Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hfext Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hfext 32594
Description: Extensionality for HF sets depends only on comparison of HF elements. (Contributed by Scott Fenton, 16-Jul-2015.)
Assertion
Ref Expression
hfext ((𝐴 ∈ Hf ∧ 𝐵 ∈ Hf ) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ Hf (𝑥𝐴𝑥𝐵)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem hfext
StepHypRef Expression
1 vex 3341 . . . . . 6 𝑥 ∈ V
2 eldif 3723 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (V ∖ Hf ) ↔ (𝑥 ∈ V ∧ ¬ 𝑥 ∈ Hf ))
31, 2mpbiran 991 . . . . 5 (𝑥 ∈ (V ∖ Hf ) ↔ ¬ 𝑥 ∈ Hf )
4 hfelhf 32592 . . . . . . . 8 ((𝑥𝐴𝐴 ∈ Hf ) → 𝑥 ∈ Hf )
54stoic1b 1845 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ Hf ∧ ¬ 𝑥 ∈ Hf ) → ¬ 𝑥𝐴)
65adantlr 753 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ Hf ∧ 𝐵 ∈ Hf ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ Hf ) → ¬ 𝑥𝐴)
7 hfelhf 32592 . . . . . . . 8 ((𝑥𝐵𝐵 ∈ Hf ) → 𝑥 ∈ Hf )
87stoic1b 1845 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ Hf ∧ ¬ 𝑥 ∈ Hf ) → ¬ 𝑥𝐵)
98adantll 752 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ Hf ∧ 𝐵 ∈ Hf ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ Hf ) → ¬ 𝑥𝐵)
106, 92falsed 365 . . . . 5 (((𝐴 ∈ Hf ∧ 𝐵 ∈ Hf ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ Hf ) → (𝑥𝐴𝑥𝐵))
113, 10sylan2b 493 . . . 4 (((𝐴 ∈ Hf ∧ 𝐵 ∈ Hf ) ∧ 𝑥 ∈ (V ∖ Hf )) → (𝑥𝐴𝑥𝐵))
1211ralrimiva 3102 . . 3 ((𝐴 ∈ Hf ∧ 𝐵 ∈ Hf ) → ∀𝑥 ∈ (V ∖ Hf )(𝑥𝐴𝑥𝐵))
1312biantrud 529 . 2 ((𝐴 ∈ Hf ∧ 𝐵 ∈ Hf ) → (∀𝑥 ∈ Hf (𝑥𝐴𝑥𝐵) ↔ (∀𝑥 ∈ Hf (𝑥𝐴𝑥𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ (V ∖ Hf )(𝑥𝐴𝑥𝐵))))
14 dfcleq 2752 . . 3 (𝐴 = 𝐵 ↔ ∀𝑥(𝑥𝐴𝑥𝐵))
15 unvdif 4184 . . . . 5 ( Hf ∪ (V ∖ Hf )) = V
1615raleqi 3279 . . . 4 (∀𝑥 ∈ ( Hf ∪ (V ∖ Hf ))(𝑥𝐴𝑥𝐵) ↔ ∀𝑥 ∈ V (𝑥𝐴𝑥𝐵))
17 ralv 3357 . . . 4 (∀𝑥 ∈ V (𝑥𝐴𝑥𝐵) ↔ ∀𝑥(𝑥𝐴𝑥𝐵))
1816, 17bitr2i 265 . . 3 (∀𝑥(𝑥𝐴𝑥𝐵) ↔ ∀𝑥 ∈ ( Hf ∪ (V ∖ Hf ))(𝑥𝐴𝑥𝐵))
19 ralunb 3935 . . 3 (∀𝑥 ∈ ( Hf ∪ (V ∖ Hf ))(𝑥𝐴𝑥𝐵) ↔ (∀𝑥 ∈ Hf (𝑥𝐴𝑥𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ (V ∖ Hf )(𝑥𝐴𝑥𝐵)))
2014, 18, 193bitri 286 . 2 (𝐴 = 𝐵 ↔ (∀𝑥 ∈ Hf (𝑥𝐴𝑥𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ (V ∖ Hf )(𝑥𝐴𝑥𝐵)))
2113, 20syl6rbbr 279 1 ((𝐴 ∈ Hf ∧ 𝐵 ∈ Hf ) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ Hf (𝑥𝐴𝑥𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383  wal 1628   = wceq 1630  wcel 2137  wral 3048  Vcvv 3338  cdif 3710  cun 3711   Hf chf 32583
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1986  ax-6 2052  ax-7 2088  ax-8 2139  ax-9 2146  ax-10 2166  ax-11 2181  ax-12 2194  ax-13 2389  ax-ext 2738  ax-rep 4921  ax-sep 4931  ax-nul 4939  ax-pow 4990  ax-pr 5053  ax-un 7112  ax-reg 8660  ax-inf2 8709
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2045  df-eu 2609  df-mo 2610  df-clab 2745  df-cleq 2751  df-clel 2754  df-nfc 2889  df-ne 2931  df-ral 3053  df-rex 3054  df-reu 3055  df-rab 3057  df-v 3340  df-sbc 3575  df-csb 3673  df-dif 3716  df-un 3718  df-in 3720  df-ss 3727  df-pss 3729  df-nul 4057  df-if 4229  df-pw 4302  df-sn 4320  df-pr 4322  df-tp 4324  df-op 4326  df-uni 4587  df-int 4626  df-iun 4672  df-br 4803  df-opab 4863  df-mpt 4880  df-tr 4903  df-id 5172  df-eprel 5177  df-po 5185  df-so 5186  df-fr 5223  df-we 5225  df-xp 5270  df-rel 5271  df-cnv 5272  df-co 5273  df-dm 5274  df-rn 5275  df-res 5276  df-ima 5277  df-pred 5839  df-ord 5885  df-on 5886  df-lim 5887  df-suc 5888  df-iota 6010  df-fun 6049  df-fn 6050  df-f 6051  df-f1 6052  df-fo 6053  df-f1o 6054  df-fv 6055  df-om 7229  df-wrecs 7574  df-recs 7635  df-rdg 7673  df-er 7909  df-en 8120  df-dom 8121  df-sdom 8122  df-r1 8798  df-rank 8799  df-hf 32584
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator