Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hfext Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hfext 31929
Description: Extensionality for HF sets depends only on comparison of HF elements. (Contributed by Scott Fenton, 16-Jul-2015.)
Assertion
Ref Expression
hfext ((𝐴 ∈ Hf ∧ 𝐵 ∈ Hf ) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ Hf (𝑥𝐴𝑥𝐵)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem hfext
StepHypRef Expression
1 vex 3189 . . . . . 6 𝑥 ∈ V
2 eldif 3565 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (V ∖ Hf ) ↔ (𝑥 ∈ V ∧ ¬ 𝑥 ∈ Hf ))
31, 2mpbiran 952 . . . . 5 (𝑥 ∈ (V ∖ Hf ) ↔ ¬ 𝑥 ∈ Hf )
4 hfelhf 31927 . . . . . . . 8 ((𝑥𝐴𝐴 ∈ Hf ) → 𝑥 ∈ Hf )
54stoic1b 1695 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ Hf ∧ ¬ 𝑥 ∈ Hf ) → ¬ 𝑥𝐴)
65adantlr 750 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ Hf ∧ 𝐵 ∈ Hf ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ Hf ) → ¬ 𝑥𝐴)
7 hfelhf 31927 . . . . . . . 8 ((𝑥𝐵𝐵 ∈ Hf ) → 𝑥 ∈ Hf )
87stoic1b 1695 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ Hf ∧ ¬ 𝑥 ∈ Hf ) → ¬ 𝑥𝐵)
98adantll 749 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ Hf ∧ 𝐵 ∈ Hf ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ Hf ) → ¬ 𝑥𝐵)
106, 92falsed 366 . . . . 5 (((𝐴 ∈ Hf ∧ 𝐵 ∈ Hf ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ Hf ) → (𝑥𝐴𝑥𝐵))
113, 10sylan2b 492 . . . 4 (((𝐴 ∈ Hf ∧ 𝐵 ∈ Hf ) ∧ 𝑥 ∈ (V ∖ Hf )) → (𝑥𝐴𝑥𝐵))
1211ralrimiva 2960 . . 3 ((𝐴 ∈ Hf ∧ 𝐵 ∈ Hf ) → ∀𝑥 ∈ (V ∖ Hf )(𝑥𝐴𝑥𝐵))
1312biantrud 528 . 2 ((𝐴 ∈ Hf ∧ 𝐵 ∈ Hf ) → (∀𝑥 ∈ Hf (𝑥𝐴𝑥𝐵) ↔ (∀𝑥 ∈ Hf (𝑥𝐴𝑥𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ (V ∖ Hf )(𝑥𝐴𝑥𝐵))))
14 dfcleq 2615 . . 3 (𝐴 = 𝐵 ↔ ∀𝑥(𝑥𝐴𝑥𝐵))
15 unvdif 4014 . . . . 5 ( Hf ∪ (V ∖ Hf )) = V
1615raleqi 3131 . . . 4 (∀𝑥 ∈ ( Hf ∪ (V ∖ Hf ))(𝑥𝐴𝑥𝐵) ↔ ∀𝑥 ∈ V (𝑥𝐴𝑥𝐵))
17 ralv 3205 . . . 4 (∀𝑥 ∈ V (𝑥𝐴𝑥𝐵) ↔ ∀𝑥(𝑥𝐴𝑥𝐵))
1816, 17bitr2i 265 . . 3 (∀𝑥(𝑥𝐴𝑥𝐵) ↔ ∀𝑥 ∈ ( Hf ∪ (V ∖ Hf ))(𝑥𝐴𝑥𝐵))
19 ralunb 3772 . . 3 (∀𝑥 ∈ ( Hf ∪ (V ∖ Hf ))(𝑥𝐴𝑥𝐵) ↔ (∀𝑥 ∈ Hf (𝑥𝐴𝑥𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ (V ∖ Hf )(𝑥𝐴𝑥𝐵)))
2014, 18, 193bitri 286 . 2 (𝐴 = 𝐵 ↔ (∀𝑥 ∈ Hf (𝑥𝐴𝑥𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ (V ∖ Hf )(𝑥𝐴𝑥𝐵)))
2113, 20syl6rbbr 279 1 ((𝐴 ∈ Hf ∧ 𝐵 ∈ Hf ) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ Hf (𝑥𝐴𝑥𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 384  wal 1478   = wceq 1480  wcel 1987  wral 2907  Vcvv 3186  cdif 3552  cun 3553   Hf chf 31918
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-reg 8441  ax-inf2 8482
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-om 7013  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-r1 8571  df-rank 8572  df-hf 31919
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator