hashxpe - Mathbox for Thierry Arnoux

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Theorem hashxpe 30529

Description: The size of the Cartesian product of two finite sets is the product of their sizes. This is a version of hashxp 13796 valid for infinite sets, which uses extended real numbers. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-May-2023.)

**Assertion**
Ref	Expression
hashxpe	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (♯‘(𝐴 × 𝐵)) = ((♯‘𝐴) ·_e (♯‘𝐵)))

**Proof of Theorem hashxpe**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 487	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin)) → (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin))
2		hashxp 13796	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘(𝐴 × 𝐵)) = ((♯‘𝐴) · (♯‘𝐵)))
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin)) → (♯‘(𝐴 × 𝐵)) = ((♯‘𝐴) · (♯‘𝐵)))
4		nn0ssre 11902	. . . . . . 7 ⊢ ℕ₀ ⊆ ℝ
5		hashcl 13718	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∈ ℕ₀)
6	4, 5	sseldi 3965	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∈ ℝ)
7		hashcl 13718	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → (♯‘𝐵) ∈ ℕ₀)
8	4, 7	sseldi 3965	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → (♯‘𝐵) ∈ ℝ)
9	6, 8	anim12i 614	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((♯‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℝ))
10	1, 9	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin)) → ((♯‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℝ))
11		rexmul 12665	. . . 4 ⊢ (((♯‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℝ) → ((♯‘𝐴) ·_e (♯‘𝐵)) = ((♯‘𝐴) · (♯‘𝐵)))
12	10, 11	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin)) → ((♯‘𝐴) ·_e (♯‘𝐵)) = ((♯‘𝐴) · (♯‘𝐵)))
13	3, 12	eqtr4d 2859	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin)) → (♯‘(𝐴 × 𝐵)) = ((♯‘𝐴) ·_e (♯‘𝐵)))
14		simpr 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 = ∅) → 𝐵 = ∅)
15	14	xpeq2d 5585	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 = ∅) → (𝐴 × 𝐵) = (𝐴 × ∅))
16		xp0 6015	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 × ∅) = ∅
17	15, 16	syl6eq 2872	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 = ∅) → (𝐴 × 𝐵) = ∅)
18	17	fveq2d 6674	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 = ∅) → (♯‘(𝐴 × 𝐵)) = (♯‘∅))
19		hash0 13729	. . . . . . 7 ⊢ (♯‘∅) = 0
20	18, 19	syl6eq 2872	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 = ∅) → (♯‘(𝐴 × 𝐵)) = 0)
21		simpl 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → 𝐴 ∈ 𝑉)
22		hashinf 13696	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (♯‘𝐴) = +∞)
23	21, 22	sylan 582	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (♯‘𝐴) = +∞)
24	23	adantr 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 = ∅) → (♯‘𝐴) = +∞)
25	14	fveq2d 6674	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 = ∅) → (♯‘𝐵) = (♯‘∅))
26	25, 19	syl6eq 2872	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 = ∅) → (♯‘𝐵) = 0)
27	24, 26	oveq12d 7174	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 = ∅) → ((♯‘𝐴) ·_e (♯‘𝐵)) = (+∞ ·_e 0))
28		pnfxr 10695	. . . . . . . 8 ⊢ +∞ ∈ ℝ^*
29		xmul01 12661	. . . . . . . 8 ⊢ (+∞ ∈ ℝ^* → (+∞ ·_e 0) = 0)
30	28, 29	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (+∞ ·_e 0) = 0
31	27, 30	syl6eq 2872	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 = ∅) → ((♯‘𝐴) ·_e (♯‘𝐵)) = 0)
32	20, 31	eqtr4d 2859	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 = ∅) → (♯‘(𝐴 × 𝐵)) = ((♯‘𝐴) ·_e (♯‘𝐵)))
33		simpr 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → 𝐵 ∈ 𝑊)
34	33	ad2antrr 724	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ≠ ∅) → 𝐵 ∈ 𝑊)
35		hashxrcl 13719	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑊 → (♯‘𝐵) ∈ ℝ^*)
36	34, 35	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ≠ ∅) → (♯‘𝐵) ∈ ℝ^*)
37		hashgt0 13750	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐵 ≠ ∅) → 0 < (♯‘𝐵))
38	34, 37	sylancom 590	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ≠ ∅) → 0 < (♯‘𝐵))
39		xmulpnf2 12669	. . . . . . 7 ⊢ (((♯‘𝐵) ∈ ℝ^* ∧ 0 < (♯‘𝐵)) → (+∞ ·_e (♯‘𝐵)) = +∞)
40	36, 38, 39	syl2anc 586	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ≠ ∅) → (+∞ ·_e (♯‘𝐵)) = +∞)
41	23	adantr 483	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ≠ ∅) → (♯‘𝐴) = +∞)
