MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashgt0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hashgt0 13124
Description: The cardinality of a nonempty set is greater than zero. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Mar-2017.)
Assertion
Ref Expression
hashgt0 ((𝐴𝑉𝐴 ≠ ∅) → 0 < (#‘𝐴))

Proof of Theorem hashgt0
StepHypRef Expression
1 hashge0 13123 . . . 4 (𝐴𝑉 → 0 ≤ (#‘𝐴))
21adantr 481 . . 3 ((𝐴𝑉𝐴 ≠ ∅) → 0 ≤ (#‘𝐴))
3 hasheq0 13101 . . . . 5 (𝐴𝑉 → ((#‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = ∅))
43necon3bid 2834 . . . 4 (𝐴𝑉 → ((#‘𝐴) ≠ 0 ↔ 𝐴 ≠ ∅))
54biimpar 502 . . 3 ((𝐴𝑉𝐴 ≠ ∅) → (#‘𝐴) ≠ 0)
62, 5jca 554 . 2 ((𝐴𝑉𝐴 ≠ ∅) → (0 ≤ (#‘𝐴) ∧ (#‘𝐴) ≠ 0))
7 0xr 10037 . . . 4 0 ∈ ℝ*
8 hashxrcl 13095 . . . 4 (𝐴𝑉 → (#‘𝐴) ∈ ℝ*)
9 xrltlen 11930 . . . 4 ((0 ∈ ℝ* ∧ (#‘𝐴) ∈ ℝ*) → (0 < (#‘𝐴) ↔ (0 ≤ (#‘𝐴) ∧ (#‘𝐴) ≠ 0)))
107, 8, 9sylancr 694 . . 3 (𝐴𝑉 → (0 < (#‘𝐴) ↔ (0 ≤ (#‘𝐴) ∧ (#‘𝐴) ≠ 0)))
1110biimpar 502 . 2 ((𝐴𝑉 ∧ (0 ≤ (#‘𝐴) ∧ (#‘𝐴) ≠ 0)) → 0 < (#‘𝐴))
126, 11syldan 487 1 ((𝐴𝑉𝐴 ≠ ∅) → 0 < (#‘𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  wcel 1987  wne 2790  c0 3896   class class class wbr 4618  cfv 5852  0cc0 9887  *cxr 10024   < clt 10025  cle 10026  #chash 13064
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-cnex 9943  ax-resscn 9944  ax-1cn 9945  ax-icn 9946  ax-addcl 9947  ax-addrcl 9948  ax-mulcl 9949  ax-mulrcl 9950  ax-mulcom 9951  ax-addass 9952  ax-mulass 9953  ax-distr 9954  ax-i2m1 9955  ax-1ne0 9956  ax-1rid 9957  ax-rnegex 9958  ax-rrecex 9959  ax-cnre 9960  ax-pre-lttri 9961  ax-pre-lttrn 9962  ax-pre-ltadd 9963  ax-pre-mulgt0 9964
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-oadd 7516  df-er 7694  df-en 7907  df-dom 7908  df-sdom 7909  df-fin 7910  df-card 8716  df-pnf 10027  df-mnf 10028  df-xr 10029  df-ltxr 10030  df-le 10031  df-sub 10219  df-neg 10220  df-nn 10972  df-n0 11244  df-xnn0 11315  df-z 11329  df-uz 11639  df-fz 12276  df-hash 13065
This theorem is referenced by:  hashgt0elexb  13137  wrdeqs1cat  13419  esumpinfval  29934
  Copyright terms: Public domain W3C validator