MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mul01i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mul01i 10073
Description: Multiplication by 0. Theorem I.6 of [Apostol] p. 18. (Contributed by NM, 23-Nov-1994.) (Revised by Scott Fenton, 3-Jan-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
mul.1 𝐴 ∈ ℂ
Assertion
Ref Expression
mul01i (𝐴 · 0) = 0

Proof of Theorem mul01i
StepHypRef Expression
1 mul.1 . 2 𝐴 ∈ ℂ
2 mul01 10062 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · 0) = 0)
31, 2ax-mp 5 1 (𝐴 · 0) = 0
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1474  wcel 1975  (class class class)co 6523  cc 9786  0cc0 9788   · cmul 9793
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2228  ax-ext 2585  ax-sep 4699  ax-nul 4708  ax-pow 4760  ax-pr 4824  ax-un 6820  ax-resscn 9845  ax-1cn 9846  ax-icn 9847  ax-addcl 9848  ax-addrcl 9849  ax-mulcl 9850  ax-mulrcl 9851  ax-mulcom 9852  ax-addass 9853  ax-mulass 9854  ax-distr 9855  ax-i2m1 9856  ax-1ne0 9857  ax-1rid 9858  ax-rnegex 9859  ax-rrecex 9860  ax-cnre 9861  ax-pre-lttri 9862  ax-pre-lttrn 9863  ax-pre-ltadd 9864
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2457  df-mo 2458  df-clab 2592  df-cleq 2598  df-clel 2601  df-nfc 2735  df-ne 2777  df-nel 2778  df-ral 2896  df-rex 2897  df-rab 2900  df-v 3170  df-sbc 3398  df-csb 3495  df-dif 3538  df-un 3540  df-in 3542  df-ss 3549  df-nul 3870  df-if 4032  df-pw 4105  df-sn 4121  df-pr 4123  df-op 4127  df-uni 4363  df-br 4574  df-opab 4634  df-mpt 4635  df-id 4939  df-po 4945  df-so 4946  df-xp 5030  df-rel 5031  df-cnv 5032  df-co 5033  df-dm 5034  df-rn 5035  df-res 5036  df-ima 5037  df-iota 5750  df-fun 5788  df-fn 5789  df-f 5790  df-f1 5791  df-fo 5792  df-f1o 5793  df-fv 5794  df-ov 6526  df-er 7602  df-en 7815  df-dom 7816  df-sdom 7817  df-pnf 9928  df-mnf 9929  df-ltxr 9931
This theorem is referenced by:  ine0  10312  msqge0  10394  recextlem2  10503  eqneg  10590  crne0  10856  2t0e0  11026  it0e0  11097  num0h  11337  decmul1  11413  decmul1OLD  11414  discr  12814  sin4lt0  14706  demoivreALT  14712  gcdaddmlem  15025  bezout  15040  139prm  15611  317prm  15613  631prm  15614  1259lem4  15621  2503lem1  15624  2503lem2  15625  4001lem1  15628  4001lem2  15629  4001lem3  15630  4001lem4  15631  odadd1  18016  minveclem7  22927  itg1addlem4  23185  aalioulem3  23806  dcubic  24286  log2ublem3  24388  basellem7  24526  basellem9  24528  lgsdir2  24768  selberg2lem  24952  logdivbnd  24958  pntrsumo1  24967  pntrlog2bndlem5  24983  axpaschlem  25534  axlowdimlem6  25541  nmblolbii  26840  siilem1  26892  minvecolem7  26925  eigorthi  27882  nmbdoplbi  28069  nmcoplbi  28073  nmbdfnlbi  28094  nmcfnlbi  28097  nmopcoi  28140  subfacval2  30225  areacirc  32474  139prmALT  39850
  Copyright terms: Public domain W3C validator