Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  esumpinfval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem esumpinfval 30365
Description: The value of the extended sum of nonnegative terms, with at least one infinite term. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
esumpinfval.0 𝑘𝜑
esumpinfval.1 (𝜑𝐴𝑉)
esumpinfval.2 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
esumpinfval.3 (𝜑 → ∃𝑘𝐴 𝐵 = +∞)
Assertion
Ref Expression
esumpinfval (𝜑 → Σ*𝑘𝐴𝐵 = +∞)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑉
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem esumpinfval
StepHypRef Expression
1 iccssxr 12370 . . 3 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
2 esumpinfval.1 . . . 4 (𝜑𝐴𝑉)
3 esumpinfval.0 . . . . 5 𝑘𝜑
4 esumpinfval.2 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
54ex 449 . . . . 5 (𝜑 → (𝑘𝐴𝐵 ∈ (0[,]+∞)))
63, 5ralrimi 3059 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
7 nfcv 2866 . . . . 5 𝑘𝐴
87esumcl 30322 . . . 4 ((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑘𝐴𝐵 ∈ (0[,]+∞))
92, 6, 8syl2anc 696 . . 3 (𝜑 → Σ*𝑘𝐴𝐵 ∈ (0[,]+∞))
101, 9sseldi 3707 . 2 (𝜑 → Σ*𝑘𝐴𝐵 ∈ ℝ*)
11 nfrab1 3225 . . . . 5 𝑘{𝑘𝐴𝐵 = +∞}
12 ssrab2 3793 . . . . . 6 {𝑘𝐴𝐵 = +∞} ⊆ 𝐴
1312a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → {𝑘𝐴𝐵 = +∞} ⊆ 𝐴)
14 0xr 10199 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ*
15 pnfxr 10205 . . . . . . . 8 +∞ ∈ ℝ*
16 0lepnf 12080 . . . . . . . 8 0 ≤ +∞
17 ubicc2 12403 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ +∞) → +∞ ∈ (0[,]+∞))
1814, 15, 16, 17mp3an 1537 . . . . . . 7 +∞ ∈ (0[,]+∞)
1918a1i 11 . . . . . 6 (((𝜑𝑘𝐴) ∧ 𝐵 = +∞) → +∞ ∈ (0[,]+∞))
20 0e0iccpnf 12397 . . . . . . 7 0 ∈ (0[,]+∞)
2120a1i 11 . . . . . 6 (((𝜑𝑘𝐴) ∧ ¬ 𝐵 = +∞) → 0 ∈ (0[,]+∞))
2219, 21ifclda 4228 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐴) → if(𝐵 = +∞, +∞, 0) ∈ (0[,]+∞))
23 eldif 3690 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑘𝐴𝐵 = +∞}) ↔ (𝑘𝐴 ∧ ¬ 𝑘 ∈ {𝑘𝐴𝐵 = +∞}))
24 rabid 3218 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ {𝑘𝐴𝐵 = +∞} ↔ (𝑘𝐴𝐵 = +∞))
2524simplbi2 656 . . . . . . . . 9 (𝑘𝐴 → (𝐵 = +∞ → 𝑘 ∈ {𝑘𝐴𝐵 = +∞}))
2625con3dimp 456 . . . . . . . 8 ((𝑘𝐴 ∧ ¬ 𝑘 ∈ {𝑘𝐴𝐵 = +∞}) → ¬ 𝐵 = +∞)
2723, 26sylbi 207 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑘𝐴𝐵 = +∞}) → ¬ 𝐵 = +∞)
2827adantl 473 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑘𝐴𝐵 = +∞})) → ¬ 𝐵 = +∞)
2928iffalsed 4205 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑘𝐴𝐵 = +∞})) → if(𝐵 = +∞, +∞, 0) = 0)
