MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  en2eqpr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem en2eqpr 8775
Description: Building a set with two elements. (Contributed by FL, 11-Aug-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
en2eqpr ((𝐶 ≈ 2𝑜𝐴𝐶𝐵𝐶) → (𝐴𝐵𝐶 = {𝐴, 𝐵}))

Proof of Theorem en2eqpr
StepHypRef Expression
1 2onn 7666 . . . . . 6 2𝑜 ∈ ω
2 nnfi 8098 . . . . . 6 (2𝑜 ∈ ω → 2𝑜 ∈ Fin)
31, 2ax-mp 5 . . . . 5 2𝑜 ∈ Fin
4 simpl1 1062 . . . . 5 (((𝐶 ≈ 2𝑜𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐶 ≈ 2𝑜)
5 enfii 8122 . . . . 5 ((2𝑜 ∈ Fin ∧ 𝐶 ≈ 2𝑜) → 𝐶 ∈ Fin)
63, 4, 5sylancr 694 . . . 4 (((𝐶 ≈ 2𝑜𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐶 ∈ Fin)
7 simpl2 1063 . . . . 5 (((𝐶 ≈ 2𝑜𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐴𝐶)
8 simpl3 1064 . . . . 5 (((𝐶 ≈ 2𝑜𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐵𝐶)
9 prssi 4326 . . . . 5 ((𝐴𝐶𝐵𝐶) → {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝐶)
107, 8, 9syl2anc 692 . . . 4 (((𝐶 ≈ 2𝑜𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ 𝐴𝐵) → {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝐶)
11 pr2nelem 8772 . . . . . . 7 ((𝐴𝐶𝐵𝐶𝐴𝐵) → {𝐴, 𝐵} ≈ 2𝑜)
12113expa 1262 . . . . . 6 (((𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ 𝐴𝐵) → {𝐴, 𝐵} ≈ 2𝑜)
13123adantl1 1215 . . . . 5 (((𝐶 ≈ 2𝑜𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ 𝐴𝐵) → {𝐴, 𝐵} ≈ 2𝑜)
144ensymd 7952 . . . . 5 (((𝐶 ≈ 2𝑜𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ 𝐴𝐵) → 2𝑜𝐶)
15 entr 7953 . . . . 5 (({𝐴, 𝐵} ≈ 2𝑜 ∧ 2𝑜𝐶) → {𝐴, 𝐵} ≈ 𝐶)
1613, 14, 15syl2anc 692 . . . 4 (((𝐶 ≈ 2𝑜𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ 𝐴𝐵) → {𝐴, 𝐵} ≈ 𝐶)
17 fisseneq 8116 . . . 4 ((𝐶 ∈ Fin ∧ {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝐶 ∧ {𝐴, 𝐵} ≈ 𝐶) → {𝐴, 𝐵} = 𝐶)
186, 10, 16, 17syl3anc 1323 . . 3 (((𝐶 ≈ 2𝑜𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ 𝐴𝐵) → {𝐴, 𝐵} = 𝐶)
1918eqcomd 2632 . 2 (((𝐶 ≈ 2𝑜𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐶 = {𝐴, 𝐵})
2019ex 450 1 ((𝐶 ≈ 2𝑜𝐴𝐶𝐵𝐶) → (𝐴𝐵𝐶 = {𝐴, 𝐵}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1992  wne 2796  wss 3560  {cpr 4155   class class class wbr 4618  ωcom 7013  2𝑜c2o 7500  cen 7897  Fincfn 7900
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-br 4619  df-opab 4679  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-om 7014  df-1o 7506  df-2o 7507  df-er 7688  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-fin 7904
This theorem is referenced by:  en2top  20695
  Copyright terms: Public domain W3C validator