MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mul01i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mul01i 10211
Description: Multiplication by 0. Theorem I.6 of [Apostol] p. 18. (Contributed by NM, 23-Nov-1994.) (Revised by Scott Fenton, 3-Jan-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
mul.1 𝐴 ∈ ℂ
Assertion
Ref Expression
mul01i (𝐴 · 0) = 0

Proof of Theorem mul01i
StepHypRef Expression
1 mul.1 . 2 𝐴 ∈ ℂ
2 mul01 10200 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · 0) = 0)
31, 2ax-mp 5 1 (𝐴 · 0) = 0
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1481  wcel 1988  (class class class)co 6635  cc 9919  0cc0 9921   · cmul 9926
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-op 4175  df-uni 4428  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-id 5014  df-po 5025  df-so 5026  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-ov 6638  df-er 7727  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-ltxr 10064
This theorem is referenced by:  ine0  10450  msqge0  10534  recextlem2  10643  eqneg  10730  crne0  10998  2t0e0  11168  it0e0  11239  num0h  11494  decmul1  11570  decmul1OLD  11571  discr  12984  sin4lt0  14906  demoivreALT  14912  gcdaddmlem  15226  bezout  15241  139prm  15812  317prm  15814  631prm  15815  1259lem4  15822  2503lem1  15825  2503lem2  15826  4001lem1  15829  4001lem2  15830  4001lem3  15831  4001lem4  15832  odadd1  18232  minveclem7  23187  itg1addlem4  23447  aalioulem3  24070  dcubic  24554  log2ublem3  24656  basellem7  24794  basellem9  24796  lgsdir2  25036  selberg2lem  25220  logdivbnd  25226  pntrsumo1  25235  pntrlog2bndlem5  25251  axpaschlem  25801  axlowdimlem6  25808  nmblolbii  27624  siilem1  27676  minvecolem7  27709  eigorthi  28666  nmbdoplbi  28853  nmcoplbi  28857  nmbdfnlbi  28878  nmcfnlbi  28881  nmopcoi  28924  itgexpif  30658  hgt750lem2  30704  subfacval2  31143  areacirc  33476  139prmALT  41276
  Copyright terms: Public domain W3C validator