Theorem fnpr2o 16830

Description: Function with a domain of 2_o. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Sep-2023.)

Assertion

Ref	Expression
fnpr2o	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → {⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩} Fn 2o)

Proof of Theorem fnpr2o

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano1 7601	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ ω
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ∅ ∈ ω)
3		1onn 8265	. . . 4 ⊢ 1o ∈ ω
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → 1o ∈ ω)
5		simpl 485	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → 𝐴 ∈ 𝑉)
6		simpr 487	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → 𝐵 ∈ 𝑊)
7		1n0 8119	. . . . 5 ⊢ 1o ≠ ∅
8	7	necomi 3070	. . . 4 ⊢ ∅ ≠ 1o
9	8	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ∅ ≠ 1o)
10		fnprg 6413	. . 3 ⊢ (((∅ ∈ ω ∧ 1o ∈ ω) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ∅ ≠ 1o) → {⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩} Fn {∅, 1o})
11	2, 4, 5, 6, 9, 10	syl221anc 1377	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → {⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩} Fn {∅, 1o})
12		df2o3 8117	. . 3 ⊢ 2o = {∅, 1o}
13	12	fneq2i 6451	. 2 ⊢ ({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩} Fn 2o ↔ {⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩} Fn {∅, 1o})
14	11, 13	sylibr 236	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → {⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩} Fn 2o)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3016  ∅c0 4291  {cpr 4569  ⟨cop 4573   Fn wfn 6350  ωcom 7580  1_oc1o 8095  2_oc2o 8096

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pr 5330  ax-un 7461

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-br 5067  df-opab 5129  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-fun 6357  df-fn 6358  df-om 7581  df-1o 8102  df-2o 8103

This theorem is referenced by:  fnpr2ob  16831  xpsfeq  16836  xpsfrnel2  16837  xpsrnbas  16844  xpsaddlem  16846  xpsvsca  16850  xpsle  16852  xpstopnlem1  22417  xpstopnlem2  22419  xpsxmetlem  22989  xpsdsval  22991  xpsmet  22992