303, 11, 7, 13, 2, 22, 29esumss 30364 . . . 4 (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ {𝑘𝐴𝐵 = +∞}if(𝐵 = +∞, +∞, 0) = Σ*𝑘𝐴if(𝐵 = +∞, +∞, 0))
31 eqidd 2725 . . . . . 6 (𝜑 → {𝑘𝐴𝐵 = +∞} = {𝑘𝐴𝐵 = +∞})
3224simprbi 483 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ {𝑘𝐴𝐵 = +∞} → 𝐵 = +∞)
3332iftrued 4202 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ {𝑘𝐴𝐵 = +∞} → if(𝐵 = +∞, +∞, 0) = +∞)
3433adantl 473 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ {𝑘𝐴𝐵 = +∞}) → if(𝐵 = +∞, +∞, 0) = +∞)
353, 31, 34esumeq12dvaf 30323 . . . . 5 (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ {𝑘𝐴𝐵 = +∞}if(𝐵 = +∞, +∞, 0) = Σ*𝑘 ∈ {𝑘𝐴𝐵 = +∞}+∞)
362, 13ssexd 4913 . . . . . 6 (𝜑 → {𝑘𝐴𝐵 = +∞} ∈ V)
37 nfcv 2866 . . . . . . 7 𝑘+∞
3811, 37esumcst 30355 . . . . . 6 (({𝑘𝐴𝐵 = +∞} ∈ V ∧ +∞ ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑘 ∈ {𝑘𝐴𝐵 = +∞}+∞ = ((♯‘{𝑘𝐴𝐵 = +∞}) ·e +∞))
3936, 18, 38sylancl 697 . . . . 5 (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ {𝑘𝐴𝐵 = +∞}+∞ = ((♯‘{𝑘𝐴𝐵 = +∞}) ·e +∞))
40 hashxrcl 13261 . . . . . . 7 ({𝑘𝐴𝐵 = +∞} ∈ V → (♯‘{𝑘𝐴𝐵 = +∞}) ∈ ℝ*)
4136, 40syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘{𝑘𝐴𝐵 = +∞}) ∈ ℝ*)
42 esumpinfval.3 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∃𝑘𝐴 𝐵 = +∞)
43 rabn0 4066 . . . . . . . 8 ({𝑘𝐴𝐵 = +∞} ≠ ∅ ↔ ∃𝑘𝐴 𝐵 = +∞)
4442, 43sylibr 224 . . . . . . 7 (𝜑 → {𝑘𝐴𝐵 = +∞} ≠ ∅)
45 hashgt0 13290 . . . . . . 7 (({𝑘𝐴𝐵 = +∞} ∈ V ∧ {𝑘𝐴𝐵 = +∞} ≠ ∅) → 0 < (♯‘{𝑘𝐴𝐵 = +∞}))
4636, 44, 45syl2anc 696 . . . . . 6 (𝜑 → 0 < (♯‘{𝑘𝐴𝐵 = +∞}))
47 xmulpnf1 12218 . . . . . 6 (((♯‘{𝑘𝐴𝐵 = +∞}) ∈ ℝ* ∧ 0 < (♯‘{𝑘𝐴𝐵 = +∞})) → ((♯‘{𝑘𝐴𝐵 = +∞}) ·e +∞) = +∞)
4841, 46, 47syl2anc 696 . . . . 5 (𝜑 → ((♯‘{𝑘𝐴𝐵 = +∞}) ·e +∞) = +∞)
4935, 39, 483eqtrd 2762 . . . 4 (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ {𝑘𝐴𝐵 = +∞}if(𝐵 = +∞, +∞, 0) = +∞)
5030, 49eqtr3d 2760 . . 3 (𝜑 → Σ*𝑘𝐴if(𝐵 = +∞, +∞, 0) = +∞)
51 breq1 4763 . . . . 5 (+∞ = if(𝐵 = +∞, +∞, 0) → (+∞ ≤ 𝐵 ↔ if(𝐵 = +∞, +∞, 0) ≤ 𝐵))
52 breq1 4763 . . . . 5 (0 = if(𝐵 = +∞, +∞, 0) → (0 ≤ 𝐵 ↔ if(𝐵 = +∞, +∞, 0) ≤ 𝐵))
53 pnfge 12078 . . . . . . . 8 (+∞ ∈ ℝ* → +∞ ≤ +∞)
5415, 53ax-mp 5 . . . . . . 7 +∞ ≤ +∞
55 breq2 4764 . . . . . . 7 (𝐵 = +∞ → (+∞ ≤ 𝐵 ↔ +∞ ≤ +∞))
5654, 55mpbiri 248 . . . . . 6 (𝐵 = +∞ → +∞ ≤ 𝐵)
5756adantl 473 . . . . 5 (((𝜑𝑘𝐴) ∧ 𝐵 = +∞) → +∞ ≤ 𝐵)
584adantr 472 . . . . . 6 (((𝜑𝑘𝐴) ∧ ¬ 𝐵 = +∞) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
59 iccgelb 12344 . . . . . . 7 ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → 0 ≤ 𝐵)
6014, 15, 59mp3an12 1527 . . . . . 6 (𝐵 ∈ (0[,]+∞) → 0 ≤ 𝐵)
6158, 60syl 17 . . . . 5 (((𝜑𝑘𝐴) ∧ ¬ 𝐵 = +∞) → 0 ≤ 𝐵)
6251, 52, 57, 61ifbothda 4231 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → if(𝐵 = +∞, +∞, 0) ≤ 𝐵)
633, 7, 2, 22, 4, 62esumlef 30354 . . 3 (𝜑 → Σ*𝑘𝐴if(𝐵 = +∞, +∞, 0) ≤ Σ*𝑘𝐴𝐵)
6450, 63eqbrtrrd 4784 . 2 (𝜑 → +∞ ≤ Σ*𝑘𝐴𝐵)
65 xgepnf 12110 . . 3 *𝑘𝐴𝐵 ∈ ℝ* → (+∞ ≤ Σ*𝑘𝐴𝐵 ↔ Σ*𝑘𝐴𝐵 = +∞))
6665biimpd 219 . 2 *𝑘𝐴𝐵 ∈ ℝ* → (+∞ ≤ Σ*𝑘𝐴𝐵 → Σ*𝑘𝐴𝐵 = +∞))
6710, 64, 66sylc 65 1 (𝜑 → Σ*𝑘𝐴𝐵 = +∞)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 383   = wceq 1596  wnf 1821  wcel 2103  wne 2896  wral 3014  wrex 3015  {crab 3018  Vcvv 3304  cdif 3677  wss 3680  c0 4023  ifcif 4194   class class class wbr 4760  cfv 6001  (class class class)co 6765  0cc0 10049  +∞cpnf 10184  *cxr 10186   < clt 10187  cle 10188   ·e cxmu 12059  [,]cicc 12292  chash 13232  Σ*cesum 30319
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-rep 4879  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-un 7066  ax-inf2 8651  ax-cnex 10105  ax-resscn 10106  ax-1cn 10107  ax-icn 10108  ax-addcl 10109  ax-addrcl 10110  ax-mulcl 10111  ax-mulrcl 10112  ax-mulcom 10113  ax-addass 10114  ax-mulass 10115  ax-distr 10116  ax-i2m1 10117  ax-1ne0 10118  ax-1rid 10119  ax-rnegex 10120  ax-rrecex 10121  ax-cnre 10122  ax-pre-lttri 10123  ax-pre-lttrn 10124  ax-pre-ltadd 10125  ax-pre-mulgt0 10126  ax-pre-sup 10127  ax-addf 10128  ax-mulf 10129
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1599  df-fal 1602  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-nel 3000  df-ral 3019  df-rex 3020  df-reu 3021  df-rmo 3022  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-csb 3640  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-pss 3696  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-tp 4290  df-op 4292  df-uni 4545  df-int 4584  df-iun 4630  df-iin 4631  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-tr 4861  df-id 5128  df-eprel 5133  df-po 5139  df-so 5140  df-fr 5177  df-se 5178  df-we 5179  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-pred 5793  df-ord 5839  df-on 5840  df-lim 5841  df-suc 5842  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-fv 6009  df-isom 6010  df-riota 6726  df-ov 6768  df-oprab 6769  df-mpt2 6770  df-of 7014  df-om 7183  df-1st 7285  df-2nd 7286  df-supp 7416  df-wrecs 7527  df-recs 7588  df-rdg 7626  df-1o 7680  df-2o 7681  df-oadd 7684  df-er 7862  df-map 7976  df-pm 7977  df-ixp 8026  df-en 8073  df-dom 8074  df-sdom 8075  