MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eqneg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eqneg 10783
Description: A number equal to its negative is zero. (Contributed by NM, 12-Jul-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
eqneg (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 = -𝐴𝐴 = 0))

Proof of Theorem eqneg
StepHypRef Expression
1 1p1times 10245 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → ((1 + 1) · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))
2 negid 10366 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 + -𝐴) = 0)
3 ax-1cn 10032 . . . . . 6 1 ∈ ℂ
43, 3addcli 10082 . . . . 5 (1 + 1) ∈ ℂ
54mul01i 10264 . . . 4 ((1 + 1) · 0) = 0
62, 5syl6reqr 2704 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → ((1 + 1) · 0) = (𝐴 + -𝐴))
71, 6eqeq12d 2666 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (((1 + 1) · 𝐴) = ((1 + 1) · 0) ↔ (𝐴 + 𝐴) = (𝐴 + -𝐴)))
8 id 22 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 ∈ ℂ)
9 0cnd 10071 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → 0 ∈ ℂ)
104a1i 11 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (1 + 1) ∈ ℂ)
11 1re 10077 . . . . . 6 1 ∈ ℝ
1211, 11readdcli 10091 . . . . 5 (1 + 1) ∈ ℝ
13 0lt1 10588 . . . . . 6 0 < 1
1411, 11, 13, 13addgt0ii 10608 . . . . 5 0 < (1 + 1)
1512, 14gt0ne0ii 10602 . . . 4 (1 + 1) ≠ 0
1615a1i 11 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (1 + 1) ≠ 0)
178, 9, 10, 16mulcand 10698 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (((1 + 1) · 𝐴) = ((1 + 1) · 0) ↔ 𝐴 = 0))
18 negcl 10319 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)
198, 8, 18addcand 10277 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 + 𝐴) = (𝐴 + -𝐴) ↔ 𝐴 = -𝐴))
207, 17, 193bitr3rd 299 1 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 = -𝐴𝐴 = 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  (class class class)co 6690  cc 9972  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977   · cmul 9979  -cneg 10305
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-po 5064  df-so 5065  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307
This theorem is referenced by:  eqnegd  10784  eqnegi  10792
  Copyright terms: Public domain W3C validator