Theorem fzadd2 12943

Description: Membership of a sum in a finite interval of integers. (Contributed by Jeff Madsen, 17-Jun-2010.)

Assertion

Ref	Expression
fzadd2	⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ)) → ((𝐽 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (𝑂...𝑃)) → (𝐽 + 𝐾) ∈ ((𝑀 + 𝑂)...(𝑁 + 𝑃))))

Proof of Theorem fzadd2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfz1 12898	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐽 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐽 ∧ 𝐽 ≤ 𝑁)))
2		elfz1 12898	. . 3 ⊢ ((𝑂 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (𝑂...𝑃) ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑂 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑃)))
3	1, 2	bi2anan9 637	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ)) → ((𝐽 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (𝑂...𝑃)) ↔ ((𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐽 ∧ 𝐽 ≤ 𝑁) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑂 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑃))))
4		an6 1441	. . 3 ⊢ (((𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐽 ∧ 𝐽 ≤ 𝑁) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑂 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑃)) ↔ ((𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝐽 ∧ 𝑂 ≤ 𝐾) ∧ (𝐽 ≤ 𝑁 ∧ 𝐾 ≤ 𝑃)))
5		zre 11986	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
6		zre 11986	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑂 ∈ ℤ → 𝑂 ∈ ℝ)
7	5, 6	anim12i 614	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑂 ∈ ℤ) → (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑂 ∈ ℝ))
8		zre 11986	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐽 ∈ ℤ → 𝐽 ∈ ℝ)
9		zre 11986	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℝ)
10	8, 9	anim12i 614	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ))
11		le2add 11122	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑂 ∈ ℝ) ∧ (𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ)) → ((𝑀 ≤ 𝐽 ∧ 𝑂 ≤ 𝐾) → (𝑀 + 𝑂) ≤ (𝐽 + 𝐾)))
12	7, 10, 11	syl2an 597	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑂 ∈ ℤ) ∧ (𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → ((𝑀 ≤ 𝐽 ∧ 𝑂 ≤ 𝐾) → (𝑀 + 𝑂) ≤ (𝐽 + 𝐾)))
13	12	impr 457	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑂 ∈ ℤ) ∧ ((𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝐽 ∧ 𝑂 ≤ 𝐾))) → (𝑀 + 𝑂) ≤ (𝐽 + 𝐾))
14	13	3adantr3 1167	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑂 ∈ ℤ) ∧ ((𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝐽 ∧ 𝑂 ≤ 𝐾) ∧ (𝐽 ≤ 𝑁 ∧ 𝐾 ≤ 𝑃))) → (𝑀 + 𝑂) ≤ (𝐽 + 𝐾))
15	14	adantlr 713	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑂 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ)) ∧ ((𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝐽 ∧ 𝑂 ≤ 𝐾) ∧ (𝐽 ≤ 𝑁 ∧ 𝐾 ≤ 𝑃))) → (𝑀 + 𝑂) ≤ (𝐽 + 𝐾))
16		zre 11986	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
17		zre 11986	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 ∈ ℤ → 𝑃 ∈ ℝ)
18	16, 17	anim12i 614	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ))
19		le2add 11122	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ)) → ((𝐽 ≤ 𝑁 ∧ 𝐾 ≤ 𝑃) → (𝐽 + 𝐾) ≤ (𝑁 + 𝑃)))
20	10, 18, 19	syl2anr 598	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) ∧ (𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → ((𝐽 ≤ 𝑁 ∧ 𝐾 ≤ 𝑃) → (𝐽 + 𝐾) ≤ (𝑁 + 𝑃)))
21	20	impr 457	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) ∧ ((𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝐽 ≤ 𝑁 ∧ 𝐾 ≤ 𝑃))) → (𝐽 + 𝐾) ≤ (𝑁 + 𝑃))
22	21	3adantr2 1166	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) ∧ ((𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝐽 ∧ 𝑂 ≤ 𝐾) ∧ (𝐽 ≤ 𝑁 ∧ 𝐾 ≤ 𝑃))) → (𝐽 + 𝐾) ≤ (𝑁 + 𝑃))
23	22	adantll 712	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑂 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ)) ∧ ((𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝐽 ∧ 𝑂 ≤ 𝐾) ∧ (𝐽 ≤ 𝑁 ∧ 𝐾 ≤ 𝑃))) → (𝐽 + 𝐾) ≤ (𝑁 + 𝑃))
24		zaddcl 12023	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐽 + 𝐾) ∈ ℤ)
25		zaddcl 12023	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑂 ∈ ℤ) → (𝑀 + 𝑂) ∈ ℤ)
26		zaddcl 12023	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (𝑁 + 𝑃) ∈ ℤ)
27		elfz 12899	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐽 + 𝐾) ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 𝑂) ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 𝑃) ∈ ℤ) → ((𝐽 + 𝐾) ∈ ((𝑀 + 𝑂)...(𝑁 + 𝑃)) ↔ ((𝑀 + 𝑂) ≤ (𝐽 + 𝐾) ∧ (𝐽 + 𝐾) ≤ (𝑁 + 𝑃))))
28	24, 25, 26, 27	syl3an 1156	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑂 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ)) → ((𝐽 + 𝐾) ∈ ((𝑀 + 𝑂)...(𝑁 + 𝑃)) ↔ ((𝑀 + 𝑂) ≤ (𝐽 + 𝐾) ∧ (𝐽 + 𝐾) ≤ (𝑁 + 𝑃))))
29	28	3expb 1116	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑂 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ))) → ((𝐽 + 𝐾) ∈ ((𝑀 + 𝑂)...(𝑁 + 𝑃)) ↔ ((𝑀 + 𝑂) ≤ (𝐽 + 𝐾) ∧ (𝐽 + 𝐾) ≤ (𝑁 + 𝑃))))
30	29	ancoms 461	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑂 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ)) ∧ (𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → ((𝐽 + 𝐾) ∈ ((𝑀 + 𝑂)...(𝑁 + 𝑃)) ↔ ((𝑀 + 𝑂) ≤ (𝐽 + 𝐾) ∧ (𝐽 + 𝐾) ≤ (𝑁 + 𝑃))))
31	30	3ad2antr1 1184	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑂 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ)) ∧ ((𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝐽 ∧ 𝑂 ≤ 𝐾) ∧ (𝐽 ≤ 𝑁 ∧ 𝐾 ≤ 𝑃))) → ((𝐽 + 𝐾) ∈ ((𝑀 + 𝑂)...(𝑁 + 𝑃)) ↔ ((𝑀 + 𝑂) ≤ (𝐽 + 𝐾) ∧ (𝐽 + 𝐾) ≤ (𝑁 + 𝑃))))
32	15, 23, 31	mpbir2and 711	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑂 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ)) ∧ ((𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝐽 ∧ 𝑂 ≤ 𝐾) ∧ (𝐽 ≤ 𝑁 ∧ 𝐾 ≤ 𝑃))) → (𝐽 + 𝐾) ∈ ((𝑀 + 𝑂)...(𝑁 + 𝑃)))
33	32	ex 415	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑂 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ)) → (((𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝐽 ∧ 𝑂 ≤ 𝐾) ∧ (𝐽 ≤ 𝑁 ∧ 𝐾 ≤ 𝑃)) → (𝐽 + 𝐾) ∈ ((𝑀 + 𝑂)...(𝑁 + 𝑃))))
34	33	an4s 658	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ)) → (((𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝐽 ∧ 𝑂 ≤ 𝐾) ∧ (𝐽 ≤ 𝑁 ∧ 𝐾 ≤ 𝑃)) → (𝐽 + 𝐾) ∈ ((𝑀 + 𝑂)...(𝑁 + 𝑃))))
35	4, 34	syl5bi 244	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ)) → (((𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐽 ∧ 𝐽 ≤ 𝑁) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑂 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑃)) → (𝐽 + 𝐾) ∈ ((𝑀 + 𝑂)...(𝑁 + 𝑃))))
36	3, 35	sylbid 242	1 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ)) → ((𝐽 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (𝑂...𝑃)) → (𝐽 + 𝐾) ∈ ((𝑀 + 𝑂)...(𝑁 + 𝑃))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5066  (class class class)co 7156  ℝcr 10536   + caddc 10540   ≤ cle 10676  ℤcz 11982  ...cfz 12893

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-nn 11639  df-n0 11899  df-z 11983  df-fz 12894

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