df-fin 8076  df-fsupp 8392  df-fi 8433  df-sup 8464  df-inf 8465  df-oi 8531  df-card 8878  df-cda 9103  df-pnf 10189  df-mnf 10190  df-xr 10191  df-ltxr 10192  df-le 10193  df-sub 10381  df-neg 10382  df-div 10798  df-nn 11134  df-2 11192  df-3 11193  df-4 11194  df-5 11195  df-6 11196  df-7 11197  df-8 11198  df-9 11199  df-n0 11406  df-xnn0 11477  df-z 11491  df-dec 11607  df-uz 11801  df-q 11903  df-rp 11947  df-xneg 12060  df-xadd 12061  df-xmul 12062  df-ioo 12293  df-ioc 12294  df-ico 12295  df-icc 12296  df-fz 12441  df-fzo 12581  df-fl 12708  df-mod 12784  df-seq 12917  df-exp 12976  df-fac 13176  df-bc 13205  df-hash 13233  df-shft 13927  df-cj 13959  df-re 13960  df-im 13961  df-sqrt 14095  df-abs 14096  df-limsup 14322  df-clim 14339  df-rlim 14340  df-sum 14537  df-ef 14918  df-sin 14920  df-cos 14921  df-pi 14923  df-struct 15982  df-ndx 15983  df-slot 15984  df-base 15986  df-sets 15987  df-ress 15988  df-plusg 16077  df-mulr 16078  df-starv 16079  df-sca 16080  df-vsca 16081  df-ip 16082  df-tset 16083  df-ple 16084  df-ds 16087  df-unif 16088  df-hom 16089  df-cco 16090  df-rest 16206  df-topn 16207  df-0g 16225  df-gsum 16226  df-topgen 16227  df-pt 16228  df-prds 16231  df-ordt 16284  df-xrs 16285  df-qtop 16290  df-imas 16291  df-xps 16293  df-mre 16369  df-mrc 16370  df-acs 16372  df-ps 17322  df-tsr 17323  df-plusf 17363  df-mgm 17364  df-sgrp 17406  df-mnd 17417  df-mhm 17457  df-submnd 17458  df-grp 17547  df-minusg 17548  df-sbg 17549  df-mulg 17663  df-subg 17713  df-cntz 17871  df-cmn 18316  df-abl 18317  df-mgp 18611  df-ur 18623  df-ring 18670  df-cring 18671  df-subrg 18901  df-abv 18940  df-lmod 18988  df-scaf 18989  df-sra 19295  df-rgmod 19296  df-psmet 19861  df-xmet 19862  df-met 19863  df-bl 19864  df-mopn 19865  df-fbas 19866  df-fg 19867  df-cnfld 19870  df-top 20822  df-topon 20839  df-topsp 20860  df-bases 20873  df-cld 20946  df-ntr 20947  df-cls 20948  df-nei 21025  df-lp 21063  df-perf 21064  df-cn 21154  df-cnp 21155  df-haus 21242  df-tx 21488  df-hmeo 21681  df-fil 21772  df-fm 21864  df-flim 21865  df-flf 21866  df-tmd 21998  df-tgp 21999  df-tsms 22052  df-trg 22085  df-xms 22247  df-ms 22248  df-tms 22249  df-nm 22509  df-ngp 22510  df-nrg 22512  df-nlm 22513  df-ii 22802  df-cncf 22803  df-limc 23750  df-dv 23751  df-log 24423  df-esum 30320
This theorem is referenced by:  hasheuni  30377  esumcvg  30378  esumcvgre  30383  voliune  30522  volfiniune  30523
  Copyright terms: Public domain W3C validator