Theorem fseqsupubi 12714

Description: The values of a finite real sequence are bounded by their supremum. (Contributed by NM, 20-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
fseqsupubi	⊢ ((𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝐹:(𝑀...𝑁)⟶ℝ) → (𝐹‘𝐾) ≤ sup(ran 𝐹, ℝ, < ))

Proof of Theorem fseqsupubi

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frn 6012	. . 3 ⊢ (𝐹:(𝑀...𝑁)⟶ℝ → ran 𝐹 ⊆ ℝ)
2	1	adantl 482	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝐹:(𝑀...𝑁)⟶ℝ) → ran 𝐹 ⊆ ℝ)
3		fdm 6010	. . 3 ⊢ (𝐹:(𝑀...𝑁)⟶ℝ → dom 𝐹 = (𝑀...𝑁))
4		ne0i 3902	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝑀...𝑁) ≠ ∅)
5		dm0rn0 5306	. . . . . 6 ⊢ (dom 𝐹 = ∅ ↔ ran 𝐹 = ∅)
6		eqeq1 2630	. . . . . . 7 ⊢ (dom 𝐹 = (𝑀...𝑁) → (dom 𝐹 = ∅ ↔ (𝑀...𝑁) = ∅))
7	6	biimpd 219	. . . . . 6 ⊢ (dom 𝐹 = (𝑀...𝑁) → (dom 𝐹 = ∅ → (𝑀...𝑁) = ∅))
8	5, 7	syl5bir 233	. . . . 5 ⊢ (dom 𝐹 = (𝑀...𝑁) → (ran 𝐹 = ∅ → (𝑀...𝑁) = ∅))
9	8	necon3d 2817	. . . 4 ⊢ (dom 𝐹 = (𝑀...𝑁) → ((𝑀...𝑁) ≠ ∅ → ran 𝐹 ≠ ∅))
10	4, 9	mpan9 486	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ dom 𝐹 = (𝑀...𝑁)) → ran 𝐹 ≠ ∅)
11	3, 10	sylan2 491	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝐹:(𝑀...𝑁)⟶ℝ) → ran 𝐹 ≠ ∅)
12		fsequb2 12712	. . 3 ⊢ (𝐹:(𝑀...𝑁)⟶ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ran 𝐹 𝑦 ≤ 𝑥)
13	12	adantl 482	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝐹:(𝑀...𝑁)⟶ℝ) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ran 𝐹 𝑦 ≤ 𝑥)
14		ffn 6004	. . 3 ⊢ (𝐹:(𝑀...𝑁)⟶ℝ → 𝐹 Fn (𝑀...𝑁))
15		fnfvelrn 6313	. . . 4 ⊢ ((𝐹 Fn (𝑀...𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹‘𝐾) ∈ ran 𝐹)
16	15	ancoms 469	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝐹 Fn (𝑀...𝑁)) → (𝐹‘𝐾) ∈ ran 𝐹)
17	14, 16	sylan2 491	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝐹:(𝑀...𝑁)⟶ℝ) → (𝐹‘𝐾) ∈ ran 𝐹)
18		suprub 10929	. 2 ⊢ (((ran 𝐹 ⊆ ℝ ∧ ran 𝐹 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ran 𝐹 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ (𝐹‘𝐾) ∈ ran 𝐹) → (𝐹‘𝐾) ≤ sup(ran 𝐹, ℝ, < ))
19	2, 11, 13, 17, 18	syl31anc 1326	1 ⊢ ((𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝐹:(𝑀...𝑁)⟶ℝ) → (𝐹‘𝐾) ≤ sup(ran 𝐹, ℝ, < ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1992   ≠ wne 2796  ∀wral 2912  ∃wrex 2913   ⊆ wss 3560  ∅c0 3896   class class class wbr 4618  dom cdm 5079  ran crn 5080   Fn wfn 5845  ⟶wf 5846  ‘cfv 5850  (class class class)co 6605  supcsup 8291  ℝcr 9880   < clt 10019   ≤ cle 10020  ...cfz 12265

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958  ax-pre-sup 9959

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-om 7014  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-1o 7506  df-oadd 7510  df-er 7688  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-fin 7904  df-sup 8293  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-nn 10966  df-n0 11238  df-z 11323  df-uz 11632  df-fz 12266

This theorem is referenced by: (None)