42	41	oveq1d 7171	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ≠ ∅) → ((♯‘𝐴) ·_e (♯‘𝐵)) = (+∞ ·_e (♯‘𝐵)))
43	21	ad2antrr 724	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ≠ ∅) → 𝐴 ∈ 𝑉)
44	43, 34	xpexd 7474	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ≠ ∅) → (𝐴 × 𝐵) ∈ V)
45		simplr 767	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ≠ ∅) → ¬ 𝐴 ∈ Fin)
46		0fin 8746	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∅ ∈ Fin
47		eleq1 2900	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝐴 ∈ Fin ↔ ∅ ∈ Fin))
48	46, 47	mpbiri 260	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 = ∅ → 𝐴 ∈ Fin)
49	48	necon3bi 3042	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ≠ ∅)
50	45, 49	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ≠ ∅) → 𝐴 ≠ ∅)
51		simpr 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ≠ ∅) → 𝐵 ≠ ∅)
52		ioran 980	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ (𝐴 = ∅ ∨ 𝐵 = ∅) ↔ (¬ 𝐴 = ∅ ∧ ¬ 𝐵 = ∅))
53		xpeq0 6017	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 × 𝐵) = ∅ ↔ (𝐴 = ∅ ∨ 𝐵 = ∅))
54	53	necon3abii 3062	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 × 𝐵) ≠ ∅ ↔ ¬ (𝐴 = ∅ ∨ 𝐵 = ∅))
55		df-ne 3017	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ ↔ ¬ 𝐴 = ∅)
56		df-ne 3017	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ≠ ∅ ↔ ¬ 𝐵 = ∅)
57	55, 56	anbi12i 628	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ↔ (¬ 𝐴 = ∅ ∧ ¬ 𝐵 = ∅))
58	52, 54, 57	3bitr4i 305	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 × 𝐵) ≠ ∅ ↔ (𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅))
59	58	biimpri 230	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) → (𝐴 × 𝐵) ≠ ∅)
60	50, 51, 59	syl2anc 586	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ≠ ∅) → (𝐴 × 𝐵) ≠ ∅)
61	45	intnanrd 492	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ≠ ∅) → ¬ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin))
62		pm4.61 407	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ ((𝐴 × 𝐵) ≠ ∅ → (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin)) ↔ ((𝐴 × 𝐵) ≠ ∅ ∧ ¬ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin)))
63		xpfir 8740	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 × 𝐵) ∈ Fin ∧ (𝐴 × 𝐵) ≠ ∅) → (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin))
64	63	ex 415	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 × 𝐵) ∈ Fin → ((𝐴 × 𝐵) ≠ ∅ → (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin)))
65	64	con3i 157	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ ((𝐴 × 𝐵) ≠ ∅ → (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin)) → ¬ (𝐴 × 𝐵) ∈ Fin)
66	62, 65	sylbir 237	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 × 𝐵) ≠ ∅ ∧ ¬ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin)) → ¬ (𝐴 × 𝐵) ∈ Fin)
67	60, 61, 66	syl2anc 586	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ≠ ∅) → ¬ (𝐴 × 𝐵) ∈ Fin)
68		hashinf 13696	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 × 𝐵) ∈ V ∧ ¬ (𝐴 × 𝐵) ∈ Fin) → (♯‘(𝐴 × 𝐵)) = +∞)
69	44, 67, 68	syl2anc 586	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ≠ ∅) → (♯‘(𝐴 × 𝐵)) = +∞)
70	40, 42, 69	3eqtr4rd 2867	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ≠ ∅) → (♯‘(𝐴 × 𝐵)) = ((♯‘𝐴) ·_e (♯‘𝐵)))
71		exmidne 3026	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = ∅ ∨ 𝐵 ≠ ∅)
72	71	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐵 = ∅ ∨ 𝐵 ≠ ∅))
73	32, 70, 72	mpjaodan 955	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (♯‘(𝐴 × 𝐵)) = ((♯‘𝐴) ·_e (♯‘𝐵)))
74	73	adantlr 713	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (♯‘(𝐴 × 𝐵)) = ((♯‘𝐴) ·_e (♯‘𝐵)))
75		simpr 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐴 = ∅) → 𝐴 = ∅)
76	75	xpeq1d 5584	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐴 = ∅) → (𝐴 × 𝐵) = (∅ × 𝐵))
77		0xp 5649	. . . . . . . . 9 ⊢ (∅ × 𝐵) = ∅
78	76, 77	syl6eq 2872	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐴 = ∅) → (𝐴 × 𝐵) = ∅)
79	78	fveq2d 6674	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐴 = ∅) → (♯‘(𝐴 × 𝐵)) = (♯‘∅))
80	79, 19	syl6eq 2872	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐴 = ∅) → (♯‘(𝐴 × 𝐵)) = 0)
81	75	fveq2d 6674	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐴 = ∅) → (♯‘𝐴) = (♯‘∅))
82	81, 19	syl6eq 2872	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐴 = ∅) → (♯‘𝐴) = 0)
83		hashinf 13696	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑊 ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘𝐵) = +∞)
84	33, 83	sylan 582	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘𝐵) = +∞)
85	84	adantr 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐴 = ∅) → (♯‘𝐵) = +∞)
86	82, 85	oveq12d 7174	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐴 = ∅) → ((♯‘𝐴) ·_e (♯‘𝐵)) = (0 ·_e +∞))
87		xmul02 12662	. . . . . . . 8 ⊢ (+∞ ∈ ℝ^* → (0 ·_e +∞) = 0)
88	28, 87	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (0 ·_e +∞) = 0
89	86, 88	syl6eq 2872	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐴 = ∅) → ((♯‘𝐴) ·_e (♯‘𝐵)) = 0)
90	80, 89	eqtr4d 2859	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐴 = ∅) → (♯‘(𝐴 × 𝐵)) = ((♯‘𝐴) ·_e (♯‘𝐵)))
91		hashxrcl 13719	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (♯‘𝐴) ∈ ℝ^*)
92	91	ad3antrrr 728	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (♯‘𝐴) ∈ ℝ^*)
93		hashgt0 13750	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 0 < (♯‘𝐴))
94	93	ad4ant14 750	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 0 < (♯‘𝐴))
95		xmulpnf1 12668	. . . . . . 7 ⊢ (((♯‘𝐴) ∈ ℝ^* ∧ 0 < (♯‘𝐴)) → ((♯‘𝐴) ·_e +∞) = +∞)
96	92, 94, 95	syl2anc 586	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ((♯‘𝐴) ·_e +∞) = +∞)
97	84	adantr 483	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (♯‘𝐵) = +∞)
98	97	oveq2d 7172	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ((♯‘𝐴) ·_e (♯‘𝐵)) = ((♯‘𝐴) ·_e +∞))
99	21	ad2antrr 724	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ∈ 𝑉)
100	33	ad2antrr 724	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐵 ∈ 𝑊)
101	99, 100	xpexd 7474	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝐴 × 𝐵) ∈ V)
102		simpr 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ≠ ∅)
103		simplr 767	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ¬ 𝐵 ∈ Fin)
104		eleq1 2900	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 = ∅ → (𝐵 ∈ Fin ↔ ∅ ∈ Fin))
105	46, 104	mpbiri 260	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 = ∅ → 𝐵 ∈ Fin)
106	105	necon3bi 3042	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ 𝐵 ∈ Fin → 𝐵 ≠ ∅)
107	103, 106	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐵 ≠ ∅)
108	102, 107, 59	syl2anc 586	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝐴 × 𝐵) ≠ ∅)
109	103	intnand 491	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ¬ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin))
110	108, 109, 66	syl2anc 586	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ¬ (𝐴 × 𝐵) ∈ Fin)
111	101, 110, 68	syl2anc 586	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (♯‘(𝐴 × 𝐵)) = +∞)
112	96, 98, 111	3eqtr4rd 2867	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (♯‘(𝐴 × 𝐵)) = ((♯‘𝐴) ·_e (♯‘𝐵)))
113		exmidne 3026	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = ∅ ∨ 𝐴 ≠ ∅)
114	113	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐴 = ∅ ∨ 𝐴 ≠ ∅))
115	90, 112, 114	mpjaodan 955	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘(𝐴 × 𝐵)) = ((♯‘𝐴) ·_e (♯‘𝐵)))
116	115	adantlr 713	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘(𝐴 × 𝐵)) = ((♯‘𝐴) ·_e (♯‘𝐵)))
117		simpr 487	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin)) → ¬ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin))
118		ianor 978	. . . 4 ⊢ (¬ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ↔ (¬ 𝐴 ∈ Fin ∨ ¬ 𝐵 ∈ Fin))
119	117, 118	sylib 220	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin)) → (¬ 𝐴 ∈ Fin ∨ ¬ 𝐵 ∈ Fin))
120	74, 116, 119	mpjaodan 955	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin)) → (♯‘(𝐴 × 𝐵)) = ((♯‘𝐴) ·_e (♯‘𝐵)))
121		exmidd 892	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∨ ¬ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin)))
122	13, 120, 121	mpjaodan 955	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (♯‘(𝐴 × 𝐵)) = ((♯‘𝐴) ·_e (♯‘𝐵)))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ∧ wa 398 ∨ wo 843 = wceq 1537 ∈ wcel 2114 ≠ wne 3016 Vcvv 3494 ∅c0 4291 class class class wbr 5066 × cxp 5553 ‘cfv 6355 (class class class)co 7156 Fincfn 8509 ℝcr 10536 0cc0 10537 · cmul 10542 +∞cpnf 10672 ℝ^*cxr 10674 < clt 10675 ℕ₀cn0 11898 ·_e cxmu 12507 ♯chash 13691

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1796 ax-4 1810 ax-5 1911 ax-6 1970 ax-7 2015 ax-8 2116 ax-9 2124 ax-10 2145 ax-11 2161 ax-12 2177 ax-ext 2793 ax-rep 5190 ax-sep 5203 ax-nul 5210 ax-pow 5266 ax-pr 5330 ax-un 7461 ax-cnex 10593 ax-resscn 10594 ax-1cn 10595 ax-icn 10596 ax-addcl 10597 ax-addrcl 10598 ax-mulcl 10599 ax-mulrcl 10600 ax-mulcom 10601 ax-addass 10602 ax-mulass 10603 ax-distr 10604 ax-i2m1 10605 ax-1ne0 10606 ax-1rid 10607 ax-rnegex 10608 ax-rrecex 10609 ax-cnre 10610 ax-pre-lttri 10611 ax-pre-lttrn 10612 ax-pre-ltadd 10613 ax-pre-mulgt0 10614

This theorem depends on definitions: df-bi 209 df-an 399 df-or 844 df-3or 1084 df-3an 1085 df-tru 1540 df-ex 1781 df-nf 1785 df-sb 2070 df-mo 2622 df-eu 2654 df-clab 2800 df-cleq 2814 df-clel 2893 df-nfc 2963 df-ne 3017 df-nel 3124 df-ral 3143 df-rex 3144 df-reu 3145 df-rmo 3146 df-rab 3147 df-v 3496 df-sbc 3773 df-csb 3884 df-dif 3939 df-un 3941 df-in 3943 df-ss 3952 df-pss 3954 df-nul 4292 df-if 4468 df-pw 4541 df-sn 4568 df-pr 4570 df-tp 4572 df-op 4574 df-uni 4839 df-int 4877 df-iun 4921 df-br 5067 df-opab 5129 df-mpt 5147 df-tr 5173 df-id 5460 df-eprel 5465 df-po 5474 df-so 5475 df-fr 5514 df-we 5516 df-xp 5561 df-rel 5562 df-cnv 5563 df-co 5564 df-dm 5565 df-rn 5566 df-res 5567 df-ima 5568 df-pred 6148 df-ord 6194 df-on 6195 df-lim 6196 df-suc 6197 df-iota 6314 df-fun 6357 df-fn 6358 df-f 6359 df-f1 6360 df-fo 6361 df-f1o 6362 df-fv 6363 df-riota 7114 df-ov 7159 df-oprab 7160 df-mpo 7161 df-om 7581 df-1st 7689 df-2nd 7690 df-wrecs 7947 df-recs 8008 df-rdg 8046 df-1o 8102 df-oadd 8106 df-er 8289 df-en 8510 df-dom 8511 df-sdom 8512 df-fin 8513 df-dju 9330 df-card 9368 df-pnf 10677 df-mnf 10678 df-xr 10679 df-ltxr 10680 df-le 10681 df-sub 10872 df-neg 10873 df-nn 11639 df-n0 11899 df-xnn0 11969 df-z 11983 df-uz 12245 df-xmul 12510 df-fz 12894 df-hash 13692

This theorem is referenced by: fedgmul 31027

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