3 (𝜑 → ((𝐷𝐺)‘𝑃) = (𝐷‘(𝐺𝑃)))
15 dia2dimlem4.gv . . . 4 (𝜑 → (𝐺𝑃) = 𝑄)
1615fveq2d 6154 . . 3 (𝜑 → (𝐷‘(𝐺𝑃)) = (𝐷𝑄))
17 dia2dimlem4.dv . . 3 (𝜑 → (𝐷𝑄) = (𝐹𝑃))
1814, 16, 173eqtrd 2664 . 2 (𝜑 → ((𝐷𝐺)‘𝑃) = (𝐹𝑃))
1911, 12, 4, 5cdlemd 34960 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐷𝐺) ∈ 𝑇𝐹𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ ((𝐷𝐺)‘𝑃) = (𝐹𝑃)) → (𝐷𝐺) = 𝐹)
201, 7, 8, 9, 18, 19syl311anc 1337 1 (𝜑 → (𝐷𝐺) = 𝐹)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1992   class class class wbr 4618  ccom 5083  cfv 5850  lecple 15864  Atomscatm 34016  HLchlt 34103  LHypclh 34736  LTrncltrn 34853
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-riotaBAD 33705
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-iin 4493  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-id 4994  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-undef 7345  df-map 7805  df-preset 16844  df-poset 16862  df-plt 16874  df-lub 16890  df-glb 16891  df-join 16892  df-meet 16893  df-p0 16955  df-p1 16956  df-lat 16962  df-clat 17024  df-oposet 33929  df-ol 33931  df-oml 33932  df-covers 34019  df-ats 34020  df-atl 34051  df-cvlat 34075  df-hlat 34104  df-llines 34250  df-lplanes 34251  df-lvols 34252  df-lines 34253  df-psubsp 34255  df-pmap 34256  df-padd 34548  df-lhyp 34740  df-laut 34741  df-ldil 34856  df-ltrn 34857  df-trl 34912
This theorem is referenced by:  dia2dimlem5  35823
  Copyright terms: Public domain W3C validator