Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dian0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dian0 35808
 Description: The value of the partial isomorphism A is not empty. (Contributed by NM, 17-Jan-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dian0.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
dian0.l = (le‘𝐾)
dian0.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dian0.i 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
dian0 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊)) → (𝐼𝑋) ≠ ∅)

Proof of Theorem dian0
StepHypRef Expression
1 dian0.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 dian0.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3 eqid 2621 . . . . 5 ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
41, 2, 3idltrn 34916 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ( I ↾ 𝐵) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))
54adantr 481 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊)) → ( I ↾ 𝐵) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))
6 eqid 2621 . . . . . 6 (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
7 eqid 2621 . . . . . 6 ((trL‘𝐾)‘𝑊) = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
81, 6, 2, 7trlid0 34943 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘( I ↾ 𝐵)) = (0.‘𝐾))
98adantr 481 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊)) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘( I ↾ 𝐵)) = (0.‘𝐾))
10 hlatl 34127 . . . . . 6 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
1110adantr 481 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝐾 ∈ AtLat)
12 simpl 473 . . . . 5 ((𝑋𝐵𝑋 𝑊) → 𝑋𝐵)
13 dian0.l . . . . . 6 = (le‘𝐾)
141, 13, 6atl0le 34071 . . . . 5 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐵) → (0.‘𝐾) 𝑋)
1511, 12, 14syl2an 494 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊)) → (0.‘𝐾) 𝑋)
169, 15eqbrtrd 4635 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊)) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘( I ↾ 𝐵)) 𝑋)
17 dian0.i . . . 4 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
181, 13, 2, 3, 7, 17diaelval 35802 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊)) → (( I ↾ 𝐵) ∈ (𝐼𝑋) ↔ (( I ↾ 𝐵) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘( I ↾ 𝐵)) 𝑋)))
195, 16, 18mpbir2and 956 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊)) → ( I ↾ 𝐵) ∈ (𝐼𝑋))
20 ne0i 3897 . 2 (( I ↾ 𝐵) ∈ (𝐼𝑋) → (𝐼𝑋) ≠ ∅)
2119, 20syl 17 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊)) → (𝐼𝑋) ≠ ∅)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1987   ≠ wne 2790  ∅c0 3891   class class class wbr 4613   I cid 4984   ↾ cres 5076  ‘cfv 5847  Basecbs 15781  lecple 15869  0.cp0 16958  AtLatcal 34031  HLchlt 34117  LHypclh 34750  LTrncltrn 34867  trLctrl 34925  DIsoAcdia 35797 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-id 4989  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-map 7804  df-preset 16849  df-poset 16867  df-plt 16879  df-lub 16895  df-glb 16896  df-join 16897  df-meet 16898  df-p0 16960  df-p1 16961  df-lat 16967  df-clat 17029  df-oposet 33943  df-ol 33945  df-oml 33946  df-covers 34033  df-ats 34034  df-atl 34065  df-cvlat 34089  df-hlat 34118  df-lhyp 34754  df-laut 34755  df-ldil 34870  df-ltrn 34871  df-trl 34926  df-disoa 35798 This theorem is referenced by:  dialss  35815  dibn0  35922
 Copyright terms: Public domain W3C validator