Theorem harword 9031

Description: Weak ordering property of the Hartogs function. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
harword	⊢ (𝑋 ≼ 𝑌 → (har‘𝑋) ⊆ (har‘𝑌))

Proof of Theorem harword

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		domtr 8564	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ≼ 𝑋 ∧ 𝑋 ≼ 𝑌) → 𝑦 ≼ 𝑌)
2	1	expcom 416	. . . 4 ⊢ (𝑋 ≼ 𝑌 → (𝑦 ≼ 𝑋 → 𝑦 ≼ 𝑌))
3	2	adantr 483	. . 3 ⊢ ((𝑋 ≼ 𝑌 ∧ 𝑦 ∈ On) → (𝑦 ≼ 𝑋 → 𝑦 ≼ 𝑌))
4	3	ss2rabdv 4054	. 2 ⊢ (𝑋 ≼ 𝑌 → {𝑦 ∈ On ∣ 𝑦 ≼ 𝑋} ⊆ {𝑦 ∈ On ∣ 𝑦 ≼ 𝑌})
5		reldom 8517	. . . 4 ⊢ Rel ≼
6	5	brrelex1i 5610	. . 3 ⊢ (𝑋 ≼ 𝑌 → 𝑋 ∈ V)
7		harval 9028	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ V → (har‘𝑋) = {𝑦 ∈ On ∣ 𝑦 ≼ 𝑋})
8	6, 7	syl 17	. 2 ⊢ (𝑋 ≼ 𝑌 → (har‘𝑋) = {𝑦 ∈ On ∣ 𝑦 ≼ 𝑋})
9	5	brrelex2i 5611	. . 3 ⊢ (𝑋 ≼ 𝑌 → 𝑌 ∈ V)
10		harval 9028	. . 3 ⊢ (𝑌 ∈ V → (har‘𝑌) = {𝑦 ∈ On ∣ 𝑦 ≼ 𝑌})
11	9, 10	syl 17	. 2 ⊢ (𝑋 ≼ 𝑌 → (har‘𝑌) = {𝑦 ∈ On ∣ 𝑦 ≼ 𝑌})
12	4, 8, 11	3sstr4d 4016	1 ⊢ (𝑋 ≼ 𝑌 → (har‘𝑋) ⊆ (har‘𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  {crab 3144  Vcvv 3496   ⊆ wss 3938   class class class wbr 5068  Oncon0 6193  ‘cfv 6357   ≼ cdom 8509  harchar 9022

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-rep 5192  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-se 5517  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-isom 6366  df-riota 7116  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-en 8512  df-dom 8513  df-oi 8976  df-har 9024

This theorem is referenced by:  hsmexlem3  9852